pole pitagorejskie

W algebrze pole pitagorejskie to pole $1$ w którym każda suma dwóch kwadratów jest kwadratem: równoważnie ma liczbę Pitagorasa równą 1. Pitagorejskie rozszerzenie pola jest rozszerzeniem uzyskanym przez dołączenie elementu ${\ Displaystyle {\ sqrt {1+ \ lambda ^ {2}}}}$ dla jakiegoś ${\ Displaystyle \ lambda}$ w ${\ displaystyle F}$ . Zatem pole pitagorejskie jest polem zamkniętym biorąc rozszerzenia pitagorejskie. Dla każdego pola $je$ minimalne pole pitagorejskie, $,$ zawiera, unikalne do izomorfizmu zwane jego zamknięciem . Pole Hilberta jest minimalnie uporządkowanym polem Pitagorasa.

Nieruchomości

Każde pole euklidesowe ( pole uporządkowane , w którym wszystkie elementy nieujemne są kwadratami) jest uporządkowanym polem pitagorejskim, ale sytuacja odwrotna nie zachodzi. Pole zamknięte kwadratowo to pole pitagorejskie $,$ ale nie odwrotnie ( pitagorejskie); jednakże formalnie rzeczywiste pole pitagorejskie jest kwadratowo domknięte.

Pierścień Witta pola pitagorejskiego jest rzędu 2, jeśli pole nie jest formalnie rzeczywiste , a poza tym jest wolne od torsji. Dla pola istnieje $dokładna$ sekwencja pierścienie Witta

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ operatorname {Tor} IW (F) \ rightarrow W (F) \ rightarrow W (F ^ {\ operatorname {py} })}$

gdzie ${\ Displaystyle IW (F)} jest podstawowym$$F)}$ pierścienia Witta i $)$ W oznacza jego podgrupę skrętną (która jest po prostu nilrodykiem z ${\ Displaystyle W (F)}$ ).

Równoważne warunki

Następujące warunki na polu F są równoważne temu, że F jest pitagorejskie:

• Ogólny niezmiennik u 1 u ( F ) wynosi 0 lub .
• Jeśli ab nie jest kwadratem w F , to istnieje rząd w F , dla którego a , b mają różne znaki.
• F jest przecięciem jego domknięć euklidesowych .

Modele geometrii

Pola pitagorejskie można wykorzystać do skonstruowania modeli dla niektórych aksjomatów Hilberta dotyczących geometrii ( Iyanaga i Kawada 1980 , 163 C). Geometria współrzędnych podana przez pole pitagorejskie spełnia wiele $jak aksjomaty$$, takich$ , aksjomaty kongruencji i aksjomaty podobieństw. Jednak ogólnie ta geometria nie musi spełniać wszystkich aksjomatów Hilberta, chyba że pole F ma dodatkowe właściwości: na przykład, jeśli pole jest również uporządkowane, to geometria spełni aksjomaty porządkujące Hilberta, a jeśli pole jest również kompletne, geometria spełni aksjomat kompletności Hilberta.

Pitagorasowe zamknięcie pola uporządkowanego niearchimedesowego , takie jak zamknięcie pitagorejskie pola funkcji wymiernych $\mathbf {Q} ,}$ jednej zmiennej nad liczbami wymiernymi $\ mathbf {Q} (x)$$Displaystyle$ może służyć do konstruowania geometrii niearchimedesowych, które spełniają wiele aksjomatów Hilberta, ale nie jego aksjomat kompletności. Dehn wykorzystał takie pole do skonstruowania dwóch płaszczyzn Dehna , przykładów geometrii nielegendryjskiej i geometria półeuklidesowa , w której istnieje wiele linii przechodzących przez punkt nie przecinający danej linii, ale gdzie suma kątów trójkąta wynosi co najmniej π.

Twierdzenie Dillera-Dressa

Twierdzenie to stwierdza, że ​​jeśli E / F jest skończonym rozszerzeniem pola , a E jest pitagorejskie, to także F . W konsekwencji żadne pole liczb algebraicznych nie jest pitagorejskie, ponieważ wszystkie takie pola są skończone na Q , które nie jest pitagorejskie.

Pola superpitagorejskie

Pole superpitagorejskie F jest polem formalnie rzeczywistym, którego właściwość polega na tym, że jeśli S jest podgrupą o indeksie 2 w F ^∗ i nie zawiera −1, to S definiuje uporządkowanie na F . Równoważną definicją jest to, że F jest formalnie rzeczywistym ciałem, w którym zbiór kwadratów tworzy wachlarz . Pole superpitagorejskie jest koniecznie pitagorejskie.

Analogia twierdzenia Dillera-Dress brzmi: jeśli E / F jest skończonym rozszerzeniem, a E jest superpitagorejczykiem, to F również . W przeciwnym kierunku, jeśli F jest superpitagorejczykiem, a E jest formalnie rzeczywistym polem zawierającym F i zawartym w kwadratowym domknięciu F , to E jest superpitagorejczykiem.

Notatki

•    Dehn, Max (1900), „Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck” , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007/BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01
•    Efrat, Ido (2006), Wyceny, zamówienia i teoria K Milnora , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 124, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-4041-X , Zbl 1103.12002
•     Elman, Richard; Lam, TY (1972), „Formy kwadratowe nad polami formalnie rzeczywistymi i polami pitagorejskimi”, American Journal of Mathematics , 94 : 1155–1194, doi : 10.2307/2373568 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373568 , MR 0314878
•    Greenberg, Marvin J. (2010), „Stare i nowe wyniki w podstawach elementarnych geometrii euklidesowych i nieeuklidesowych”, Am. Matematyka pon. , 117 (3): 198–219, ISSN 0002-9890 , Zbl 1206.51015
•    Iyanaga, Shokichi ; Kawada, Yukiyosi, wyd. (1980) [1977], Encyklopedyczny słownik matematyki, tomy I, II , przetłumaczone z drugiego wydania japońskiego, wersja miękka wydania z 1977 r. (wyd. 1), MIT Press , ISBN 978-0-262-59010-5 , MR 0591028
•    Lam, TY (1983), Porządki, wyceny i formy kwadratowe , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, tom. 52, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-0702-1 , Zbl 0516.12001
•    Lam, TY (2005), „Rozdział VIII sekcja 4: Pola pitagorejskie”, Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , Graduate Studies in Mathematics , tom. 67, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 255–264, ISBN 978-0-8218-1095-8 , MR 2104929
•   Martin, George E. (1998), Konstrukcje geometryczne , Teksty licencjackie z matematyki , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98276-0
•    Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Symetryczne formy dwuliniowe , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , tom. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , Zbl 0292.10016
•    Rajwade, AR (1993), Squares , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 171, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42668-5 , Zbl 0785.11022