zbieżność Wijsmana

Zbieżność Wijsmana jest odmianą zbieżności Hausdorffa odpowiednią do pracy ze zbiorami nieograniczonymi . Intuicyjnie, zbieżność Wijsmana ma się do zbieżności w metryce Hausdorffa tak, jak zbieżność punktowa do zbieżności jednostajnej .

Historia

Zbieżność została zdefiniowana przez Roberta Wijsmana. Tej samej definicji użył wcześniej Zdeněk Frolík . Jeszcze wcześniej Hausdorff w swojej książce Grundzüge der Mengenlehre zdefiniował tzw. granice zamknięte ; dla właściwych przestrzeni metrycznych jest to to samo, co zbieżność Wijsmana.

Definicja

Niech ( X , d ) będzie przestrzenią metryczną i niech Cl( X ) oznacza zbiór wszystkich d -domkniętych podzbiorów X . Dla punktu x ∈ X i zbioru A ∈ Cl( X ), zbiór

${\ Displaystyle d (x, A) = \ inf _ {a \ w A} d (x, a).}$

, że ciąg (lub sieć ) zbiorów A _i ∈ Cl( X ) jest zbieżny Wijsmana do A ∈ Cl( X ), jeśli dla każdego x ∈ X ,

${\ Displaystyle d (x, A_ {i}) \ do d (x, A).}$

Zbieżność Wijsmana indukuje topologię na Cl( X ), znaną jako topologia Wijsmana .

Nieruchomości

• Topologia Wijsmana bardzo silnie zależy od metryki d . Nawet jeśli dwie metryki są jednakowo równoważne, mogą generować różne topologie Wijsmana.
• Twierdzenie Beera : jeśli ( X , d ) jest przestrzenią metryczną zupełną , separowalną , to Cl( X ) o topologii Wijsmana jest przestrzenią polską , tzn. jest separowalna i metryzowalna z metryką zupełną.
• Cl( X ) z topologią Wijsmana jest zawsze przestrzenią Tichonowa . Co więcej, mamy twierdzenie Leviego-Lechickiego : ( X , d ) jest separowalne wtedy i tylko wtedy, gdy Cl( X ) jest metryzowalne, przeliczalne w pierwszej kolejności lub przeliczalne w drugiej kolejności .
• Jeśli punktową zbieżność zbieżności Wijsmana zastąpimy zbieżnością jednostajną (jednostajnie w x ), to otrzymamy zbieżność Hausdorffa, gdzie metryka Hausdorffa jest dana wzorem

${\ Displaystyle d _ {\ operatorname {H}} (A, B) = \ sup _ {x \ w X} {\ duży |} d (x, A) -d (x, B) {\ duży |}. }$

Topologie Hausdorffa i Wijsmana na Cl( X ) pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ( X , d ) jest przestrzenią całkowicie ograniczoną .

Zobacz też

• odległość Hausdorffa
• Zbieżność Kuratowskiego
• Topologia Vietorisa
• Hemiciągłość

Notatki

Bibliografia

•   Piwo, Gerald (1993). Topologie na zbiorach wypukłych domkniętych i domkniętych . Matematyka i jej zastosowania 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. s. XII + 340. ISBN 0-7923-2531-1 . MR 1269778
• Piwo, Gerald (1994). „Konwergencja Wijsmana: ankieta”. Anal o ustalonej wartości . 2 (1–2): 77–94. doi : 10.1007/BF01027094 . MR 1285822

Linki zewnętrzne

• Som Naimpally (2001) [1994], „Zbieżność Wijsmana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press