Klasyfikacja algebr Clifforda

W algebrze abstrakcyjnej , w szczególności w teorii niezdegenerowanych form kwadratowych w przestrzeniach wektorowych , struktury skończenie wymiarowych rzeczywistych i zespolonych algebr Clifforda dla niezdegenerowanej formy kwadratowej zostały całkowicie sklasyfikowane. W każdym przypadku algebra Clifforda jest algebrą izomorficzną z pełnym pierścieniem macierzy nad R , C lub H ( kwaterniony ) lub z bezpośrednią sumą dwóch kopii takiej algebry, chociaż nie w sposób kanoniczny . Poniżej pokazano, że różne algebry Clifforda mogą być algebrami izomorficznymi , jak ma to miejsce w przypadku Cl _2,0 ( R ) i Cl _1,1 ( R ), które są izomorficzne jak pierścienie z pierścieniem dwa na dwa macierze nad liczbami rzeczywistymi.

Notacja i konwencje

Iloczyn Clifforda jest oczywistym iloczynem pierścieniowym dla algebry Clifforda, a wszystkie homomorfizmy algebry w tym artykule dotyczą tego iloczynu pierścieniowego. Inne produkty zdefiniowane w algebrach Clifforda, takie jak iloczyn zewnętrzny , nie są tutaj używane. W tym artykule zastosowano konwencję znaku (+) dla mnożenia Clifforda, aby

{\ Displaystyle v ^ {2} = Q (v)}

dla wszystkich wektorów v ∈ V , gdzie Q jest formą kwadratową w przestrzeni wektorowej V . Algebrę macierzy n × n z wpisami w algebrze dzielenia K będziemy oznaczać przez M _n ( K ) lub M ( n , K ) . Suma bezpośrednia dwóch takich identycznych algebr będzie oznaczona przez M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) = M _n² ( K ) , co jest izomorficzne z M _n ( K ⊕ K ) .

Okresowość Botta

Algebry Clifforda wykazują 2-krotną okresowość na liczbach zespolonych i 8-krotną okresowość na liczbach rzeczywistych, co jest związane z tymi samymi okresowościami dla grup homotopii stabilnej grupy unitarnej i stabilnej grupy ortogonalnej , i nazywa się okresowością Botta . Związek ten wyjaśnia geometryczny model przestrzeni pętlowych podchodzących do okresowości Botta: ich 2-krotne/8-krotne okresowe osadzenie grup klasycznych w sobie nawzajem (odpowiadające grupom izomorfizmów algebr Clifforda), a ich kolejne ilorazy są przestrzeniami symetrycznymi które są homotopią równoważną przestrzeniom pętli grupy unitarnej/ortogonalnej.

Złożona sprawa

Złożony przypadek jest szczególnie prosty: każda niezdegenerowana forma kwadratowa w zespolonej przestrzeni wektorowej jest równoważna standardowej postaci diagonalnej

{\ Displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + \ cdots + u_ { n}^{2},}

gdzie n = dim V , więc w każdym wymiarze jest zasadniczo tylko jedna algebra Clifforda. Dzieje się tak, $przez$ liczby zespolone obejmują, co ${\ Displaystyle -u_ {k} ^ {2} = + (iu_ {k}) ^ {2 }}$ , a więc terminy dodatnie lub ujemne są równoważne. Będziemy oznaczać algebrę Clifforda na C ⁿ standardową formą kwadratową przez Cl _n ( C ).

Istnieją dwa oddzielne przypadki do rozważenia, w zależności od tego, czy n jest parzyste, czy nieparzyste. Kiedy n jest parzystą algebrą, Cl _n ( C ) jest centralnie proste , a więc zgodnie z twierdzeniem Artina – Wedderburna jest izomorficzne z algebrą macierzową nad C . Kiedy n jest nieparzyste, centrum obejmuje nie tylko skalary, ale także pseudoskalary (elementy stopnia n ). Zawsze możemy znaleźć znormalizowane pseudoskalarne ω takie, że ω ² = 1 . Zdefiniuj operatory

{\ Displaystyle P _ {\ pm} = {\ Frac {1} {2}} (1 \ pm \ omega).}

Te dwa operatory tworzą kompletny zestaw ortogonalnych idempotentów , a ponieważ są centralne, dają rozkład Cl _n ( C ) na bezpośrednią sumę dwóch algebr

{\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {n} (\ mathbf {C}) = \ operatorname {Cl} _ { n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \operatorname {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),}

Gdzie

{\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {n} ^ {\ pm} (\ mathbf {C}) = P _ {\ pm} \ operatorname {Cl} _ {n} (\ mathbf {C}).}

Algebry $tylko$ dodatnie i przestrzenie _własne ω P operatory projekcji. Ponieważ ω jest nieparzyste, algebry te są mieszane przez α (mapa liniowa na V zdefiniowana przez v ↦ - v ):

{\ Displaystyle \ alfa \ lewo (\ nazwa operatora {Cl} _ {n} ^ {\ pm} (\ mathbf {C}) \ prawo )=\operatorname {Cl} _{n}^{\mp}(\mathbf {C}),}

a zatem izomorficzny (ponieważ α jest automorfizmem ). Każda z tych dwóch algebr izomorficznych jest centralnie prosta, a więc ponownie izomorficzna z algebrą macierzową nad C . Rozmiary macierzy można określić na podstawie faktu, że wymiar Cln ₍ C ) wynosi ²ⁿ . Mamy więc następującą tabelę:

