Potencjalna wirowość

W mechanice płynów wirowość potencjalna (PV) jest wielkością proporcjonalną do iloczynu skalarnego wirowości i rozwarstwienia . Ta ilość, po paczce powietrza lub wody, może być zmieniona tylko przez procesy diabatyczne lub tarcia. Jest to przydatna koncepcja do zrozumienia powstawania wirowości w cyklogenezie (narodziny i rozwój cyklonu), zwłaszcza wzdłuż frontu polarnego , oraz w analizie przepływu w oceanie.

Potencjalna wirowość (PV) jest postrzegana jako jeden z ważnych teoretycznych sukcesów współczesnej meteorologii. Jest to uproszczone podejście do zrozumienia ruchów płynów w systemie rotacyjnym, takim jak ziemska atmosfera i ocean. Jego rozwój wywodzi się z twierdzenia o cyrkulacji Bjerknesa z 1898 r., Które jest wyspecjalizowaną formą twierdzenia o obiegu Kelvina . Począwszy od Hoskins i in., 1985, fotowoltaika była częściej stosowana w operacyjnej diagnostyce pogody, takiej jak śledzenie dynamiki przesyłek lotniczych i odwracanie pola pełnego przepływu. Nawet po tym, jak dzięki zwiększeniu mocy obliczeniowej stały się możliwe szczegółowe numeryczne prognozy pogody w dokładniejszej skali, widok PV jest nadal używany w środowisku akademickim i rutynowych prognozach pogody, rzucając światło na funkcje skali synoptycznej dla prognostów i badaczy.

Niestabilność barokliniczna wymaga obecności potencjalnego gradientu wirowości, wzdłuż którego fale wzmacniają się podczas cyklogenezy.

Twierdzenie o cyrkulacji Bjerknesa

Vilhelm Bjerknes uogólnił równanie wirowości Helmholtza (1858) i twierdzenie o cyrkulacji Kelvina (1869) na płyny nielepkie, geostroficzne i barokliniczne, tj. płyny o różnej gęstości w układzie obrotowym, który ma stałą prędkość kątową. Jeśli zdefiniujemy cyrkulację jako całkę stycznej składowej prędkości wokół zamkniętej pętli płynu i weźmiemy całkę z zamkniętego łańcucha paczek płynu, otrzymamy

${\ Displaystyle {\ Frac {DC} {Dt}} = - \ oint {\ Frac {1} {\ rho$ )

gdzie $obiegiem$$}$ czasu w układzie obrotowym (nie układem inercjalnym), , $Displaystyle$$A_ { e$$}$ to rzut obszaru otoczonego pętlą płynu na płaszczyznę równikową, $to$ , to ciśnienie, a to $kątowa$ ramy . Z twierdzeniem Stokesa , pierwszy termin po prawej stronie można zapisać jako

$} {Dt}} = \ int _ {A} {\ Frac { \nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$ (2)

który stwierdza, że ​​​​szybkość zmiany cyrkulacji jest regulowana przez zmianę gęstości we współrzędnych ciśnienia i rzut równikowy jego pola, odpowiadający pierwszemu i drugiemu wyrazowi po prawej stronie. Pierwszy termin jest również nazywany „ terminem solenoidu ”. W warunkach płynu barotropowego o stałym obszarze projekcji ${\ Displaystyle A_ {e}}$ , twierdzenie Bjerknesa o cyrkulacji sprowadza się do twierdzenia Kelvina. Jednak w kontekście dynamiki atmosfery takie warunki nie są dobrym przybliżeniem: jeśli obieg płynu przemieszcza się z regionu równikowego do pozatropików, $zachowany$ . Co więcej, złożona geometria podejścia do obiegu materiału nie jest idealna do argumentowania na temat ruchów płynów.

