Algebra Bosego-Mesnera

W matematyce algebra Bosego-Mesnera to specjalny zestaw macierzy , które powstają ze struktury kombinatorycznej znanej jako schemat asocjacyjny , wraz ze zwykłym zestawem reguł łączenia (tworzenia iloczynów) tych macierzy, tak że tworzą asocjacyjną algebry , a dokładniej, unitarnej algebry przemiennej . Wśród tych zasad są:

• wynik iloczynu również mieści się w zbiorze macierzy,
• w zbiorze istnieje macierz tożsamości i
• branie produktów jest przemienne .

Algebry Bosego-Mesnera mają zastosowanie w fizyce do modeli spinowych oraz w statystyce do projektowania eksperymentów . Zostały nazwane na cześć RC Bose i Dale Marsh Mesner.

Definicja

Niech X będzie zbiorem v elementów. Rozważmy podział 2-elementowych podzbiorów X na n niepustych podzbiorów R ₁ , ..., R _n takich, że:

• biorąc pod uwagę liczbę $taką$${\ Displaystyle y \ in X}$ , że $in R_{i}}$ zależy tylko od i (a nie od x ). Ta liczba będzie oznaczona przez v _i , oraz
• biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle x, y \ w X}$ z ${\ Displaystyle \ {x, y \} \ w R_ {k}}$ liczba ${ \ Displaystyle z \ w X}$ takie, że ${\ Displaystyle \ {x, z \} \ w R_ {i}}$ i ${\ Displaystyle \ {z, y\}\in R_{j}}$ zależy tylko od i , j i k (a nie od x i y ). Liczba ta będzie oznaczona przez ${\ displaystyle p_ {ij} ^ {k}}$ .

₀ Ta struktura jest wzmocniona przez dodanie wszystkich par powtarzających się elementów X i zebranie ich w podzbiór R . To ulepszenie pozwala parametrom i , j i k przyjąć wartość zero i pozwala niektórym x , y lub z być równym.

Zestaw z takim rozszerzonym podziałem nazywany jest schematem asocjacyjnym . Schemat asocjacji można postrzegać jako podział krawędzi pełnego grafu (ze zbiorem wierzchołków X ) na n klas, często uważanych za klasy kolorów. W tej reprezentacji w każdym wierzchołku znajduje się pętla, a wszystkie pętle otrzymują ten sam kolor zerowy.

Schemat asocjacji można również przedstawić algebraicznie. Rozważmy macierze D _i zdefiniowane przez:

${\ Displaystyle (D_ {i}) _ {x, y} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} \ lewo (x, y \ prawo) \ w R_ {i} ,\\0,&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}\qquad (1)}$

Niech będzie przestrzenią wektorową składającą $\ sideset {}{_ {i = 0} ^ {n}} \ suma a_ {i} D_ {i}}$ ze wszystkich macierzy $za$ , z ${\ displaystyle a_ {i}}$ .

Definicja schematu skojarzeń jest równoznaczna z powiedzeniem, że $\ displaystyle D_ {i}}$ , które spełniają, są v × v (0,1) - re ja

1. jest symetryczny, ${\ displaystyle D_ {i}}$
2. ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} D_ {i} = J}$ (macierz wszystkich jedynek),
3. ${\ Displaystyle D_ {0} = ja,}$
4. ${\ Displaystyle D_ {i} D_ {j} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} p_ {ij} ^ {k} D_ {k} = D_ {j} D_ {i}, \ qquad ja, j=0,\ldkropki ,n.}$

( x , y ) -ta pozycja po lewej stronie 4. to liczba dwóch kolorowych ścieżek o długości dwa łączących x i y (za pomocą „kolorów” i oraz j ) na wykresie. Zauważ, że wiersze i kolumny zawierają 1s: $}$$displaystyle D_ {$

${\ Displaystyle D_ {i} J = JD_ {i} = v_ {i} J. \ qquad (2)}$

Od 1. macierze te są symetryczne . Od 2. re $\ Displaystyle D_ {0}, \ ldots, D_ {n}}$ są liniowo niezależne , a wymiar wynosi ${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ . Od 4. $.$ zamknięte przy mnożeniu, a mnożenie jest zawsze asocjacyjne Ta asocjacyjna algebra $.$ nazywana jest algebrą Bosego – Mesnera schematu asocjacyjnego Ponieważ macierze w są symetryczne i dojeżdżają do pracy ze sobą, można je jednocześnie $.$ Oznacza to, że istnieje taka macierz , że dla każdej istnieje $}} }$ diagonalna $}$${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {$ z ${\ Displaystyle S ^ {- 1} AS = \ Lambda _ {A}}$ . Oznacza to, że ${$ półprosty i ma unikalną podstawę pierwotnych idempotentów $\ Displaystyle J_ {0}, \ ldots, J_ {n}}$ . Są to złożone macierze n × n satysfakcjonujące

${\ Displaystyle J_ {i} ^ {2} = J_ {i}, i = 0, \ ldots, n, \ qquad (3)}$

${\ Displaystyle J_ {i} J_ {k} = 0, i \ neq k, \ qquad (4)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} J_ {i} = I. \ qquad (5)}$

$podstawy$ Bosego – Mesnera ma dwie wyróżnione : podstawę składającą się z $macierzy$ sąsiedztwa oraz podstawę składającą się macierzy . Z definicji istnieją dobrze zdefiniowane liczby zespolone takie, że

${\ Displaystyle D_ {i} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} p_ {i} (k) E_ {k}, \qquad (6)}$

I

${\ Displaystyle | X | E_ {k} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} q_ {k} \ lewo (i \ prawo) D_ {i}. \ qquad (7)}$

P-liczby ${\ Displaystyle p_ {i} (k)}$$znaczącą$ rolę teorii . Spełniają dobrze zdefiniowane relacje ortogonalności. Liczby p to wartości własne macierzy sąsiedztwa ${\ displaystyle D_ {i}}$ .

