Funkcja Walsha

Naturalnie uporządkowana i uporządkowana sekwencyjnie macierz Hadamarda rzędu 16. Szczególnie ta pierwsza jest zwykle nazywana macierzą Walsha . Obie zawierają 16 funkcji Walsha rzędu 16 jako wiersze (i kolumny). W prawej macierzy liczba zmian znaku w wierszu jest następująca.

W matematyce , a dokładniej w analizie harmonicznej , funkcje Walsha tworzą kompletny ortogonalny zestaw funkcji , których można użyć do przedstawienia dowolnej funkcji dyskretnej - podobnie jak funkcji trygonometrycznych można użyć do przedstawienia dowolnej funkcji ciągłej w analizie Fouriera . Można je zatem postrzegać jako dyskretny, cyfrowy odpowiednik ciągłego, analogowego układu funkcji trygonometrycznych w przedziale jednostkowym . Ale w przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, które są ciągłe , Funkcje Walsha są fragmentarycznie stałe. Przyjmują wartości -1 i +1 tylko w podprzedziałach określonych przez ułamki diadyczne .

System funkcji Walsha jest znany jako system Walsha . Jest rozszerzeniem funkcji ortogonalnych Rademachera .

Funkcje Walsha, system Walsha, szereg Walsha i szybka transformata Walsha-Hadamarda zostały nazwane na cześć amerykańskiego matematyka Josepha L. Walsha . Znajdują różne zastosowania w fizyce i inżynierii podczas analizy sygnałów cyfrowych .

używano różnych numeracji funkcji Walsha; żaden z nich nie jest szczególnie lepszy od drugiego. W tym artykule zastosowano numerację Walsha-Paleya .

Definicja

Definiujemy sekwencję funkcji Walsha ${\ Displaystyle W_ {k}: [0,1] \ rightarrow \ {-1,1 \}}$ , ${ \displaystyle k\in \mathbb {N}}$ w następujący sposób.

Dla dowolnej liczby naturalnej k i liczby rzeczywistej niech ${\ Displaystyle x \ in [0,1]$ }

${\ Displaystyle k_ {j}}$ będzie j- tym bitem w binarnej reprezentacji k , zaczynając od najmniej znaczącego bitu i $displaystyle x_ {$

$}}$ będzie j- $tym$ w ułamkowej reprezentacji binarnej $,$ najbardziej znaczącego bitu ułamkowego.

Wtedy z definicji

${\ Displaystyle W_ {k} (x) = (-1) ^ {\ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} k_{j}x_{j+1}}}$

W szczególności $.$ w przedziale, k

$to$ , że jest dokładnie funkcja r _m Zatem system Rademachera jest podsystemem systemu Walsha. Ponadto każda funkcja Walsha jest iloczynem funkcji Rademachera:

${\ Displaystyle W_ {k} (x) = \ prod _ {j = 0} ^ {\ infty} r_ {j} (x) ^ { k_{j}}}$

Porównanie funkcji Walsha i funkcji trygonometrycznych

Zarówno funkcje Walsha, jak i funkcje trygonometryczne to systemy, które tworzą kompletny, ortonormalny zestaw funkcji, ortonormalną podstawę w przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych do kwadratu ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ w przedziale jednostkowym. Oba są układami funkcji ograniczonych, w przeciwieństwie do, powiedzmy, systemu Haara czy systemu Franklina.

Zarówno systemy trygonometryczne, jak i Walsha dopuszczają naturalne wydłużenie o okresowość od przedziału jednostkowego do linii rzeczywistej. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Ponadto zarówno analiza Fouriera na przedziale jednostkowym ( szereg Fouriera ), jak i na linii rzeczywistej ( transformata Fouriera ) mają swoje cyfrowe odpowiedniki zdefiniowane za pomocą systemu Walsha, szereg Walsha analogiczny do szeregu Fouriera i transformata Hadamarda analogiczna do transformata Fouriera.

Nieruchomości

System Walsha ${\ Displaystyle \ {W_ {k} \} k \ in \ mathbb {N} _ {0}} jest$ przemienną multiplikatywną grupą dyskretną izomorficzną z ${\ Displaystyle \ coprod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ , liczba podwójna Pontryagina grupy Cantora ${\ Displaystyle \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ . Jego tożsamość to $element$ jest rzędu drugiego (to znaczy samoodwrotny).

