Ograniczając się tylko do tego wykładniczego, jak pokazuje teoria Galois , można konstruować tylko układy rozszerzeń abelowych , co wystarcza tylko dla równań czwartego stopnia i niższych. W przypadku równań wyższego stopnia wymagane jest coś bardziej ogólnego, więc aby rozwiązać kwintykę, Hermite i in. zastąpił wykładniczą funkcję modułową eliptyczną , a całkę (logarytm) całką eliptyczną . Kronecker uważał, że był to szczególny przypadek jeszcze bardziej ogólnej metody. Kamila Jordana wykazał, że każde równanie algebraiczne można rozwiązać za pomocą funkcji modularnych. Dokonał tego Thomae w 1870 r. Proces polegał na zastąpieniu funkcji wykładniczej w n-tym pierwiastku i eliptycznej funkcji modułowej w podejściu Hermite'a i in. przez jeszcze bardziej ogólne formy modułowe Siegela i całkę przez całkę hipereliptyczną . Hiroshi Umemura wyraził te modułowe funkcje w kategoriach funkcji theta wyższego rodzaju .
≠ nieredukowalny w pewnym podpolu liczb zespolonych, to jego pierwiastki wyrazić za pomocą następującego równania obejmującego funkcje theta o zerowym argumencie ( stałe teta ):
gdzie jest macierzą okresu wyprowadzoną z jednej z następujących całek hipereliptycznych:
jeśli ma nieparzysty stopień lub.
jeśli ma parzysty stopień.
Ten wzór ma zastosowanie do dowolnego równania algebraicznego dowolnego stopnia bez potrzeby transformacji Tschirnhausa lub jakiejkolwiek innej manipulacji w celu doprowadzenia równania do określonej postaci normalnej, takiej jak postać Bring-Jerrarda dla kwinty. Jednak zastosowanie tego wzoru w praktyce jest trudne, ponieważ odpowiednie całki hipereliptyczne i funkcje wyższego rodzaju theta są bardzo złożone.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a23a92a1b3e0e686b808666abbe231cdcbfa00)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}={}&\left[\theta \left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}1&1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}+\left[\theta \left({\begin{matrix}0&\cdots &0\\0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}-{\frac {\left[\theta \left({\begin{matrix}0&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}0&1&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}}{2\left[\theta \left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matrix}1&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0\end{matrix}}\right)(\Omega )\right]^{4}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420910c1cbb4e53beed6069864184ef17a1f7fc)
