przypuszczenie SYZ

Hipoteza SYZ jest próbą zrozumienia hipotezy symetrii lustrzanej , problemu w fizyce teoretycznej i matematyce. Oryginalna hipoteza została zaproponowana w artykule Stromingera , Yau i Zaslowa , zatytułowanym „Mirror Symmetry is T -duality”.

Wraz z hipotezą homologicznej symetrii zwierciadła jest to jedno z najczęściej badanych narzędzi stosowanych do zrozumienia symetrii zwierciadła w kategoriach matematycznych. Podczas gdy homologiczna symetria lustrzana jest oparta na algebrze homologicznej , hipoteza SYZ jest geometryczną realizacją symetrii lustrzanej.

Sformułowanie

W teorii strun lustrzana symetria odnosi się do teorii typu IIA i typu IIB . Przewiduje, że efektywna teoria pola typu IIA i typu IIB powinna być taka sama, jeśli te dwie teorie zostaną zwarte na rozmaitościach par lustrzanych.

Hipoteza SYZ wykorzystuje ten fakt do zrealizowania lustrzanej symetrii. Rozpoczyna się od rozważenia stanów BPS teorii typu IIA zwartych na X , zwłaszcza 0-bran, które mają przestrzeń modułów X . Wiadomo, że wszystkie stany BPS teorii typu IIB zwarte na Y są 3-branami. Dlatego symetria lustrzana odwzorowuje 0-brany teorii typu IIA na podzbiór 3-bran teorii typu IIB.

Rozważając warunki supersymetryczne , wykazano, że te 3-brany powinny być specjalnymi podrozmaitościami Lagrange'a . Z drugiej strony T-dwoistość dokonuje w tym przypadku tej samej transformacji, a zatem „lustrzana symetria to T-dwoistość”.

Oświadczenie matematyczne

Wstępna propozycja hipotezy SYZ autorstwa Stromingera, Yau i Zaslowa nie została podana jako precyzyjne stwierdzenie matematyczne. Jedną z części matematycznego rozwiązania hipotezy SYZ jest w pewnym sensie prawidłowe sformułowanie samej hipotezy. W literaturze matematycznej nie ma uzgodnionego, dokładnego sformułowania hipotezy, ale istnieje ogólne stwierdzenie, które powinno być zbliżone do poprawnego sformułowania hipotezy, która jest tutaj przedstawiona. Stwierdzenie to podkreśla topologiczny obraz symetrii zwierciadła, ale nie charakteryzuje dokładnie relacji między złożonymi i symplektycznymi strukturami par zwierciadeł ani nie nawiązuje do związanych z nimi Zaangażowane metryki riemannowskie .

Hipoteza SYZ: Każda 6-wymiarowa rozmaitość Calabiego – Yau $,$ $że$ 6-wymiarową rozmaitość Calabiego – Yau istnieją ciągłe suriecje ${\ Displaystyle f: X \ do B}$ , ${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}}: {\ kapelusz {X}} \ do B}$ do zwartej rozmaitości topologicznej ${\ Displaystyle B}$ wymiaru 3, takie, że

Istnieje gęsty podzbiór otwarty ${\ Displaystyle B _ {\ tekst {reg}} \ podzbiór B},$ na którym mapy są fibracjami według liczby pojedynczej ${\ displaystyle f, {\ hat {f}}}$ specjalne Lagrange'a 3-tori . $\ Displaystyle f ^ {- 1} (b$ dla każdego punktu $)$ fa i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} ^ {- 1} (b)}$ powinny być w pewnym sensie podwójne względem siebie, analogicznie do dwoistości odmian abelowych .

b $b \ w B \ ukośnik odwrotny B _ {\ tekst {reg}}}$ Displaystyle fa $\ Displaystyle f ^ {- 1} (b)$ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} ^ {- 1} (b)}$ powinny być pojedynczymi trójwymiarowymi specjalnymi podrozmaitościami Lagrange'a ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle {\ hat odpowiednio {X}}}$ .