System Walsha jest ortonormalną podstawą przestrzeni Hilberta ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ . Ortonormalność oznacza

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} W_ {k} (x) W_ {l} (x) dx = \ delta _ {kl}}$ ,

$fa$ podstawą ${\ Displaystyle f_ {k} = \ int _ {0} ^ {1} f (x) W_ {k} (x) dx}$ ( wtedy

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (f (x) - \ suma _ { k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0}$

$_ {k = 0} ^ {\ infty} f_ {k} W_ {k} (x)}$ się $Displaystyle$ k $\$ zbiegają się do prawie każdego ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle x \w [0,1]}$ .

System Walsha (w numeracji Walsha-Paleya) tworzy podstawę Schaudera w ${\ Displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ , ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty }$ . Zauważ, że w przeciwieństwie do $w$ Haara i podobnie jak w systemie trygonometrycznym, ta podstawa nie jest też system nie jest .

Uogólnienia

Układy Walsha-Ferlegera

Niech ${\ Displaystyle \ mathbb {D} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}$ } Grupa Cantora obdarzona Haarem mierzy i niech ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbb {D}}} = \ coprod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ będzie jego dyskretną grupą znaków . Elementy funkcji $Walsha$ łatwo identyfikowane z funkcjami Walsha Oczywiście znaki są zdefiniowane na, $przedziale$ jednostkowym, ale ponieważ istnieje izomorfizm modulo zero między tymi przestrzeniami miar , mierzalne na nich funkcje są identyfikowane za pomocą izometrii .

Następnie podstawowa teoria reprezentacji sugeruje następujące szerokie uogólnienie koncepcji systemu Walsha .

Dla dowolnej przestrzeni Banacha ${\ Displaystyle (X, ||\ cdot ||)}$ niech ${\ Displaystyle \ {R_ { t} \} _ {t \ in \ mathbb {D} } \ subset Aut (X)}$ będzie silnie ciągłą , jednostajnie ograniczoną wierną akcją ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$ na X . dla każdego ${\ Displaystyle \ gamma \ w {\ kapelusz {\ mathbb {D}}}}$ rozważ jego przestrzeń własną ${\ Displaystyle X_ { \gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$ . Wtedy X jest zamkniętą liniową rozpiętością przestrzeni własnych: ${\ Displaystyle X = {\ overline {\ operatorname {Rozpiętość}}} (X _ {\ gamma}, \ gamma \ in {\ kapelusz {\ mathbb {D}}})}$ . Załóżmy, że każda przestrzeń własna jest jednowymiarowa i wybierz element taki, że ${\ Displaystyle w _ {\ gamma} \ w X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle || w _ {\ gamma} ||=1}$ . Wtedy układ ${\ Displaystyle \ {w _ {\ gamma} \} _ {\ gamma \ in {\ kapelusz {\ mathbb {D}}}}} lub ten sam system$ w numeracji znaków Walsha-Paleya ${\ Displaystyle \ {w_ {k} \} _ {k \ in {\ mathbb {N}} _ {0}}}$ nazywa się uogólnionym systemem Walsha związanym z działaniem ${\ displaystyle \ {R_{t}\}_{t\w \mathbb {D}}}$ . Klasyczny system Walsha staje się przypadkiem szczególnym, a mianowicie dla

${\ Displaystyle R_ {t}: x = \ suma _ {j = 1} ^ {\infty}x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty}(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

gdzie jest dodatkiem modulo 2. ${\ displaystyle \ oplus}$

Na początku lat 90. Serge Ferleger i Fiodor Sukoczew wykazali, że w szerokiej klasie przestrzeni Banacha ( tzw . przestrzeni, mają własność losowej bezwarunkowej zbieżności. Ważnym przykładem uogólnionego systemu Walsha jest system Fermiona Walsha w nieprzemiennych L ^p związanych z hiperskończonym czynnikiem typu II .

