Główna reprezentacja serii

W matematyce główne reprezentacje szeregowe pewnych rodzajów grup topologicznych G występują w przypadku, gdy G nie jest grupą zwartą . Tam, analogicznie do teorii spektralnej , oczekuje się, że regularna reprezentacja G będzie rozkładać się według pewnego rodzaju widma ciągłego , reprezentacji obejmujących parametr ciągły, a także widmo dyskretne . Główna seria reprezentacje to reprezentacje indukowane , skonstruowane w sposób jednolity, w celu wypełnienia ciągłej części widma.

Mówiąc bardziej szczegółowo, dualność unitarna to przestrzeń wszystkich reprezentacji istotnych dla rozkładu reprezentacji regularnej. Szereg dyskretny składa się z „atomów” jednolitego dualizmu (punkty o mierze Plancherela > 0). W najwcześniejszych zbadanych przykładach resztę (lub większość) unitarnej liczby podwójnej można sparametryzować, zaczynając od podgrupy H z G , prostszej, ale nie zwartej, i budując reprezentacje indukowane za pomocą reprezentacji H które były dostępne w tym sensie, że można je było łatwo zapisać i wymagały parametru. (Taki proces indukcyjny może dać reprezentacje, które nie są jednolite.)

Dla przypadku półprostej grupy Liego G , podgrupę H konstruuje się wychodząc z rozkładu Iwasawy

G = KAN

gdzie K jest maksymalną zwartą podgrupą . Następnie H wybiera się tak, aby zawierał AN (który jest nie zwartą rozwiązywalną grupą Liego ), przy czym przyjmuje się, że

CZŁOWIEK

z M centralizatorem w K z A . _ Reprezentacje ρ H są uważane za nieredukowalne i unitarne oraz są trywialną reprezentacją podgrupy N . (Zakładając, że przypadek M jest grupą trywialną, takie ρ są analogami reprezentacji grupy macierzy diagonalnych wewnątrz specjalnej grupy liniowej .) Indukowane reprezentacje takich ρ tworzą szereg główny. Sferyczny szereg główny składa się z reprezentacji indukowanych z jednowymiarowych reprezentacji MAN uzyskanych przez rozszerzenie znaków A przy użyciu homomorfizmu MAN na A .

Mogą istnieć inne ciągłe serie reprezentacji istotne dla jednolitej dualności: jak sugeruje ich nazwa, główne serie stanowią „główny” wkład.

Stwierdzono, że ten typ konstrukcji ma zastosowanie do grup G , które nie są grupami Liego (na przykład skończone grupy typu Liego , grupy nad polami p-adic ).

Przykłady

Aby zapoznać się z przykładami, zobacz teorię reprezentacji SL ₂ (R) . Dla ogólnej grupy liniowej GL ₂ nad polem lokalnym wymiar modułu Jacqueta reprezentacji szeregu głównego wynosi dwa.

Linki zewnętrzne

• AI Shtern (2001) [1994], „Ciągła seria reprezentacji” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Obliczanie unitarnej liczby podwójnej (PDF)