Twierdzenie

Wartości własne ${\ Displaystyle p_ {i} (k)}$ i ${\ Displaystyle q_ {k} (i)}$ spełniają warunki ortogonalności: p ja ( k ) { \ Displaystyle p_ {i} (k ) }

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} \ mu _ {i} p_ { ja}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} \ mu _ {i} q_ {k} (i) q_ {\ ell} (i) = v \ mu _ {k} \ delta _ {k\ell}.\quad (9)}$

Również

${\ Displaystyle \ mu _ {j} p_ {i} (j) = v_ {i} q_ {j} (i), \ quad i, j = 0, \ ldots, n. \ quad (10) }$

W notacji macierzowej są to

${\ Displaystyle P ^ {T} \ Delta _ {\ mu} P = v \ Delta _ {v}, \ quad (11)}$

${\ Displaystyle Q ^ {T} \ Delta _ {v} Q = v \ Delta _ {\ mu} \ quad (12)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta _ {v} = \ nazwa operatora {diag} \ {v_ {0}, v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}, \ qquad \ Delta _ {\ mu} = \ nazwa operatora { diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots,\mu _{n}\}.}$

Dowód twierdzenia

Re ja re ℓ $)$$\ ell} (k)}$ \ z krotnościami ${\ Displaystyle \ mu _ {k}}$ . To daje do zrozumienia ze

${\ Displaystyle vv_ {i} \ delta _ {i \ ell} = \operatorname {ślad} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\ czworokąt (13)}$

co dowodzi Równanie ${\ Displaystyle \ lewo (8 \ prawej)}$ i Równanie ${\ Displaystyle \ lewo (11 \ prawej)$ }

${\ Displaystyle Q = vP ^ {- 1} = \ Delta _ {v} ^ {- 1} P ^ {T} \ Delta _ {\mu},\quad (14)}$

co daje Równania ${\ Displaystyle (9)}$ , ${\ Displaystyle (10)}$ i ${\ Displaystyle (12)}$ . ${\ Displaystyle \ Pudełko}$

Istnieje analogia między rozszerzeniami schematów asocjacyjnych a rozszerzeniami skończonych pól . Najbardziej interesują nas przypadki, w których schematy rozszerzone są zdefiniowane na $mathcal {F}} ^ {n}}$ { \ $\$ a ustawić , na którym zdefiniowany jest podstawowy schemat skojarzeń ${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathcal {F}}, K \ prawej)$$K$ Pierwszy schemat asocjacji zdefiniowany na $= {\ mathcal {F}} ^ {n}}$ X $nazywa$ się potęgą Kroneckera ${\ displaystyle \ lewo ({\ mathcal {F}}, K \ prawej) _ {\ otimes} ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathcal {F}}, K \ prawej)}$ . Następnie rozszerzenie jest definiowane na tym samym zbiorze $lewo$${F}},K\right)_{\czasami}^{n}}$ n $\$ . Potęga Kroneckera odpowiada pierścieniowi wielomianu zdefiniowanemu po raz pierwszy na polu , podczas gdy schemat rozszerzenia odpowiada uzyskanemu polu rozszerzenia ${\ Displaystyle F \ lewo [ X$$prawo ]}$ jako iloraz. Przykładem takiego rozszerzonego schematu jest schemat Hamminga .

Schematy asocjacji można łączyć, ale ich łączenie prowadzi do niesymetrycznych schematów asocjacji , podczas gdy wszystkie zwykłe kody są podgrupami w symetrycznych schematach abelowych .

Zobacz też

• Schemat stowarzyszenia

Notatki

•    Bailey, Rosemary A. (2004), Schematy asocjacyjne: zaprojektowane eksperymenty, algebra i kombinatoryka , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 84, Cambridge University Press, s. 387, ISBN 978-0-521-82446-0 , MR 2047311
•    Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), kombinatoryka algebraiczna I: Schematy asocjacyjne , Menlo Park, Kalifornia: The Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., s. XXIV + 425, ISBN 0-8053-0490-8 , MR 0882540
•   Bannai, Etsuko (2001), „Algebry Bosego – Mesnera związane z modelami wirowania o czterech wagach”, Graphs and Combinatorics , 17 (4): 589–598, doi : 10.1007 / PL00007251 , S2CID 41255028
•    Bose, RC ; Mesner, DM (1959), „O liniowych algebrach asocjacyjnych odpowiadających schematom skojarzeń częściowo zrównoważonych projektów” , Annals of Mathematical Statistics , 30 (1): 21–38, doi : 10,1214 / aoms / 1177706356 , JSTOR 2237117 , MR 0102157
•   Cameron, PJ; van Lint, JH (1991), projekty, wykresy, kody i ich linki , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6
• Camion, P. (1998), „Kody i schematy asocjacji: podstawowe właściwości schematów asocjacji istotne dla kodowania”, w: Pless, VS ; Huffman, WC (red.), Podręcznik teorii kodowania , Holandia: Elsevier
• Delsarte, P.; Levenshtein, VI (1998), „Schematy skojarzeń i teoria kodowania”, IEEE Transactions on Information Theory , 44 (6): 2477–2504, doi : 10.1109/18.720545
• MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1978), Teoria kodów korekcji błędów , New York: Elsevier
• Nomura, K. (1997), „Algebra powiązana z modelem spinowym”, Journal of Algebraic Combinatorics , 6 (1): 53–58, doi : 10,1023 / A: 1008644201287