Układ Fermiona-Walsha

Fermiona . Walsha jest nieprzemiennym, czyli „kwantowym” analogiem klasycznego systemu Walsha W przeciwieństwie do tych ostatnich składa się z operatorów, a nie funkcji. Niemniej jednak oba systemy mają wiele wspólnych właściwości, np. oba tworzą bazę ortonormalną w odpowiedniej przestrzeni Hilberta lub bazę Schaudera w odpowiednich przestrzeniach symetrycznych. Elementy systemu Fermiona Walsha nazywane są operatorami Walsha .

Termin Fermion w nazwie systemu tłumaczy się tym, że otaczająca przestrzeń operatora, tak zwany hiperskończony czynnik typu II , może być postrzegana jako przestrzeń obserwabli o ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ system przeliczalnie nieskończonej $liczby$ spinowych . Każdy Rademachera działa tylko na jednej określonej współrzędnej fermionu i tam jest to macierz Pauliego . Można go utożsamiać $mierzącą$ z osi Zatem operator Walsha mierzy spin podzbioru fermionów, każdy wzdłuż własnej osi.

układ Vilenkina

Napraw sekwencję liczb całkowitych z $2 , α =$${\ Displaystyle \ alfa _ {k} \ geq 2, k = 1,2, \ kropki}$ i niech ${\ Displaystyle \ mathbb {G} = \ mathbb {G} _ {\ alfa} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / \ alfa _ {k} \ mathbb { Z} }$ wyposażony w topologię produktu i znormalizowaną miarę Haara. Zdefiniuj ${\ Displaystyle A_ {0} = 1}$ i ${\ Displaystyle A_ {k} = \ alfa _ {1} \ alfa _ {2} \ kropki \ alfa _{k-1}}$ . każdy ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {G}}$ można powiązać z liczbą rzeczywistą

${\ Displaystyle \ lewo | x \ prawo | = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {x_ {k}} {A_ {k}}} \ w \ lewo [0,1 \ prawo ].}$

Ta zgodność jest modułowym izomorfizmem zerowym między $jednostkowym$ . Definiuje również normę, która $generuje$ . k ${\ Displaystyle k = 1,2, \ kropki}$ , niech ${\ Displaystyle \ rho _ {k}: \ mathbb {G} \ do \ mathbb {C$ gdzie

${\ Displaystyle \ rho _ {k} (x) = \ exp (i {\ Frac {2 \ pi x_ {k}}} {\ alfa _ {k}}}) = \ cos ({\ frac {2 \ pi x_{k}}{\alpha _{k}}})+i\sin({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}).}$

Zbiór $_$ systemem . _ System Vilenkina to grupa ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbb {G}}} = \ coprod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb { Z} /\ alfa _ {k} \ mathbb {Z}}$ (o wartościach zespolonych) znaków ${\ Displaystyle \ mathbb {G}}$ , z których wszystkie są skończonymi iloczynami ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {k} \}}$ . Dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik n_ {k}<\ alfa _ {k + 1}, k = 0,1,2, \ kropki}$ nieujemnej liczby całkowitej $istnieje$ unikalna sekwencja ${\ Displaystyle n_ {0}, n_ {1}, \ kropek}$ taka, że i

${\ Displaystyle n = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} n_ {k} A_ {k}.}$

Wtedy ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbb {G}}} = {\ chi _ {n} | n = 0,1, \ kropki}}$ gdzie

${\ Displaystyle \ chi _ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ rho _ {k + 1} ^ {n_ {k}}.}$

W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle \ alfa _ {k} = 2, k = 1,2 ...}$ , to sol $\ Displaystyle \ mathbb {G}}$ jest grupą Cantora i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbb {G}}} = \ lewo \ {\ chi _ {n} | n = 0,1, \ kropki \ po prawej \}} jest ($ prawdziwe -wartość) system Walsha-Paleya.

System Vilenkina jest kompletnym systemem ortonormalnym na i tworzy podstawę Schaudera w $)$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {G}, \$ , ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty}$ .

