Dowód Furstenberga na nieskończoność liczb pierwszych

W matematyce , zwłaszcza w teorii liczb , dowód Hillela Furstenberga na nieskończoność liczb pierwszych jest topologicznym dowodem na to, że liczby całkowite zawierają nieskończenie wiele liczb pierwszych . Przy bliższym zbadaniu dowód jest mniej stwierdzeniem o topologii niż stwierdzeniem o pewnych właściwościach ciągów arytmetycznych . W przeciwieństwie do klasycznego dowodu Euklidesa , dowód Furstenberga jest dowodem przez sprzeczność . Dowód został opublikowany w 1955 roku w American Mathematical Monthly, kiedy Furstenberg był jeszcze studentem na Uniwersytecie Yeshiva .

Dowód Furstenberga

Zdefiniuj topologię na liczbach całkowitych $⊆$ zwaną topologią liczb całkowitych o równych odstępach , deklarując podzbiór jako zbiór otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy U Z { $Displaystyle \ mathbb {Z}}$ jest sumą ciągów arytmetycznych S ( a , b ) dla a ≠ 0 lub jest pusta (co można postrzegać jako sumę zerową (pusta suma) ciągów arytmetycznych), gdzie

{\ Displaystyle S (a, b) = \ {an + b \ środkowy n \ w \ mathbb {Z} \} = a \ mathbb {Z} + b.}

Równoważnie U jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x w U istnieje pewna niezerowa liczba całkowita a taka, że S ( a , x ) ⊆ U . Aksjomaty topologii można łatwo zweryfikować:

∅ jest otwarte z definicji, a to tylko sekwencja S (1 $)$ , więc jest również otwarta.
Każda suma zbiorów otwartych jest otwarta: dla dowolnego zbioru zbiorów otwartych U _i oraz x w ich unii U , każda z liczb a _i dla których S ( a _i , x ) ⊆ U _i pokazuje również, że S ( a _i , x ) ⊆ U .
Przecięcie dwóch (a więc skończenie wielu) zbiorów otwartych jest otwarte: niech U ₁ i U ₂ będą zbiorami otwartymi i niech x ∈ U ₁ ∩ U ₂ (z liczbami a ₁ i a ₂ ustalającymi przynależność). Ustaw a jako najmniejszą wspólną wielokrotność 1 i 2 _._{_} Wtedy S ( a , x ) ⊆ S ( za _ja , x ) ⊆ U _ja .

Ta topologia ma dwie godne uwagi właściwości:

Ponieważ każdy niepusty zbiór otwarty zawiera nieskończoną sekwencję, skończony niepusty zbiór nie może być otwarty; innymi słowy, dopełnienie skończonego niepustego zbioru nie może być zbiorem domkniętym .
Zbiory bazowe S ( a , b ) są zarówno otwarte, jak i domknięte : z definicji są otwarte i możemy zapisać S ( a , b ) jako dopełnienie zbioru otwartego w następujący sposób:

{\ Displaystyle S (a, b) = \ mathbb {Z} \ setminus \ bigcup _ {j = 1} ^ {a-1} S (a, b + j).}

Jedynymi liczbami całkowitymi, które nie są całkowitymi wielokrotnościami liczb pierwszych, są −1 i +1, tj

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ {-1, + 1 \} = \ bigcup _ {p \ operatorname {\, liczba pierwsza}} S (p, 0).}

Teraz, zgodnie z pierwszą właściwością topologiczną, zbiór po lewej stronie nie może być domknięty. Z drugiej strony, na mocy drugiej własności topologicznej, zbiory S ( p , 0) są domknięte. Tak więc, gdyby było tylko skończenie wiele liczb pierwszych, to zbiór po prawej stronie byłby skończoną sumą zbiorów domkniętych, a więc domkniętych. To byłaby sprzeczność , więc liczb pierwszych musi być nieskończenie wiele.

Właściwości topologiczne

Topologia liczb całkowitych o równych odstępach na jest topologią indukowaną przez włączenie $Z} \ subset {\ hat {\ mathbb {Z}}}}, Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ Displaystyle \ mathbb {$ } gdzie $.$ skończonym pierścieniem całkowitym z jego skończoną

Jest homeomorficzny z liczbami wymiernymi z topologią podprzestrzeni odziedziczoną po $\{-1,+1\}}$ rzeczywistej , jasno pokazuje, że każdy jej skończony podzbiór, taki jak $\ mathbb {$ $Q$ , nie może być otwarty.

Notatki

Aigner, Marcin ; Ziegler, Günter M. (1998). „Dowody z Księgi” . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
Fürstenberg, Harry (1955). „O nieskończoności liczb pierwszych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 62 (5): 353. doi : 10.2307/2307043 . JSTOR 2307043 . MR 0068566 .
Mercer, Idris D. (2009). „O dowodzie Furstenberga na nieskończoność liczb pierwszych” (PDF) . Amerykański miesięcznik matematyczny . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . doi : 10.4169/193009709X470218 .
Keith Conrad https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf
Lovas, R.; Mezo, I. (2015). „Kilka uwag dotyczących przestrzeni topologicznej Furstenberga” . Element matematyki . 70 (3): 103–116. doi : 10.4171/EM/283 . S2CID 126337479 .

Linki zewnętrzne