Formuła Chowla-Selberga

W matematyce wzór Chowla -Selberga jest oceną pewnego iloczynu wartości funkcji gamma przy wartościach wymiernych w kategoriach wartości funkcji eta Dedekinda przy urojonych kwadratowych liczbach niewymiernych. Rezultat został zasadniczo znaleziony przez Lercha ( 1897 ) i ponownie odkryty przez Chowlę i Selberga ( 1949 , 1967 ).

Oświadczenie

W postaci logarytmicznej formuła Chowla – Selberg stwierdza, że ​​​​w niektórych przypadkach suma

${\ Displaystyle {\ frac {w}{4}}\sum _{r}\chi(r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}} \log(4\pi {\sqrt {|D|}})+\sum _{\tau}\log \left({\sqrt {\Im (\tau)}}|\eta (\tau)|^ {2}\prawo)}$

można oszacować za pomocą wzoru granicznego Kroneckera . Tutaj χ jest symbolem reszty kwadratowej modulo D , gdzie -D jest wyróżnikiem wyimaginowanego pola kwadratowego . Suma jest przyjmowana 0 < r < D , ze zwykłą konwencją χ( r ) = 0, jeśli r i D mają wspólny czynnik. Funkcja η jest funkcją eta Dedekinda , a h jest numerem klasy, aw jest liczbą pierwiastków jedności.

Pochodzenie i zastosowania

Obecnie uważa się, że źródłem takich wzorów jest teoria mnożenia zespolonego , aw szczególności teoria okresów o abelowej rozmaitości typu CM . Doprowadziło to do wielu badań i uogólnień. W szczególności istnieje odpowiednik wzoru Chowla – Selberga dla liczb p-adycznych , obejmujący funkcję gamma p-adyczną , zwany wzorem Grossa – Koblitza .

Formuła Chowla – Selberga daje wzór na skończony iloczyn wartości funkcji eta. Łącząc to z teorią mnożenia zespolonego , można podać wzór na poszczególne wartości bezwzględne funkcji eta jako

${\ Displaystyle \ Im (\ tau) | \ eta (\ tau) | ^ {4} = {\ Frac {\ alfa} {4 \ pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r}\Gamma (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}}$

dla pewnej liczby algebraicznej α.

Przykłady

Korzystając ze wzoru na odbicie dla funkcji gamma, otrzymujemy:

• ${\ Displaystyle \ eta (i) = 2 ^ {- 1} \ pi ^ {- 3/4} \ Gamma ({\ tfrac {1 {4}})}$

Zobacz też

• Twierdzenie o mnożeniu

•       Chowla, S.; Selberg, Atle (1949), „O funkcji zeta Epsteina. I”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 35 (7): 371–374, Bibcode : 1949PNAS… 35..371C , doi : 10.1073/pnas.35.7.371 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88112 , MR 0030997 , PMC 1063041 , PMID 16588908
•    Chowla, Sarvadaman; Selberg, Atle (1967), „O funkcji Zeta Epsteina”, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1967 (227): 86–110, doi : 10.1515/crll.1967.227.86 , MR 0215797 , S2CID 201060556
• Lerch, Mathias (1897), "Sur quelques formułules krewni au nombre des class", Bulletin des Sciences Mathématiques , 21 : 290–304
•    Schappacher, Norbert (1988), Okresy postaci Hecke'a , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1301, Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0082094 , ISBN 978-3-540-18915-2 , MR 0935127