Powierzchnie binarne

Romanuke wykazał, że funkcje Walsha można uogólnić na powierzchnie binarne w konkretnym przypadku funkcji dwóch zmiennych. Istnieje również osiem podobnych do Walsha baz ortonormalnych funkcji binarnych, których struktura jest nieregularna (w przeciwieństwie do struktury funkcji Walsha). Te osiem podstaw jest uogólnionych również na powierzchnie (w przypadku funkcji dwóch zmiennych). Udowodniono, że funkcje częściowo-stałe mogą być reprezentowane w obrębie każdej z dziewięciu podstaw (w tym podstawy funkcji Walsha) jako skończone sumy funkcji binarnych, gdy są ważone odpowiednimi współczynnikami.

Nieliniowe wydłużenia fazowe

Opracowano nieliniowe rozszerzenia fazowe dyskretnej transformaty Walsha-Hadamarda . Wykazano, że nieliniowe funkcje bazowe fazy z ulepszonymi właściwościami korelacji krzyżowej znacznie przewyższają tradycyjne kody Walsha w komunikacji wielodostępu z podziałem kodowym (CDMA).

Aplikacje

Zastosowania funkcji Walsha można znaleźć wszędzie tam, gdzie używane są reprezentacje cyfrowe, w tym rozpoznawanie mowy , przetwarzanie obrazów medycznych i biologicznych oraz holografia cyfrowa .

Na przykład szybka transformata Walsha-Hadamarda (FWHT) może być wykorzystana do analizy cyfrowych metod quasi-Monte Carlo . W radioastronomii funkcje Walsha mogą pomóc zredukować skutki przesłuchu elektrycznego między sygnałami antenowymi. Są one również używane w pasywnych LCD jako binarne przebiegi sterujące X i Y, w których autokorelacja między X i Y może być minimalna dla pikseli, które są wyłączone.

Zobacz też

• Dyskretna transformata Fouriera
• Szybka transformata Fouriera
• Analiza harmoniczna
• Funkcje ortogonalne
• macierz Walsha
• Funkcja parzystości

Notatki

• Ferleger, Siergiej V. (marzec 1998). Systemy RUC w nieprzemiennych przestrzeniach symetrycznych (raport techniczny). MP-ARC-98-188.

• Ferleger, Siergiej V.; Sukochev, Fiodor A. (marzec 1996). „O kurczliwości do punktu liniowych grup zwrotnych nieprzemiennych przestrzeni Lp”. Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society . 119 (3): 545–560. Bibcode : 1996MPCPS.119..545F . doi : 10.1017/s0305004100074405 .

• Dobra, NJ (1949). „O funkcjach Walsha” . Trans. Amer. Matematyka soc . 65 (3): 372–414. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .

• Pisier, Gilles (2011). Martyngale w przestrzeniach Banacha (w związku z Typem i Cotypem). Kurs IHP (PDF) .

• Romanuke, VV (2010a). „W punkcie uogólnienia funkcji Walsha na powierzchnie” .

• Romanuke, VV (2010b). „Uogólnienie ośmiu znanych podstaw ortonormalnych funkcji binarnych na powierzchnie” .

• Romanuke, VV (2010c). „Równoodległe dyskretne na funkcjach osi argumentu i ich reprezentacja w serii podstaw ortonormalnych” .

• Schipp, Ferenc; Wade, WR; Simon, P. (1990). serii Walsha. Wprowadzenie do diadycznej analizy harmonicznej . Akademiai Kiadó.

•   Sukoczew, Fiodor A.; Ferleger, Siergiej V. (grudzień 1995). „Analiza harmoniczna w przestrzeniach (UMD): zastosowania w teorii baz”. Notatki matematyczne . 58 (6): 1315–1326. doi : 10.1007/bf02304891 . S2CID 121256402 .

• Walsh, JL (1923).    „Zamknięty zbiór normalnych funkcji ortogonalnych” . Amer. J. Matematyka. 45 (1): 5–24. doi : 10.2307/2387224 . JSTOR 2387224 . S2CID 6131655 .

•   Young, W.-S. (1976). „Średnia zbieżność uogólnionego szeregu Walsha-Fouriera” . Trans. Amer. Matematyka soc. 218 : 311–320. doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR 1997441 .

Linki zewnętrzne

• „Funkcje Walsha” . MathWorld .

• „Funkcje Walsha” . Encyklopedia matematyki .

• „system Walsha” . Encyklopedia matematyki .

• „Funkcje Walsha” . Projekt eksploracyjny Stanforda .