Topologie postępu arytmetycznego

W ogólnej topologii i teorii liczb , gałęziach matematyki , można zdefiniować różne topologie na zbiorze $lub zbiorze$ liczb całkowitych lub zbiorze ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {> 0}}$ liczb całkowitych dodatnich, przyjmując za podstawę odpowiedni zbiór ciągów arytmetycznych , ciągów postaci ${\ Displaystyle \ {b, b + a, b + 2a, ... \}}$ lub ${\ Displaystyle \ {..., b-2a, ba, b, b + a, b + 2a, ... \}.}$ Zbiory otwarte będą wtedy sumami postępów arytmetycznych w zbiorze. Trzy przykłady to topologia Furstenberga na oraz topologia Golomba i topologia Kircha na $\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {> 0$$}$ . Dokładne definicje podano poniżej.

Hillel Furstenberg wprowadził pierwszą topologię, aby zapewnić „topologiczny” dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych . Druga topologia została zbadana przez Solomona Golomba i stanowi przykład przeliczalnie nieskończonej przestrzeni Hausdorffa , która jest spójna . Trzecia topologia, wprowadzona przez AM Kircha, jest przykładem przeliczalnie nieskończonej przestrzeni Hausdorffa, która jest zarówno spójna, jak i lokalnie połączona . Te topologie mają również interesujące separacji i jednorodności .

Pojęcie topologii postępu arytmetycznego można uogólnić na dowolne dziedziny Dedekinda .

Budowa

Dwustronne postępy arytmetyczne w są podzbiorami postaci ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle a \ mathbb {Z} + b: = \ {an + b: n \ w \ mathbb {Z} \}}$

gdzie za $\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ i ${\ Displaystyle a> 0.}$ Przecięcie dwóch takich ciągów arytmetycznych jest albo puste, albo jest kolejnym ciągiem arytmetycznym ta sama forma:

${\ Displaystyle (a \ mathbb {Z} + b) \ czapka (c \ mathbb {Z} + b) =\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {lcm} (a, c)$$}$ jest wspólną wielokrotnością i ${\ displaystyle c.}$

Podobnie jednostronne postępy arytmetyczne w ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {> 0} = \ {1,2, ... \}}$ są podzbiorami postaci

${\ Displaystyle a \ mathbb {N} + b: = \ {an + b: n \ w \ mathbb {N} \} = \ {b, a + b, 2a + b, ... \}, }$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {N} =\ {0,1,2,...\}}$ i ${\ Displaystyle a, b> 0}$ . Przecięcie dwóch takich postępów arytmetycznych jest albo puste, albo jest innym postępem arytmetycznym o tej samej postaci:

${\ Displaystyle (a \ mathbb {N} + b) \ czapka (c \ mathbb {N} + d) =\nazwa_operatora {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,}$

z $najmniejszemu$ elementowi na przecięciu.

To pokazuje, że każde niepuste przecięcie skończonej liczby postępów arytmetycznych jest znowu postępem arytmetycznym. Następnie można zdefiniować topologię na lub $Z$ kolekcję ${\ Displaystyle \ mathbb {$$} postępów arytmetycznych, deklarując,$$zbiorami$ wszystkie elementy są otwartymi i przyjmując topologię generowaną przez nie. Jeśli dowolne niepuste przecięcie dwóch elementów jest ponownie elementem ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}$$}$ , zbiór $}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}$ będzie bazą dla topologii. Ogólnie rzecz biorąc, będzie to podbaza dla topologii, a zbiór wszystkich postępów arytmetycznych, które są niepustymi skończonymi przecięciami elementów $będzie$ topologii. Następują trzy przypadki szczególne.

Topologia Furstenberga lub $\ Displaystyle a \ mathbb {Z}} b}$ równomiernie rozmieszczonych liczb całkowitych na zbiorze liczb całkowitych $jest$ uzyskiwana poprzez przyjęcie jako podstawy zbioru wszystkich za ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ za i ${\ Displaystyle a> 0.}$

Topologia Golomba lub $jest$ pierwsza topologia liczb całkowitych na zbiorze dodatnich liczb całkowitych uzyskiwana przez przyjęcie jako podstawy zbioru wszystkich $\ displaystyle za \ mathbb {N} + b}$ z ${\ Displaystyle a, b> 0}$ i ${\ Displaystyle a}$ i ${\ displaystyle b}$ względnie pierwsza . $Równoważnie$ , podzbiór takich zestawów z dodatkowym warunkiem topologii. Odpowiednia przestrzeń topologiczna nazywana jest przestrzenią Golomba .