PV płytkiej wody Rossby'ego

Carl Rossby zaproponował w 1939 r., Że zamiast pełnego trójwymiarowego wektora wirowości, lokalna pionowa składowa absolutnej wirowości $.$ składową przepływu atmosferycznego na dużą skalę Również wielkoskalową strukturę dwuwymiarowego, nierozbieżnego przepływu barotropowego można modelować, zakładając, $jest$ . Jego późniejszy artykuł z 1940 roku złagodził tę teorię z przepływu 2D do quasi-2D równań płytkiej wody na płaszczyźnie beta . W tym systemie atmosfera jest podzielona na kilka nieściśliwych warstw ułożonych jedna na drugiej, a prędkość pionową można wywnioskować z całkowania zbieżności przepływu poziomego. W przypadku jednowarstwowego systemu płytkiej wody bez sił zewnętrznych lub ogrzewania diabatycznego Rossby to pokazał

$\ Displaystyle {\ Frac {D} {Dt}} \ lewo ({\ Frac {\ zeta + f} {h}} \ prawej) = 0}, (3$ )

gdzie $głębokością$ względną wirowością, $jest$ i $.$ parametrem Coriolisa Zachowana wielkość w równaniu (3) jest później nazywana wirowością potencjalną płytkiej wody . W przypadku atmosfery z wieloma warstwami, przy czym każda warstwa ma stałą potencjalną temperaturę, powyższe równanie ma postać

$\ Displaystyle {\ Frac {D} {Dt}} \ lewo ({\ Frac {\ zeta _ {\ teta} + f} {\ Delta}} \ prawej) =0,}$ (4)

gdzie jest $izentropowej$ - powierzchni o stałej temperaturze potencjalnej i $\ Delta = - \ delta p / g}$ jest miarą ciężaru jednostkowego przekroju poprzecznego pojedynczego słupa powietrza wewnątrz warstwy.

Interpretacja

Zbieżność i rozbieżność przesyłki lotniczej

Równanie (3) jest atmosferycznym odpowiednikiem momentu pędu . Na przykład obracająca się łyżwiarka z ramionami rozłożonymi na boki może przyspieszyć prędkość wirowania, zaciskając ramiona. Podobnie, gdy wir powietrza jest szerszy, wiruje on z kolei wolniej. Kiedy powietrze zbiega się poziomo, prędkość powietrza wzrasta, aby utrzymać potencjalną wirowość, a zasięg pionowy zwiększa się, aby zachować masę. Z drugiej strony dywergencja powoduje rozprzestrzenianie się wiru, spowalniając tempo wirowania.

Potencjalna wirowość Ertela

Hans Ertel uogólnił pracę Rossby'ego w niezależnym artykule opublikowanym w 1942 r. Identyfikując zachowaną wielkość po ruchu paczki lotniczej, można udowodnić, że pewna wielkość zwana potencjalną wirowością Ertela jest również zachowana dla wyidealizowanego ciągłego płynu. Przyjrzymy się równaniu pędu i równaniu ciągłości masy wyidealizowanego płynu ściśliwego we współrzędnych kartezjańskich:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {v}} {\ częściowe t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf { \Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$ (5)

${\ Displaystyle {\ Frac {D \ rho} {Dt}} = - \ rho \ nabla \ cdot \ mathbf {v}}$ (6)

gdzie jest $wysokością$ . Zapisując bezwzględną wirowość jako ${\ textstyle \ mathbf {\ zeta _ {a}} = \ nabla \ razy \ mathbf {v} + 2 \ mathbf {\ Omega}}$ , ${\ Displaystyle 1/\ rho}$$jako$ , a następnie weź zwinięcie równania pełnego pędu 5), mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ nabla \ razy \ mathbf {v} - \ nabla \ razy (\ mathbf {v} \ razy \ mathbf {\ zeta _ {a}}) = \nabla p\times \nabla \alpha .}$ (7)

