Iloraz przez relację równoważności

Ten artykuł dotyczy uogólnienia do teorii kategorii , stosowanej w teorii schematów . Aby zapoznać się z powszechnym znaczeniem, zobacz Klasa równoważności .

W matematyce , biorąc pod uwagę kategorię C , iloraz obiektu X przez relację równoważności ${\ Displaystyle f: R \ do X \ razy X}$ jest koequalizerem dla pary map

${\ Displaystyle R \ {\ overset {f} {\ do}} \ X \ razy X \ {\ overset {\ operatorname {pr} _ { i}}{\do }}\ X,\ \ i=1,2,}$

gdzie R jest obiektem w C , a „ f jest relacją równoważności” oznacza, że ​​dla dowolnego obiektu T w C obraz (który jest zbiorem ) ${\ Displaystyle f: R (T) = \ nazwa operatora {Mor} (T, R) \ do X (T) \ razy X (T)}$ jest relacją równoważności ; czyli relacja zwrotna , symetryczna i przechodnia .

Podstawowym przypadkiem w praktyce jest sytuacja, w której C jest kategorią wszystkich schematów nad pewnym schematem S . Ale pojęcie to jest elastyczne i można również przyjąć, że C jest kategorią snopów .

Przykłady

• Niech X będzie zbiorem i rozważmy na nim pewną relację równoważności. Niech Q będzie zbiorem wszystkich klas równoważności w X . Wtedy mapa $x$ która wysyła element do klasy równoważności, do której x ilorazem
• W powyższym przykładzie Q jest podzbiorem zbioru potęgowego H z X . W geometrii algebraicznej H można zastąpić schematem Hilberta lub rozłącznym związkiem schematów Hilberta. W rzeczywistości Grothendieck skonstruował względny schemat Picarda płaskiego schematu rzutowego X jako iloraz Q (schematu Z parametryzującego względne efektywne dzielniki na X ) czyli zamknięty schemat schematu Hilberta H . Mapę ilorazową $jako$ względną mapy Abela

Zobacz też

• Iloraz kategoryczny , przypadek szczególny

Notatki

• Nitsure, N. Budowa schematów Hilberta i Quota. Podstawowa geometria algebraiczna: objaśnienie FGA Grothendiecka, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105–137.