pole euklidesowe
W matematyce pole euklidesowe jest uporządkowanym ciałem K , dla którego każdy element nieujemny jest kwadratem: to znaczy, że x ≥ 0 w K implikuje, że x = y 2 dla pewnego y w K .
Konstruowalne liczby tworzą pole euklidesowe. Jest to najmniejsze pole euklidesowe, ponieważ każde pole euklidesowe zawiera je jako uporządkowane podpole. Innymi słowy, konstruowalne liczby tworzą euklidesowe domknięcie liczb wymiernych .
Nieruchomości
- Każde pole euklidesowe jest uporządkowanym polem pitagorejskim , ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa.
- Jeśli E / F jest skończonym rozszerzeniem , a E jest euklidesowe, to także F . To „twierdzenie o spadku” jest konsekwencją twierdzenia Dillera-Dress .
Przykłady
- Rzeczywiste konstruowalne liczby , te (ze znakiem) długości, które można skonstruować z segmentu wymiernego za pomocą konstrukcji linijki i kompasu , tworzą pole euklidesowe.
Każde rzeczywiste pole zamknięte jest polem euklidesowym. Poniższe przykłady są również rzeczywistymi polami zamkniętymi.
- Liczby rzeczywiste ze zwykłymi tworzą pole euklidesowe.
- Pole liczb polem
- Pole liczb hiperrzeczywistych jest polem euklidesowym.
kontrprzykłady
- Liczby wymierne ze zwykłymi nie tworzą pola euklidesowego. Na przykład 2 nie jest kwadratem w pierwiastek z 2 jest niewymierny . Na podstawie powyższego wyniku malejącego żadne pole liczb algebraicznych nie może być euklidesowe.
- Liczby zespolone nie tworzą pola euklidesowego, ponieważ nie można im nadać struktury pola
Zamknięcie euklidesowe
Euklidesowe zamknięcie uporządkowanego pola K jest rozszerzeniem K w kwadratowym zamknięciu K , które jest maksymalne w odniesieniu do bycia uporządkowanym polem z rzędem rozszerzającym się z K . Jest to również najmniejsze podciało algebraicznego domknięcia K , które jest ciałem euklidesowym i jest uporządkowanym rozszerzeniem K .
- Efrat, Ido (2006). Wyceny, zamówienia i teoria K Milnora . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 124. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-4041-X . Zbl 1103.12002 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych na polach . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 67. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1095-2 . MR 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Martin, George E. (1998). konstrukcje geometryczne . Teksty licencjackie z matematyki . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98276-0 . Zbl 0890.51015 .