Schemat specjalnego włóknienia torusa Lagrange'a. Włókna

{\ Displaystyle f: X \ do B}

nad punktami w

{\ displaystyle B _ {\ tekst {reg}}}

to 3-tori, a nad pojedynczym zbiorem

{ \ displaystyle B \ ukośnik odwrotny B _ {\ text {reg}}}

włókno może być prawdopodobnie pojedynczą specjalną podrozmaitością Lagrange'a

{\ displaystyle L}

.

Sytuacja, w której $,$ nazywana jest półpłaską granicą SYZ i jest często używana jako sytuacja modelowa opisać włóknienie torusa. Można wykazać, że hipoteza SYZ obowiązuje w niektórych prostych przypadkach półpłaskich granic, na przykład podanych przez rozmaitości abelowe i powierzchnie K3 , które są rozwłóknione krzywymi eliptycznymi .

Oczekuje się, że prawidłowe sformułowanie hipotezy SYZ będzie nieco różnić się od powyższego stwierdzenia. Na przykład możliwe zachowanie pojedynczego zestawu nie jest dobrze poznane, a ten zestaw może być dość duży w porównaniu z b ${\ displaystyle B \ backslash$ ${\ displaystyle B}}$ . Symetria lustrzana jest również często wyrażana w kategoriach zdegenerowanych rodzin rozmaitości Calabiego – Yau zamiast pojedynczego Calabiego – Yau i można by oczekiwać, że hipoteza SYZ zostanie dokładniej przeformułowana w tym języku.

Związek z hipotezą homologicznej symetrii lustrzanej

Hipoteza symetrii lustrzanej SYZ jest jednym z możliwych udoskonaleń pierwotnej hipotezy symetrii lustrzanej odnoszącej się do liczb Hodge'a lustrzanych rozmaitości Calabiego – Yau. Drugi to hipoteza homologicznej symetrii lustrzanej Kontsevicha (hipoteza HMS). Te dwie hipotezy kodują przewidywania symetrii lustrzanej na różne sposoby: homologiczna symetria lustrzana w sposób algebraiczny i hipoteza SYZ w sposób geometryczny .

Powinien istnieć związek między tymi trzema interpretacjami lustrzanej symetrii, ale nie wiadomo jeszcze, czy powinny być one równoważne, czy też jedna propozycja jest silniejsza od drugiej. Wiadomo, że przy pewnych założeniach homologiczna symetria lustrzana implikuje teoretyczną symetrię lustrzaną Hodge'a.

Niemniej jednak w prostych ustawieniach istnieją jasne sposoby powiązania hipotez SYZ i HMS. Kluczową cechą HMS jest to, że hipoteza odnosi obiekty (podrozmaitości lub snopki) do lustrzanych przestrzeni geometrycznych, więc wymagane dane wejściowe, aby spróbować zrozumieć lub udowodnić hipotezę HMS, obejmują lustrzaną parę przestrzeni geometrycznych. Hipoteza SYZ przewiduje, w jaki sposób powinny powstać te pary lustrzane, więc za każdym razem, gdy zostanie znaleziona para lustrzana SYZ, dobrym kandydatem jest próba udowodnienia hipotezy HMS na tej parze.

Aby powiązać hipotezy SYZ i HMS, wygodnie jest pracować na granicy półpłaskiej. Ważną cechą geometryczną pary fibracji torusa Lagrange'a, $która$ koduje symetrię torusa . Biorąc pod $\ Displaystyle T$ torus Lagrange'a , torus podwójny jest określony przez jakobianową odmianę T $\ podzbiór X}$ , oznaczoną ${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} = \ operatorname {Jac} (T)}$ . To znowu torus tego samego wymiaru, a dwoistość jest zakodowana w fakcie, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Jac} (\ operatorname {Jac} (T)) = T}$ $więc$ $i$ są rzeczywiście konstrukcji. Odmiana Jakobian ${\ Displaystyle {\ hat {T}}}$ ma ważną interpretację jako przestrzeń modułów wiązek linii na ${\ displaystyle T}$ .

