Pole kwadratowo zamknięte

W matematyce pole kwadratowo domknięte to takie ciało , w którym każdy element ma pierwiastek kwadratowy .

Przykłady

• Pole liczb zespolonych jest domknięte kwadratowo; bardziej ogólnie, każde ciało algebraicznie domknięte jest domknięte kwadratowo.
• Pole liczb rzeczywistych nie jest domknięte kwadratowo, ponieważ nie zawiera pierwiastka kwadratowego z −1.
• Suma pól skończonych $dla$ n ≥  ≥ 0 is quadratically closed but not algebraically closed.
• Pole liczb konstrukcyjnych jest domknięte kwadratowo, ale nie algebraicznie.

Nieruchomości

• Ciało jest kwadratowo domknięte wtedy i tylko wtedy, gdy ma uniwersalny niezmiennik równy 1.
• Każde ciało kwadratowo domknięte jest polem pitagorejskim , ale nie odwrotnie (na przykład R jest pitagorejskie); jednakże każde nieformalnie rzeczywiste pole pitagorejskie jest domknięte kwadratowo.
• Pole jest kwadratowo domknięte wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień Witta – Grothendiecka jest izomorficzny z Z w ramach mapowania wymiarów.
• Formalnie rzeczywiste pole euklidesowe E nie jest domknięte kwadratowo (ponieważ −1 nie jest kwadratem w E ), ale rozszerzenie kwadratowe E ( √ −1 ) jest domknięte kwadratowo.
• Niech E / F będzie skończonym rozszerzeniem , gdzie E jest kwadratowo domknięte. Albo -1 jest kwadratem w F i F jest domknięte kwadratowo, albo -1 nie jest kwadratem w F i F jest euklidesowe. To „twierdzenie opadające” można wywnioskować z twierdzenia Dillera – Dressa .

Kwadratowe zamknięcie

Kwadratowe domknięcie pola F jest kwadratowo domkniętym polem zawierającym F , które jest zanurzone w dowolnym kwadratowo zamkniętym polu zawierającym F . Zamknięcie kwadratowe dla dowolnego danego F można skonstruować jako podciało domknięcia algebraicznego F alg F , jako sumę wszystkich ^iterowanych rozszerzeń kwadratowych F w F ^alg .

Przykłady

• Zamknięcie kwadratowe R to C .
• Zamknięcie $_$ F ₅ sumą _
• Zamknięcie kwadratowe Q jest obszarem zespolonych liczb konstrukcyjnych .

•     Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 67. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1095-2 . MR 2104929 . Zbl 1068.11023 .
•    Rajwade, AR (1993). Kwadraty . Seria notatek z wykładów Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego. Tom. 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5 . Zbl 0785.11022 .