Topologia Kircha lub topologia ${\ displaystyle p \mathbb {N} + b}$ pierwszych liczb całkowitych $na$ zbiorze dodatnich liczb całkowitych jest uzyskiwana przez przyjęcie jako podbazę wszystkich z ${\ displaystyle b> 0}$ i ${\ displaystyle p}$ liczba pierwsza nie dzieląca ${\ Displaystyle b.}$ Równoważnie, można wziąć jako podbazę zbiór wszystkich z ${\ Displaystyle p \ mathbb {N} + b}$ z ${\ displaystyle p}$ liczbą pierwszą i ${\ displaystyle 0<b<p}$ . Podstawa topologii składa $N$ ze wszystkich ${\ Displaystyle a \ mathbb {$ i bez (lub za $}$ b to samo z dodatkowym warunkiem ${\ displaystyle b <a}$ ). Odpowiednia przestrzeń topologiczna nazywana jest przestrzenią Kircha .

Te trzy topologie są powiązane w tym sensie, że każdy zbiór otwarty w topologii Kircha jest otwarty w topologii Golomba, a każdy zbiór otwarty w topologii Golomba jest otwarty w topologii Furstenberga (ograniczony do podprzestrzeni Z > {\ displaystyle ${ Z} _{>0}}$ ). Na zbiorze $topologia$ Kircha jest zgrubna niż topologia , która sama w sobie jest bardziej zgrubna niż topologia Furstenberga.

Nieruchomości

Topologia Golomba i topologia Kircha to topologia Hausdorffa , ale nie regularna .

Topologia Furstenberga jest Hausdorffa i regularna. Jest metryzowalny , ale nie całkowicie metryzowalny . $topologią$ , jest homeomorficzny z liczbami wymiernymi z podprzestrzeni odziedziczoną z linii rzeczywistej . Broughan wykazał, że topologia Furstenberga jest ściśle związana z p -adicznym uzupełnianiem liczb wymiernych.

Jeśli chodzi o właściwości łączności, topologia Furstenberga jest całkowicie rozłączona . Topologia Golomba jest połączona , ale nie połączona lokalnie . Topologia Kircha jest zarówno połączona, jak i połączona lokalnie.

Liczby całkowite z topologią Furstenberga tworzą $przestrzeń$ , ​​ponieważ jest to pierścień topologiczny - w pewnym sensie jedyna topologia, dla której jest pierścieniem. Natomiast przestrzeń Golomba i przestrzeń Kircha są topologicznie sztywne — jedyny autohomeomorfizm jest trywialny.

Związek z nieskończonością liczb pierwszych

Główny artykuł: dowód Hillela Fürstenberga na nieskończoność liczb pierwszych

Zarówno topologia Furstenberga, jak i Golomba dostarczają dowodu na to, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych . Szkic dowodu przebiega następująco:

1. Ustal liczbę pierwszą p i zauważ, że (dodatnie, w przypadku przestrzeni Golomba) liczby całkowite są sumą skończonych klas reszt modulo p . Każda klasa reszt jest postępem arytmetycznym, a zatem clopen .
2. Rozważ wielokrotności każdej liczby pierwszej. Te wielokrotności są klasą pozostałości (tak domkniętą), a sumą tych zbiorów są wszystkie (Golomb: dodatnie) liczby całkowite z wyjątkiem jednostek ± 1 .
3. Jeśli liczb pierwszych jest skończenie wiele, ta suma jest zbiorem domkniętym, a zatem jej uzupełnienie ( {±1 }) jest otwarte.
4. Ale każdy niepusty zbiór otwarty jest nieskończony, więc {±1 } nie jest otwarty.

Uogólnienia

Topologia Furstenberga jest szczególnym przypadkiem topologii profinite na grupie. W szczegółach jest to topologia wywołana inkluzją , gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ podzbiór {\ kapelusz {\ mathbb {Z}}}} Z ^ {\$$\ hat {\ mathbb {Z} }}}$ jest skończonym pierścieniem całkowitym z jego skończoną topologią.

Pojęcie postępu arytmetycznego ma sens w dowolnych $modułach$ ale budowa topologii na nich polega na domknięciu pod przecięciem. Zamiast tego poprawne uogólnienie buduje topologię z ideałów domeny Dedekinda . Ta procedura daje dużą liczbę przeliczalnie nieskończonych zbiorów Hausdorffa, połączonych, ale to, czy różne domeny Dedekinda mogą tworzyć homeomorficzne przestrzenie topologiczne, jest tematem bieżących badań.

Notatki

•    Furstenberg, Harry (1955), „O nieskończoności liczb pierwszych”, American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 62 (5): 353, doi : 10,2307/2307043 , JSTOR 2307043 , MR 0068566 .
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover z 1978 r.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .