Gwiazda (teoria gier)

W teorii gier kombinatorycznych $jest$ , zapisywana $jako$ lub , nadaną grze, w której obaj gracze mają tylko możliwość przejścia do zerowej . Gwiazdę można również określić jako formę surrealistyczną {0|0} . Ta gra to bezwarunkowa wygrana pierwszego gracza.

Gwiazda, zgodnie z definicją Johna Conwaya w Winning Ways for your Mathematical Plays , jest wartością, ale nie liczbą w tradycyjnym sensie. Gwiazda nie jest zerem, ale ani dodatnia , ani ujemna i dlatego mówi się, że jest rozmyta i mylona z (czwarta alternatywa, która nie oznacza ani „mniej niż”, „równe”, ani „większe niż”) 0. Jest mniejsza niż wszystkie dodatnie liczby wymierne i większe niż wszystkie ujemne liczby wymierne.

Gry inne niż {0 | 0} może mieć wartość *. $do$ gra, w której wartościami są *, mimo że każdy gracz ma więcej opcji niż zwykłe przejście

Dlaczego * ≠ 0

0 Gra kombinatoryczna ma gracza pozytywnego i negatywnego; który gracz porusza się pierwszy, pozostaje niejednoznaczny. Gra kombinatoryczna lub { | } , nie pozostawia żadnych opcji i jest wygraną drugiego gracza. Podobnie gra kombinatoryczna jest wygrywana (przy założeniu optymalnej gry) przez drugiego gracza wtedy i tylko wtedy, gdy jej wartość wynosi 0. Dlatego gra o wartości *, która jest wygraną pierwszego gracza, nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Jednak * nie jest jedyną możliwą wartością w przypadku gry, w której wygrywa pierwszy gracz (patrz nimbers ).

Gwiazda ma tę właściwość, że suma * + * ma wartość 0, ponieważ pierwszy gracz wykonuje tylko ruch do gry *, którą wygra drugi gracz.

Przykład gry typu value-*

Nim , z jednym stosem i jednym kawałkiem, ma wartość *. Pierwszy gracz usuwa element, a drugi gracz przegrywa. Gra Nim z jednym stosem z jednym stosem n elementów (również wygrana pierwszego gracza) ma wartość *n . Liczby *z dla liczb całkowitych z tworzą nieskończone pole o charakterystyce 2, gdy dodawanie jest zdefiniowane w kontekście gier kombinatorycznych, a mnożenie ma bardziej złożoną definicję.

Zobacz też

Conway, JH , O liczbach i grach , Academic Press Inc. (Londyn) Ltd., 1976