Cały jeden wielomian

W matematyce wielomian all one (AOP) to wielomian , w którym wszystkie współczynniki są równe. W skończonym ciele rzędu dwa znane są warunki, aby AOP był nierozkładalny , co pozwala na użycie tego wielomianu do definiowania wydajnych algorytmów i obwodów mnożenia w polach skończonych o charakterystyce dwa. AOP jest wielomianem o równych odstępach 1 .

Definicja

⁰ AOP stopnia m ma wszystkie wyrazy od x ^m do x ze współczynnikami 1 i można je zapisać jako

${\ Displaystyle AOP_ {m} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {m} x ^ {i}}$

Lub

${\ Displaystyle AOP_ {m} (x) = x ^ {m} + x ^ {m-1} + \ cdots + x +1}$

Lub

${\ Displaystyle AOP_ {m} (x) = {x ^ {m + 1} -1 \ ponad {x-1}}.}$

Zatem pierwiastki wszystkich wielomianów stopnia m są wszystkimi ( m + 1)-tymi pierwiastkami jedności innymi niż sama jedność.

Nieruchomości

Ponad GF(2) AOP ma wiele interesujących właściwości, w tym:

• Waga Hamminga AOP wynosi m + 1, maksymalna możliwa dla tego stopnia
• AOP jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy m + 1 jest liczbą pierwszą , a 2 jest pierwiastkiem pierwotnym modulo m + 1 (po GF( p ) z liczbą pierwszą p , jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy m + 1 jest liczbą pierwszą, a p jest liczbą pierwszą pierwiastek modulo m + 1)
• Jedyny AOP, który jest prymitywnym wielomianem, to x ² + x + 1.

Pomimo faktu, że waga Hamminga jest duża, ze względu na łatwość reprezentacji i inne ulepszenia istnieją wydajne implementacje w obszarach takich jak teoria kodowania i kryptografia .

Ponad $m$ AOP jest nieredukowalny, ilekroć + 1 jest liczbą pierwszą p , a zatem w tych przypadkach jest to wielomian cyklotomiczny p .

Linki zewnętrzne

• wszystkie jeden wielomian w PlanetMath .