Arytmetyka werbalna

Arytmetyka słowna , znana również jako alfametyka , kryptorytmetyka , kryptorytmia lub dodawanie słów , to rodzaj gry matematycznej składającej się z równania matematycznego wśród nieznanych liczb , których cyfry są reprezentowane przez litery alfabetu. Celem jest określenie wartości każdej litery. Nazwę można rozszerzyć na łamigłówki, które zamiast liter używają symboli niealfabetycznych.

Równanie jest zazwyczaj podstawową operacją arytmetyczną , taką jak dodawanie , mnożenie lub dzielenie . Klasycznym przykładem, opublikowanym w numerze Strand Magazine z lipca 1924 roku przez Henry'ego Dudeneya , jest:

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} i & {\ tekst {S}} i {\ tekst {E}} i {\ tekst {N}} i { \text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text {M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{macierz}}}$

Rozwiązaniem tej zagadki jest O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 i S = 9.

Tradycyjnie każda litera powinna reprezentować inną cyfrę, a (jak w zwykłym zapisie arytmetycznym) cyfra wiodąca liczby wielocyfrowej nie może być zerem. Dobra łamigłówka powinna mieć jedno unikalne rozwiązanie, a litery powinny tworzyć frazę (jak w powyższym przykładzie).

może być użyteczna jako motywacja i źródło ćwiczeń w nauczaniu algebry .

Historia

kryptarytmiczne są dość stare, a ich wynalazca jest nieznany. Przykład z 1864 roku w The American Agriculturist obala popularne przekonanie, że został wynaleziony przez Sama Loyda . Nazwa „kryptorytm” została ukuta przez puzzlistę Minosa (pseudonim Simon Vatriquant) w wydaniu Sphinx , belgijskiego magazynu matematyki rekreacyjnej z maja 1931 r. I została przetłumaczona jako „kryptorytmetyka” przez Maurice'a Kraitchika w 1942 r. W 1955 r. JAH Hunter wprowadził słowo „alfametyczny” oznaczające kryptarytmy, takie jak Dudeney, których litery tworzą znaczące słowa lub frazy.

Rodzaje kryptarytmów

Układanka podziału szkieletu Richarda Feynmana - każde A reprezentuje tę samą cyfrę, a każda kropka dowolną cyfrę niereprezentowaną przez A

Rodzaje kryptarytmu obejmują podział alfametyczny, cyfrowy i szkieletowy.

Alfametyczny: Rodzaj kryptorytmu, w którym zestaw słów jest zapisywany w postaci długiej sumy dodawania lub innego problemu matematycznego. Celem jest zastąpienie liter alfabetu cyframi dziesiętnymi, aby uzyskać prawidłową sumę arytmetyczną.
Digimetic: Kryptorytm, w którym cyfry są używane do reprezentowania innych cyfr.

Podział szkieletowy: Podział długi, w którym większość lub wszystkie cyfry są zastępowane symbolami (zwykle gwiazdkami), tworząc kryptorytm.
Kryptarytm odwrotny: Rzadka odmiana, w której zapisuje się formułę, a rozwiązaniem jest odpowiedni kryptorytm, którego rozwiązaniem jest podany wzór.

Rozwiązywanie kryptorytmów

Ręczne rozwiązywanie kryptorytmu zazwyczaj obejmuje kombinację dedukcji i wyczerpujących testów możliwości. Na przykład następująca sekwencja dedukcji rozwiązuje powyższą łamigłówkę Dudeneya WYŚLIJ + WIĘCEJ = PIENIĄDZE (kolumny są ponumerowane od prawej do lewej):

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} i & {\ tekst {S}} i {\ tekst {E}} i {\ tekst {N}} i { \text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text {M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{macierz}}}$

Z kolumny 5 M = 1 , ponieważ jest to jedyne możliwe przeniesienie z sumy dwóch jednocyfrowych liczb w kolumnie 4.
Ponieważ w kolumnie 5 występuje przeniesienie, O musi być mniejsze lub równe M (z kolumny 4). Ale O nie może być równe M, więc O jest mniejsze niż M. Dlatego O = 0 .
Ponieważ O jest o 1 mniejsze niż M, S wynosi 8 lub 9, w zależności od tego, czy w kolumnie 4 występuje przeniesienie. Ale gdyby w kolumnie 4 było przeniesienie, N byłoby mniejsze lub równe O (z kolumny 3). Jest to niemożliwe, ponieważ O = 0. Dlatego nie ma przeniesienia w kolumnie 3 i S = 9 .
Jeśli w kolumnie 3 nie było przeniesienia, to E = N, co jest niemożliwe. Dlatego istnieje przeniesienie i N = E + 1.
Jeśli w kolumnie 2 nie było przeniesienia, to ( N + R ) mod 10 = E i N = E + 1, więc ( E + 1 + R ) mod 10 = E, co oznacza ( 1 + R ) mod 10 = 0 , więc R = 9. Ale S = 9, więc musi być przeniesienie w kolumnie 2, więc R = 8 .
Aby uzyskać przeniesienie w kolumnie 2, musimy mieć D + E = 10 + Y.
Y wynosi co najmniej 2, więc D + E wynosi co najmniej 12.
Jedyne dwie pary dostępnych liczb, których suma wynosi co najmniej 12, to (5,7) i (6,7), więc albo E = 7, albo D = 7.
Ponieważ N = E + 1, E nie może wynosić 7, ponieważ wtedy N = 8 = R, więc D = 7 .
E nie może wynosić 6, ponieważ wtedy N = 7 = D, więc E = 5 i N = 6 .
re + mi = 12 więc Y = 2 .