Rozważ ${\ Displaystyle \ psi = \ psi (\ mathbf {r}, t)}$ za niezmiennik hydrodynamiczny, to znaczy ${\ textstyle {\ frac {D \ psi }{Dt}}}$ równa się zeru po rozpatrywanym ruchu płynu. Mnożenie przez skalar równania (7) przez ${\ Displaystyle \ nabla \ psi}$ i zauważ, że ${\ textstyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ mathbf {\ zeta _ {a}} = {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ nabla \ razy \ mathbf {v}}$ , mamy

${\ Displaystyle \ nabla \ psi \ cdot {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ mathbf {\ zeta _ {a}} - \ nabla \ psi \ cdot [\ nabla \ razy (\ mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha).}$ (8)

Drugi wyraz po lewej stronie równania (8) jest równy ${\ textstyle \ nabla \ cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \ razy \nabla \psi )}$ , w którym drugi wyraz wynosi zero. Z formuły iloczynu potrójnego wektora mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nabla \ psi \ razy (\ mathbf {v} \ razy \ mathbf {\ zeta _ {a}}) & = \ mathbf {v} (\ mathbf {\ zeta _ {a }} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{ a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\częściowe \psi}}{\częściowe t}},\end{wyrównane}}} (9$ )

gdzie drugi rząd wynika z faktu, że jest zachowany po ruchu, $textstyle {\ frac {D \ psi} {Dt}} = 0$$\$ . Podstawiając równanie (9) do równania (8) powyżej,

${\ Displaystyle \ nabla \ psi \ cdot {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ mathbf {\ zeta _ {a}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla (\ mathbf {\ zeta _ { a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \ cdot {\frac {\częściowy}}{\częściowy t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\czasy \nabla \alpha).} (10$ )

Połączenie pierwszego, drugiego i czwartego wyrazu w równaniu (10) może dać ${\ textstyle {\ Frac {D} {Dt}} (\ mathbf {\ zeta _ {a}} \cdot \nabla \psi )}$ . Dzieląc przez ${\textstyle \ rho}$ i stosując wariantową postać równania ciągłości masy, ${\ textstyle {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = - {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}}} {\ frac {D \ rho} {Dt }}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$ , równanie (10) daje

${\ Displaystyle \ alfa {\ Frac {D} {Dt}} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha}}{Dt}}= \alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )}$ (11)

Jeśli niezmiennik $jest$ tylko funkcją ciśnienia $\$ gęstości $textstyle$ to jego gradient jest prostopadły do ​​iloczynu krzyżowego $nabla p }$ i ${\ textstyle \ nabla \ rho}$ , co oznacza, że ​​prawa strona równania (11) jest równa zeru. Specjalnie dla atmosfery, temperatura potencjalna jest wybrana jako niezmiennik dla ruchów bez tarcia i adiabatycznych. Dlatego prawo zachowania potencjalnej wirowości Ertela jest podane przez

$Dt}} PV = 0.}$ (12)

potencjalna wirowość jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle PV = {\ Frac {\ mathbf {\ zeta _ {a}} \ cdot \ nabla \ theta} {\ rho}},}$ (13)

gdzie ${\ Displaystyle \ rho}$ to gęstość płynu , to bezwzględna wirowość i to gradient $Displaystyle \ mathbf {\ zeta _ {$ za $}}}$ . Można to wykazać za pomocą kombinacji pierwszej zasady termodynamiki i zachowanie pędu, że potencjalna wirowość może być zmieniona jedynie przez ogrzewanie diabatyczne (takie jak ciepło utajone uwalniane z kondensacji) lub procesy tarcia.