Ta dwoistość i interpretacja torusa podwójnego jako przestrzeni modułów snopów na pierwotnym torusie pozwala na wymianę danych z podrozmaitości i podrozmaitości. Istnieją dwa proste przykłady tego zjawiska:

Jeśli $}$ ${\ Displaystyle T = \ operatorname {Jac} ({\ kapelusz {T}})}$ $włóknienia$ jest punktem, który leży wewnątrz jakiegoś włókna torusa Lagrange'a, to $punkt$ odpowiada linii obsługiwanej na ${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} \ podzbiór {\ kapelusz {X}}}$ . $}$ sekcję $,$ że Lagrange'a $_$ , to właśnie od tego czasu ${\ displaystyle s}$ wybiera jeden punkt w każdym włóknie torusa rozwłóknienia SYZ, ta sekcja Lagrange'a jest lustrzanie podwójna do wyboru struktury wiązki linii podpartej na każdym włóknie torusa rozmaitości lustrzanej, aw konsekwencji X ^ {\ displaystyle {\ kapelusz { X $}$ wiązka linii na całkowitej przestrzeni $się$ najprostszy przykład spójnego snopka w pochodnej kategorii rozmaitości lustrzanej. Jeśli włókna torusa zwierciadła nie mieszczą się w granicy półpłaskiej, należy zachować szczególną ostrożność podczas przekraczania pojedynczego zestawu podstawy ${\ Displaystyle B}$ .

Innym przykładem podrozmaitości Lagrange'a jest samo włókno torusa i widać, że jeśli cały torus zostanie potraktowany jako Lagrange'a , z dodanymi danymi płaskiej wiązki linii jednostkowych nad nim , ${\ displaystyle T \ subset X}$ jak to często jest konieczne w homologicznej symetrii zwierciadła, to w podwójnym torusie odpowiada to pojedynczemu punktowi, który reprezentuje tę wiązkę linii ${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} \ podzbiór {\ kapelusz {X}}}$ nad torusem. Jeśli ktoś bierze snop wieżowca podparty w tym punkcie podwójnego torusa, to widzimy, jak włókna torusa z fibracji SYZ są wysyłane do krążków wieżowca podpartych w punktach lustrzanego włókna torusa .

Te dwa przykłady dają najbardziej ekstremalne rodzaje snopów koherentnych , krążków lokalnie wolnych (rzędu 1) i krążków skrętnych wspartych na punktach. Dzięki dokładniejszej konstrukcji można zbudować bardziej skomplikowane przykłady spójnych snopów, analogicznie do budowania spójnego snopka za pomocą filtracji skrętnej. Jako prosty przykład, multisekcja Lagrange'a (suma k sekcji Lagrange'a) powinna być lustrzanie podwójna z wiązką wektorów rangi k na rozmaitości lustrzanej, ale należy wziąć pod uwagę poprawki chwilowe przez zliczanie dysków holomorficznych , które są ograniczone przez multisekcję, w sensie teorii Gromowa-Wittena . W ten sposób geometria wyliczeniowa staje się ważna dla zrozumienia, w jaki sposób symetria lustrzana zamienia podwójne obiekty.

Łącząc geometrię fibracji lustrzanych w hipotezie SYZ ze szczegółowym zrozumieniem niezmienników wyliczeniowych i struktury pojedynczego zbioru podstawy $,$ jest wykorzystanie geometrii fibracji do zbudowania izomorfizmu kategorie od podrozmaitości Lagrange'a do spójnych snopów $^ {\ Displaystyle$ $}}$ mapa ${\ Displaystyle \ operatorname {Fuk} (X) \ do \ operatorname {D} ^ {b} \ operatorname {Coh} ({\ kapelusz {X}})}$ . Powtarzając tę samą dyskusję w odwrotnej kolejności, używając dwoistości fibracji torusa, podobnie można zrozumieć spójne snopy na ${\ displaystyle X}$ w kategoriach podrozmaitości Lagrange'a i mieć nadzieję, że $\ displaystyle X}$ aby uzyskać pełne zrozumienie, w jaki sposób hipoteza HMS odnosi się do hipotezy SYZ.