Inny przykład TO+GO=OUT (źródło nieznane):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} & & {\ tekst {T}} i {\ tekst {O}} \\ + & & {\ tekst {G}} i {\ tekst { O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{macierz}}}$

Suma dwóch największych liczb dwucyfrowych wynosi 99+99=198. Więc O=1 i jest przeniesienie w kolumnie 3.
Ponieważ kolumna 1 znajduje się po prawej stronie wszystkich innych kolumn, niemożliwe jest, aby miała ona przeniesienie. Dlatego 1+1=T i T=2 .
Ponieważ kolumna 1 została obliczona w ostatnim kroku, wiadomo, że w kolumnie 2 nie ma przeniesienia. Ale wiadomo również, że w pierwszym kroku jest przeniesienie w kolumnie 3. Dlatego 2+G≥10. Jeśli G jest równe 9, U równałoby się 1, ale jest to niemożliwe, ponieważ O również równa się 1. Więc tylko G=8 jest możliwe, a przy 2+8=10+U, U=0 .

zastosowanie arytmetyki modułowej . Na przykład użycie arytmetyki mod-10 umożliwia traktowanie kolumn problemu dodawania jako równań równoczesnych , podczas gdy użycie arytmetyki mod-2 umożliwia wnioskowanie na podstawie parzystości zmiennych.

W informatyce kryptarytmy dostarczają dobrych przykładów ilustrujących metodę brutalnej siły oraz algorytmy, które generują wszystkie permutacje m wyborów z n możliwości. Na przykład powyższą zagadkę Dudeneya można rozwiązać, testując wszystkie przypisania ośmiu wartości między cyframi od 0 do 9 do ośmiu liter S, E, N, D, M, O, R, Y, co daje 1 814 400 możliwości. Dostarczają również dobrych przykładów cofania się w projektowaniu algorytmów .

Inne informacje

W przypadku uogólnienia na dowolne bazy problem ustalenia, czy kryptorytm ma rozwiązanie, jest NP-zupełny . (Uogólnienie jest konieczne dla wyniku twardości, ponieważ w podstawie 10 jest tylko 10! możliwych przypisań cyfr do liter, które można porównać z układanką w czasie liniowym.)

Alfametykę można łączyć z innymi łamigłówkami liczbowymi, takimi jak Sudoku i Kakuro, tworząc tajemnicze Sudoku i Kakuro .

Najdłuższe alfametyki

Anton Pavlis skonstruował alfametykę w 1983 roku z 41 dodatkami:

TAK+WIELU+WIĘCEJ+MĘŻCZYZN+WYDAJE SIĘ+BY+

POWIEDZIEĆ+ŻE+ONI+MOGĄ+WKRÓTCE+SPRÓBOWAĆ+ZOSTAĆ+W+DOMU+

TAK+JAK+BY+ZOBACZYĆ+LUB+USŁYSZEĆ+TA SAMA+JEDEN+

MĘŻCZYZNA+SPRÓBOWAĆ +BY+SPOTKAĆ+DRUŻYNĘ+NA+

KSIĘŻYCU+GDY+ON+MA+NA+POD+INNYM+DZIESIĘCIU

=TESTY

(Odpowiedź brzmi: WIELE INNYCH=2764195083.)

Zobacz też

Równanie diofantyczne
Zagadki matematyczne
Permutacja
Puzzle
Sideways Arithmetic From Wayside School - Książka, której fabuła obraca się wokół tych zagadek
Kryptogram

Martin Gardner , Matematyka, magia i tajemnica . Dover (1956)
Journal of Recreational Mathematics miał regularną kolumnę alfametyczną.
Jack van der Elsen, Alfametyka . Maastricht (1998)
Kahan S., Mają kilka sum do rozwiązania: Kompletna książka alfametyki, Baywood Publishing, (1978)
Brooke M. Sto pięćdziesiąt łamigłówek w arytmetyce kryptograficznej. Nowy Jork: Dover (1963)
Hitesh Tikamchand Jain, ABC kryptarytmetyki/alfametyki. Indie (2017)

Linki zewnętrzne

Solvery alfametyczne