Jeśli atmosfera jest stabilnie rozwarstwiona, tak że potencjalna temperatura $współrzędnej$ monotonicznie wraz z wysokością, $można użyć jako$ pionowej zamiast ${\ textstyle z$ . W układzie współrzędnych „gęstość” jest zdefiniowana jako $( x , y , θ ) {\ textstyle (x$${\textstyle \sigma \equiv -g ^{-1}\częściowe p/\częściowe \theta}$ . Następnie, jeśli rozpoczniemy wyprowadzenie z poziomego równania pędu we współrzędnych izentropowych, Ertel PV przybierze znacznie prostszą postać

${\ Displaystyle PV _ {\ teta} = {\ Frac {f + \ mathbf {k} \ cdot (\ nabla _ {\ teta} \ razy \ mathbf {v } )}{\sigma }}}$ (14)

gdzie jest lokalnym wektorem pionowym o jednostkowej długości i $jest$$trójwymiarowym$ gradientu we współrzędnych Można zauważyć, że ta forma potencjalnej wirowości jest po prostu ciągłą postacią izentropowego wielowarstwowego PV Rossby'ego w równaniu (4).

Interpretacja

Twierdzenie Ertela o zachowaniu PV, równanie (12), stwierdza, że ​​dla suchej atmosfery, jeśli paczka powietrza zachowuje swoją potencjalną temperaturę, jej potencjalna wirowość jest również zachowana po jej pełnych ruchach trójwymiarowych. Innymi słowy, w ruchu adiabatycznym paczki lotnicze zachowują Ertel PV na powierzchni izentropowej. Co ciekawe, wielkość ta może służyć jako znacznik Lagrange'a, który łączy pola wiatru i temperatury. Korzystanie z twierdzenia o zachowaniu Ertela PV doprowadziło do różnych postępów w zrozumieniu ogólnego obiegu. Jednym z nich był proces „fałdowania tropopauzy” opisany w Reed i in., (1950). W górnej troposferze i stratosferze paczki lotnicze podążają za ruchami adiabatycznymi w okresie synoptycznym. W regionie pozatropikalnym powierzchnie izentropowe w stratosferze mogą przenikać do tropopauzy, a zatem paczki powietrza mogą przemieszczać się między stratosferą a troposferą, chociaż silny gradient PV w pobliżu tropopauzy zwykle zapobiega temu ruchowi. Jednak w obszarze czołowym w pobliżu smug dżetowych, który jest skoncentrowanym obszarem w obrębie a prąd strumieniowy , gdzie prędkość wiatru jest największa, kontur PV może rozciągać się zasadniczo w dół do troposfery, co jest podobne do powierzchni izentropowych. Dlatego powietrze stratosferyczne może być przemieszczane w dół, w głąb troposfery, zarówno po stałych powierzchniach fotowoltaicznych, jak i powierzchniach izentropowych. Udowodniono również, że użycie map fotowoltaicznych jest dokładne w rozróżnianiu paczek lotniczych pochodzących z niedawnego stratosfery, nawet w warunkach zakłóceń o skali subsynoptycznej. (Ilustrację można znaleźć w Holton, 2004, rysunek 6.4)

Ertel PV działa również jako wskaźnik przepływu w oceanie i może być wykorzystany do wyjaśnienia, w jaki sposób pasmo górskie, takie jak Andy , może powodować, że górne zachodnie wiatry skręcają w kierunku równika iz powrotem. Mapy przedstawiające Ertel PV są zwykle wykorzystywane w analizach meteorologicznych, w których jednostka wirowości potencjalnej (PVU) definiowana jest jako ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm { PVU} }$ .

Quasi-geostroficzna fotowoltaika

Jeden z najprostszych, ale mimo to wnikliwych warunków równoważenia ma postać równań quasi-geostroficznych . Przybliżenie to w zasadzie stwierdza, że ​​dla trójwymiarowych ruchów atmosfery, które są prawie hydrostatyczne i geostroficzne , ich część geostroficzna może być określona w przybliżeniu przez pole ciśnienia, podczas gdy część ageostroficzna reguluje ewolucję przepływu geostroficznego. Potencjalna wirowość w granicy quasi-geostroficznej (QGPV) została po raz pierwszy sformułowana przez Charneya i Sterna w 1960 roku. Podobnie jak w rozdziale 6.3 w Holton 2004, zaczynamy od momentu pędu poziomego (15), ciągłości masy (16), hydrostatyki (17), i termodynamiczne (18) równania na a płaszczyźnie beta , przy założeniu, że przepływ jest nielepki i hydrostatyczny ,

