Gwiazda eutaktyczna

Gwiazda eutaktyczna składająca się z 5 par wektorów w przestrzeni trójwymiarowej ( n = 3, s = 5)

W geometrii euklidesowej gwiazda eutaktyczna jest figurą geometryczną w przestrzeni euklidesowej . Gwiazda jest figurą składającą się z dowolnej liczby przeciwstawnych par wektorów (lub ramion) wychodzących z centralnego początku. Gwiazda jest eutaktyczna, jeśli jest ortogonalnym rzutem plusa i minusa zestawu standardowych wektorów bazowych (tj. wierzchołków politopu krzyżowego ) z przestrzeni o wyższych wymiarach na podprzestrzeń . Takie gwiazdy zostały nazwane przez Schläfliego (1901 , s. 134) „eutaktycznymi” – czyli „dobrze położonymi” lub „dobrze ułożonymi”, ponieważ dla wspólnej wielokrotności skalarnej ich wektory są rzutami bazy ortonormalnej .

Definicja

Gwiazda eutaktyczna w płaszczyźnie ( n = 2, s = 4)

Gwiazda jest tutaj zdefiniowana jako zbiór 2 s wektorów A = ± a ₁ , ..., ± a _s wychodzących z określonego początku w przestrzeni euklidesowej o wymiarze n ≤ s . Gwiazda jest eutaktyczna, jeśli a i _są rzutami na n wymiarów zbioru wzajemnie prostopadłych równych wektorów b ₁ , ..., b _s wychodzących z określonego początku w s -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Konfiguracja wektorów 2 s w s -wymiarowej przestrzeni B = ± b ₁ , ... , ± b _s jest znana jako krzyż . Biorąc pod uwagę te definicje, gwiazda eutaktyczna jest, mówiąc zwięźle, gwiazdą powstałą w wyniku ortogonalnego rzutu krzyża.

Równoważna definicja, po raz pierwszy wspomniana przez Schläfliego , stanowi, że gwiazda jest eutaktyczna, jeśli istnieje stała ζ taka, że

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {s} (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {v}) ^ {2} = \ zeta | \ mathbf {v} | ^ { 2}}

dla każdego wektora v . Istnienie takiej stałej wymaga, aby suma kwadratów rzutów ortogonalnych A na prostą była równa we wszystkich kierunkach. Ogólnie,

{\ Displaystyle \ zeta = \ suma _ {k = 1} ^ {s} | \ mathbf {a} _ {k} | ^ {2} / n.}

Znormalizowana gwiazda eutaktyczna to rzutowany krzyż złożony z wektorów jednostkowych . Gwiazdy eutaktyczne są często rozpatrywane w n = 3 wymiarach ze względu na ich związek z badaniem wielościanów foremnych .

Twierdzenie główne Hadwigera

Niech T będzie symetryczną transformacją liniową zdefiniowaną dla wektorów x przez

{\ Displaystyle T \ mathbf {x} = \ suma _ {k = 1} ^ {s} \ mathbf {a} _ {k} (\ mathbf {a} _ {k}\cdot \mathbf {x} ),}

gdzie a j _tworzą dowolny zbiór s wektorów w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Główne twierdzenie Hadwigera stwierdza, że wektory ± a ₁ , ..., ± a _s tworzą gwiazdę eutaktyczną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała ζ taka, że T x = ζ x dla każdego x . Wektory tworzą znormalizowaną gwiazdę eutaktyczną dokładnie wtedy, gdy T jest operatorem tożsamości – gdy ζ = 1.

Równoważnie, gwiazda jest znormalizowaną eutaktyką wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A = [ a ₁ ... a _s ], której kolumnami są wektory a _k , ma ortonormalne wiersze. Dowód można podać w jednym $kierunku$ , uzupełniając wiersze tej macierzy do bazy , aw drugim przez ortogonalne rzutowanie na n - podprzestrzeń rozpiętą przez pierwsze n wektorów współrzędnych kartezjańskich.

Twierdzenie Hadwigera implikuje równoważność warunku Schläfliego i geometrycznej definicji gwiazdy eutaktycznej przez tożsamość polaryzacji . Co więcej, zarówno tożsamość Schläfliego, jak i twierdzenie Hadwigera dają tę samą wartość stałej ζ .

Aplikacje

Gwiazdy eutaktyczne są przydatne głównie ze względu na ich związek z geometrią polytopów i grup przekształceń ortogonalnych . Schläfli wcześnie wykazał, że wektory od środka dowolnego regularnego polytopu do jego wierzchołków tworzą gwiazdę eutaktyczną. Brauer i Coxeter udowodnili następujące uogólnienie:

Gwiazda jest eutaktyczna, jeśli jest przekształcana w siebie przez jakąś nieredukowalną grupę przekształceń ortogonalnych, która działa przejściowo na pary przeciwnych wektorów.

Nieredukowalna grupa oznacza tutaj grupę, która nie pozostawia żadnego nietrywialnego właściwego niezmiennika podprzestrzeni (patrz nieredukowalna reprezentacja ). Ponieważ związek teoretyczny mnogości dwóch eutaktycznych gwiazd sam w sobie jest eutaktyczny (konsekwencja głównego twierdzenia Hadwigera ), można stwierdzić, że ogólnie:

Gwiazda jest eutaktyczna, jeśli jest przekształcana w siebie przez jakąś nieredukowalną grupę przekształceń ortogonalnych.

Gwiazdy eutaktyczne mogą być używane do ogólnego sprawdzania eutaksji dowolnej formy. Według HSM Coxetera : „Forma jest eutaktyczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wektory minimalne są równoległe do wektorów gwiazdy eutaktycznej”.

Zobacz też

Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, JH (red.), Theorie der vielfachen Kontinuität , ponownie opublikowane przez Cornell University Library historyczne monografie matematyczne 2010 (w języku niemieckim), Zurych, Bazylea: Georg & Co., ISBN 978-1 -4297-0481-6