O liczbach i grach

O liczbach i grach

Pierwsza edycja
Autor	Johna Hortona Conwaya
Kraj	Stany Zjednoczone
Język	język angielski
Seria	Prasa Akademicka, Inc.
Gatunek muzyczny	Matematyka
Wydawca	AK Peters / CRC Press
Typ mediów	Wydrukować
Strony	242 str.
ISBN	978-1568811277

On Numbers and Games to książka matematyczna autorstwa Johna Hortona Conwaya, opublikowana po raz pierwszy w 1976 roku. Książka została napisana przez wybitnego matematyka i jest skierowana do innych matematyków. Materiał jest jednak opracowany w zabawny i bezpretensjonalny sposób, a wiele rozdziałów jest dostępnych dla osób niebędących matematykami. Martin Gardner obszernie omówił książkę, w szczególności konstrukcję liczb surrealistycznych Conwaya , w swojej kolumnie Mathematical Games w Scientific American we wrześniu 1976 roku.

Książka jest z grubsza podzielona na dwie części: pierwsza połowa (lub część zerowa ) poświęcona liczbom , druga połowa (lub pierwsza część ) poświęcona grom . W części zerowej Conway podaje aksjomaty arytmetyki: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i nierówność. Pozwala to na aksjomatyczną konstrukcję liczb i arytmetyki porządkowej , a mianowicie liczb całkowitych , rzeczywistych , policzalnej nieskończoności i całych wież nieskończoności porządkowe . Obiekt, do którego odnoszą się te aksjomaty, przyjmuje postać {L|R}, co można interpretować jako wyspecjalizowany rodzaj zbioru ; rodzaj zestawu dwustronnego. Upierając się, że L<R, ten dwustronny zestaw przypomina cięcie Dedekinda . Wynikowa konstrukcja daje pole , zwane teraz liczbami surrealistycznymi . Liczby porządkowe są osadzone w tym polu. Konstrukcja jest zakorzeniona w aksjomatycznej teorii mnogości i jest ściśle związana z aksjomatami Zermelo – Fraenkla . W oryginalnej książce Conway po prostu nazywa to pole „liczbami”. Termin „ liczby surrealistyczne ” został przyjęty później, za sugestią Donalda Knutha .

W pierwszej części Conway zauważa, że ​​po odrzuceniu ograniczenia L<R aksjomaty nadal mają zastosowanie i konstrukcja przechodzi, ale powstałych obiektów nie można już interpretować jako liczb. Można je interpretować jako klasę wszystkich gier dwuosobowych. Aksjomaty dotyczące większego i mniejszego niż są postrzegane jako naturalna kolejność w grach, odpowiadająca temu, który z dwóch graczy może wygrać. Pozostała część książki jest poświęcona eksploracji wielu różnych (nietradycyjnych, inspirowanych matematyką) gier dwuosobowych, takich jak nim , hackenbush oraz gry w kolorowanie map col i snort . Opracowanie obejmuje ich punktację, przegląd twierdzenia Sprague-Grundy'ego oraz wzajemne relacje z liczbami, w tym ich stosunek do nieskończenie małych .

   Książka została po raz pierwszy opublikowana przez Academic Press Inc w 1976 r., ISBN 0-12-186350-6 i ponownie wydana przez AK Peters w 2000 r. ( ISBN 1-56881-127-6 ).

Część zerowa ... O liczbach

Główny artykuł: Surrealistyczne liczby

W części zerowej, rozdział 0, Conway wprowadza wyspecjalizowaną formę notacji zbioru , mającą postać {L|R}, gdzie L i R są ponownie tej postaci, zbudowanej rekurencyjnie, kończącej się na {|}, którą należy odczytać jako analog zbioru pustego. Biorąc pod uwagę ten przedmiot, można podać aksjomatyczne definicje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i nierówności. Tak długo, jak ktoś upiera się, że L<R (z tym założeniem jest bezsensownie prawdziwe, gdy L lub R są zbiorem pustym), to wynikająca z tego klasa obiektów może być interpretowana jako liczby, liczby surrealistyczne . Notacja {L|R} przypomina wtedy cięcie Dedekinda .

Liczba porządkowa $pozaskończoną$ budowana przez indukcję . Podobnie $można$ w przypadku konwencjonalnych liczb porządkowych zdefiniować Dzięki aksjomatycznej definicji odejmowania $można$ również spójnie zdefiniować: jest ono ściśle mniejsze niż jest zgodne z „oczywistą” równością $Displaystyle \ omega$${\ Displaystyle (\ omega -1) + 1 = \ omega.}$ Jednak nadal jest większy niż jakakolwiek liczba naturalna .

Konstrukcja umożliwia stworzenie całego ogrodu zoologicznego z osobliwymi liczbami, surrealistami, które tworzą pole . Przykłady obejmują ${\ Displaystyle \ omega / 2}$ , ${\ Displaystyle 1 / \ omega}$ , ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ omega}} = \ omega ^ {1/ 2}$ , ${\ Displaystyle \ omega ^ {1/\ omega}}$ i podobne.

Część pierwsza... i Gry

W pierwszej części Conway porzuca ograniczenie L<R, a następnie interpretuje formę {L|R} jako grę dwuosobową: pozycję w rywalizacji dwóch graczy, lewego i prawego . Każdy gracz ma do wyboru po kolei zestaw gier zwanych opcjami . Gry są zapisywane {L|R}, gdzie L jest zbiorem opcji Lewego , a R jest zbiorem opcji Prawego . Na starcie nie ma w ogóle gier, więc zestaw pusty 0 (tj. zestaw bez członków) to jedyny zestaw opcji, jaki możemy zapewnić graczom. To definiuje grę {|}, która nazywa się . Za gracza, który musi rozegrać turę, ale nie ma żadnych opcji, uważa się, że przegrał grę. Biorąc pod uwagę tę grę 0, istnieją teraz dwa możliwe zestawy opcji, zbiór pusty i zbiór, którego jedynym elementem jest zero. Gra {0|} nazywa się 1, a gra {|0} nazywa się -1. Gra {0|0} nazywa się * (gwiazdka) i jest pierwszą grą, która nie jest liczbą.

Wszystkie liczby są dodatnie, ujemne lub zero . Mówimy, że gra jest dodatnia, jeśli Lewy ma strategię wygrywającą, ujemna, jeśli Prawica ma strategię wygrywającą, lub zero, jeśli drugi gracz ma strategię wygrywającą. Gry, które nie są liczbami, mają czwartą możliwość: mogą być rozmyte , co oznacza, że ​​pierwszy gracz ma zwycięską strategię. * jest rozmytą grą.

Zobacz też

• Zwycięskie sposoby na Twoje matematyczne zabawy