$Displaystyle {\ Frac {D_ {g} \ mathbf {u_ {g}}} {Dt}} + f_ {0} \ mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0} (15$ )

${\ Displaystyle \ nabla _ {hp} \ cdot \ mathbf {u_ {a}} + {\ Frac {\ częściowe \ omega} {\ częściowe p}} = 0}$ (16)

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Phi} {\ częściowe p}} = - {\ Frac {R \ pi} {p}} \ teta} ($ 17 re

$\ Displaystyle {\ Frac {D_ {g} \ teta} {Dt}} + \ omega {\ Frac {d \ theta _ {0}$ (18)

gdzie ${\ textstyle {\ Frac {D_ {g}} {Dt}} = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t} }+u_{g}{\frac {\częściowy }{\częściowy x}}+v_{g}{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}} reprezentuje ewolucję geostroficzną$ , ${\ textstyle \ pi = (p / ps) ^ {R / c_ {p}}}$ , ${\ textstyle J}$$to$ diabatyczny termin ogrzewania w $}$ Phi geopotencjalna ${\ textstyle \ mathbf {u_ {g}}}$ jest składową geostroficzną prędkości poziomej, ${\ textstyle \ mathbf {u_ {a}}}$ jest prędkością wiekuostroficzną, ${\ textstyle \ nabla _ { KM}}$ jest poziomym operatorem gradientu we współrzędnych (x, y, p). Przy pewnej manipulacji ( szczegóły w równaniach quasi-geostroficznych lub Holton 2004, rozdział 6) można dojść do prawa zachowania

${\ Displaystyle {\ Frac {D_ {g}} {Dt}} q = - f_ {0} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowe p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),}$ (19)

gdzie ${\ textstyle \ sigma = - {\ Frac {R \ pi} {p}} {\ Frac {d \ theta _ {0}}{dp}}$ } uśredniona stabilność statyczna w stanie suchym. Zakładając, że przepływ jest adiabatyczny, co oznacza $.$ ​​mamy zasadę zachowania Zachowana $przyjmuje$ formę

${\ Displaystyle {q = {{{1 \ ponad f_ {o}}} {\ nabla ^ {2} \ Phi }}+{f}+{{\częściowe \ponad \częściowe p}\left({{f_{o} \ponad \sigma }{\częściowe \Phi \ponad \częściowe p}}\right)}}}, }$ (20)

którym jest QGPV i jest również znany jako wirowość pseudopotencjalna. Oprócz członu ogrzewania diabatycznego po prawej stronie równania (19), można również wykazać, że QGPV może być zmieniane przez siły tarcia.

Ertel PV redukuje się do QGPV, jeśli rozszerzyć Ertel PV do wiodącego rzędu i założyć, że równanie ewolucji jest quasi-geostroficzne, tj. ${\ textstyle {\ frac {D} {Dt }}\około {\frac {D_{g}}{Dt}}}$ . Ze względu na ten czynnik należy również zauważyć, że Ertel PV zachowuje następującą paczkę powietrzną na powierzchni izentropowej i dlatego jest dobrym znacznikiem Lagrange'a, podczas gdy QGPV jest zachowany po przepływie geostroficznym na dużą skalę. QGPV był szeroko stosowany do przedstawiania wielkoskalowych struktur przepływu atmosferycznego, jak omówiono w tej sekcji # Zasada odwracalności PV ;

Zasada odwracalności PV

Oprócz bycia znacznikiem Lagrange'a, potencjalna wirowość daje również implikacje dynamiczne poprzez zasadę odwracalności. W przypadku dwuwymiarowego płynu idealnego rozkład wirowości steruje funkcją strumienia za pomocą operatora Laplace'a,

