Bezpośredni dowód

W matematyce i logice bezpośredni dowód jest sposobem wykazania prawdziwości lub fałszywości danego stwierdzenia poprzez proste połączenie ustalonych faktów, zwykle aksjomatów , istniejących lematów i twierdzeń , bez dalszych założeń. Aby bezpośrednio udowodnić warunkowe postaci "Jeśli p , to q ", wystarczy rozważyć sytuacje, w których zdanie p jest prawdziwe. Dedukcja logiczna służy do rozumowania od założeń do konkluzji. Typ stosowanej logiki to prawie zawsze logika pierwszego rzędu , wykorzystująca kwantyfikatory dla wszystkich i istnieje . Powszechnie stosowane reguły dowodowe to modus ponens i uniwersalna instancja .

W przeciwieństwie do tego dowód pośredni może rozpocząć się od pewnych hipotetycznych scenariuszy, a następnie przejść do wyeliminowania niepewności w każdym z tych scenariuszy, aż do wymuszenia nieuniknionego wniosku. Na przykład, zamiast pokazywać bezpośrednio p ⇒ q , dowodzi się jego przeciwieństwa ~ q ⇒ ~ p (zakładamy ~ q i pokazujemy, że prowadzi to do ~ p ). Ponieważ p ⇒ q i ~ q ⇒ ~ p są równoważne na zasadzie transpozycji (patrz prawo wyłączonego środka ), p ⇒ q jest udowodnione pośrednio. Metody dowodzenia, które nie są bezpośrednie, obejmują dowód przez sprzeczność , w tym dowód przez nieskończone pochodzenie . Metody dowodu bezpośredniego obejmują dowód przez wyczerpanie i dowód przez indukcję .

Historia i etymologia

Dowód bezpośredni jest najprostszą formą dowodu. Słowo „dowód” pochodzi od łacińskiego słowa probare, co oznacza „testować”. Najwcześniejsze użycie dowodów było widoczne w postępowaniu sądowym. Mówiono, że osoba posiadająca autorytet, na przykład szlachcic, była uczciwa, co oznacza, że dowody pochodziły z jego względnego autorytetu, który przeważał nad świadectwami empirycznymi. W minionych czasach matematyka i dowód często przeplatały się z pytaniami praktycznymi – ludność taka jak Egipcjanie i Grecy wykazywali zainteresowanie geodezją. Doprowadziło to do naturalnej ciekawości w odniesieniu do geometrii i trygonometrii - zwłaszcza trójkątów i prostokątów . Były to kształty, które dostarczały najwięcej pytań pod względem praktycznych rzeczy, więc wczesne koncepcje geometryczne koncentrowały się na tych kształtach, na przykład budynki i piramidy wykorzystywały te kształty w obfitości. Innym kształtem, który ma kluczowe znaczenie w historii dowodu bezpośredniego, jest koło , które miało kluczowe znaczenie przy projektowaniu aren i zbiorników wodnych. Oznaczało to, że starożytna geometria (i geometria euklidesowa ) omawiała okręgi.

Najwcześniejszą formą matematyki była fenomenologia . Na przykład, jeśli ktoś mógłby narysować rozsądny obraz lub podać przekonujący opis, to spełniałoby to wszystkie kryteria, aby coś można było opisać jako matematyczny „fakt”. Niekiedy dochodziło do analogicznych argumentów, a nawet „odwoływania się do bogów”. Pomysł, że twierdzenia matematyczne można udowodnić, nie został jeszcze rozwinięty, więc były to najwcześniejsze formy koncepcji dowodu, mimo że w ogóle nie były faktycznym dowodem.

Dowód, jaki znamy, pojawił się z jednym konkretnym pytaniem: „co to jest dowód?” Tradycyjnie dowód to platforma, która przekonuje kogoś ponad wszelką wątpliwość, że stwierdzenie jest matematycznie prawdziwe. Oczywiście można by założyć, że najlepszym sposobem udowodnienia prawdziwości czegoś takiego (B) byłoby sporządzenie porównania z czymś starym (A), co już zostało udowodnione jako prawdziwe. W ten sposób powstała koncepcja wyprowadzenia nowego wyniku ze starego wyniku.

Przykłady

Suma dwóch parzystych liczb całkowitych równa się parzystej liczbie całkowitej

Rozważmy dwie parzyste liczby całkowite $x$ i $y$ . Ponieważ są parzyste, można je zapisać jako

{\ Displaystyle x = 2a}

{\ Displaystyle y = 2b}

odpowiednio dla liczb całkowitych $a$ i $b$ . Wtedy sumę można zapisać jako

{\ Displaystyle x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) = 2 p}

gdzie

{\ Displaystyle p = a+b}

, aib

są

liczbami

całkowitymi .

Wynika z tego, że $x + y$ ma współczynnik 2, a zatem jest parzysty, więc suma dowolnych dwóch parzystych liczb całkowitych jest parzysta.

Twierdzenie Pitagorasa

Zauważ, że mamy cztery trójkąty prostokątne i kwadrat upakowany w duży kwadrat. Każdy z trójkątów ma boki a i b oraz przeciwprostokątną c . Pole kwadratu definiuje się jako kwadrat długości jego boków - w tym przypadku (a + b) ² . Jednak pole dużego kwadratu można również wyrazić jako sumę pól jego składników. W tym przypadku byłaby to suma pól czterech trójkątów i małego kwadratu pośrodku.

Wiemy, że pole dużego kwadratu jest równe (a + b) ² .

Pole trójkąta jest równe ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} ab.}$

Wiemy, że pole dużego kwadratu jest również równe sumie pól trójkątów plus pole małego kwadratu, a zatem pole dużego kwadratu jest równe ${\ Displaystyle 4 ({\ Frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$