${\ Displaystyle {\ zeta = {\ nabla ^ {2} \ psi}},}$ (21)

gdzie jest względną wirowością, a funkcją strumienia jest $zeta$$} .$ Stąd ze znajomości pola wirowości można odwrócić operator i obliczyć funkcję strumienia. W tym konkretnym przypadku (równanie 21) wirowość dostarcza wszystkich informacji potrzebnych do wydedukowania ruchów lub funkcji strumienia, dlatego można myśleć w kategoriach wirowości, aby zrozumieć dynamikę płynu. Podobna zasada została pierwotnie wprowadzona dla wirowości potencjalnej w płynie trójwymiarowym w latach czterdziestych XX wieku przez Kleinschmita i została rozwinięta przez Charneya i Sterna w ich teorii quasi-geostroficznej.

Pomimo teoretycznej elegancji potencjalnej wirowości Ertela, wczesne zastosowania Ertel PV ograniczają się do badań znaczników przy użyciu specjalnych map izentropowych. $($ wyprowadzenie innych zmiennych ze znajomości pól Ertel PV jest niewystarczające, ponieważ jest to iloczyn wiatru ( $pól$ temperatury i ${\ textstyle \ rho}$ ). Jednak ruchy atmosferyczne na dużą skalę są z natury quasi-statyczne; pola wiatru i masy są dopasowywane i równoważone względem siebie (np. równowaga gradientu, równowaga geostroficzna). Dlatego można przyjąć inne założenia, aby utworzyć zamknięcie i wydedukować pełną strukturę danego przepływu:

(1) wprowadzić warunki równoważenia określonej postaci. Warunki te muszą być fizycznie wykonalne i stabilne bez niestabilności, takich jak niestabilność statyczna. Także skale przestrzenne i czasowe ruchu muszą być zgodne z założoną równowagą;

(2) określić określony stan odniesienia, taki jak rozkład temperatury, temperatura potencjalna lub wysokość geopotencjalna;

(3) zapewnić odpowiednie warunki brzegowe i globalnie odwrócić pole PV.

Pierwsze i drugie założenie są wyraźnie wyrażone w wyprowadzeniu quasi-geostroficznego PV. Jako warunek bilansowania stosuje się równowagę geostroficzną rzędu wiodącego. Wyrażenia drugiego rzędu, takie jak wiatry wiekuostroficzne, zaburzenia temperatury potencjalnej i zaburzenia wysokości geostroficznej, powinny mieć stałą wielkość, tj. rzędu liczby Rossby'ego . Stan odniesienia to strefowo uśredniona temperatura potencjalna i wysokość geopotencjalna. Trzecie założenie jest oczywiste nawet dla dwuwymiarowej inwersji wirowości, ponieważ odwrócenie operatora Laplace'a w równaniu (21), który jest operatorem eliptycznym drugiego rzędu , wymaga znajomości warunków brzegowych .

$że$ znając , operator podobny do Laplace'a można odwrócić, aby uzyskać $.$${\ textstyle \ Phi}$ jest również proporcjonalne do funkcji strumienia QG $.$ założeniu quasi-geostroficznym Geostroficzne pole wiatru można następnie łatwo wywnioskować z ${\ textstyle \ Psi}$ . Wreszcie, pole temperatury ${\ textstyle \ theta}$ otrzymuje się przez podstawienie $.$ równania hydrostatycznego (17)

Zobacz też

• wirowość
• Cyrkulacja (dynamika płynów)

Dalsza lektura

  Roulstone, Ian; Norbury, John (2013). Niewidzialny w burzy: rola matematyki w zrozumieniu pogody . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15272-1 .

Linki zewnętrzne

• Wpis do glosariusza AMS
• Artykuł w encyklopedii na temat potencjalnej wirowości autorstwa Michaela E. McIntyre'a