N	Cl _n ( C )
2m _	M(2 ^m , C )
2m +1 _	M(2 ^m , do ) ⊕ M(2 ^m , do )

Parzysta podalgebra Cl _n ( C ) jest (niekanonicznie) izomorficzna z Cl _{n −1} ( C ). Kiedy n jest parzyste, parzysta podalgebra może być identyfikowana z macierzami ukośnymi bloków (po podziale na macierz blokową 2 × 2 ). Gdy n jest nieparzyste, parzystą podalgebrą są te elementy M(2 ^m , C ) ⊕ M(2 ^m , C ) , dla których te dwa czynniki są identyczne. Podniesienie dowolnego kawałka daje wtedy izomorfizm z Cl _{n −1} ( C ) ≅ M (2 ^m , C ) .

Prawdziwy przypadek

Prawdziwy przypadek jest znacznie bardziej skomplikowany, wykazując okresowość 8 zamiast 2, i istnieje 2-parametrowa rodzina algebr Clifforda.

Klasyfikacja form kwadratowych

Po pierwsze, istnieją nieizomorficzne formy kwadratowe danego stopnia, sklasyfikowane według sygnatury.

Każda niezdegenerowana forma kwadratowa w rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest równoważna standardowej postaci diagonalnej:

{\ Displaystyle Q (u) = u_ {1} ^ {2} + \ cdots + u_ { p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}

gdzie n = p + q jest wymiarem przestrzeni wektorowej. Para liczb całkowitych ( p , q ) nazywana jest sygnaturą formy kwadratowej. Rzeczywista przestrzeń wektorowa z tą formą kwadratową jest często oznaczana jako R ^{p , q} . Algebrę Clifforda na R ^{p , q} oznaczamy Cl _{p , q} ( R ).

Standardowa baza ortonormalna { e _i } dla R ^{p , q} składa się z n = p + q wzajemnie ortogonalnych wektorów, z których p ma normę +1, a q ma normę −1.

Jednostka pseudoskalarna

Jednostka pseudoskalarna w Cl _{p , q} ( R ) jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle \ omega = e_ {1} e_ {2} \ cdots e_ {n}.}

Jest to zarówno coś w rodzaju elementu Coxetera (produkt odbić), jak i najdłuższy element grupy Coxetera w porządku Bruhata ; to jest analogia. Odpowiada formie objętościowej i uogólnia ją (w algebrze zewnętrznej ; dla trywialnej postaci kwadratowej jednostka pseudoskalarna jest formą objętościową) i podnosi odbicie przez początek (co oznacza, że obraz jednostki pseudoskalarnej jest odbiciem przez początek, w grupie ortogonalnej ).

Aby obliczyć kwadrat ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = (e_ {1} e_ {2} \ cdots e_ {n} )(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})}$ , można albo odwrócić kolejność drugiej grupy, otrzymując ${ \ Displaystyle {\ mbox {sgn}} (\ sigma) e_ {1} e_ {2} \ cdots e_ {n} e_ {n} \ cdots e_ {2} e_ {1}} lub zastosuj idealne$ tasowanie , uzyskując ${\ Displaystyle {\ mbox {sgn}} (\ sigma) (e_ {1} e_ {1} e_ {2} e_ {2} \cdots e_{n}e_{n})}$ . ${\ Displaystyle (-1) ^ {\ lfloor n/2 \ rfloor} = (-1) ^$ ⌊ ${\ Displaystyle e_ {i} e_ {i} = \ pm 1}$ , który jest 4-okresowy ( ) i w połączeniu z , pokazuje to mi ja kwadrat ω jest dany przez

{\ Displaystyle \ omega ^ {2} = (-1) ^ {\ Frac {n (n-1)} {2}} (-1) ^ {q}

Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do przypadku złożonego, na ogół nie jest możliwe znalezienie pseudoskalaru, którego kwadrat wynosi +1.

Centrum

Jeśli n (równoważnie p - q ) jest parzyste, algebra Cl _{p , q} ( R ) jest centralnie prosta , a więc izomorficzna z algebrą macierzową nad R lub H na podstawie twierdzenia Artina – Wedderburna .

Jeśli n (równoważnie p - q ) jest nieparzyste, to algebra nie jest już centralnie prosta, ale ma centrum, które obejmuje zarówno pseudoskalary, jak i skalary. Jeśli n jest nieparzyste i ω ² = +1 (równoważnie, jeśli p − q ≡ 1 (mod 4) ) to, podobnie jak w przypadku zespolonym, algebra Cl _{p , q} ( R ) rozkłada się na prostą sumę algebr izomorficznych

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {p, q} (\ mathbf {R}) =\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R}),}

z których każdy jest centralnie prosty, a więc izomorficzny z algebrą macierzową nad R lub H .

Jeśli n jest nieparzyste i ω ² = −1 (równoważnie, jeśli p − q ≡ −1 (mod 4) ), to środek Cl _{p , q} ( R ) jest izomorficzny z C i może być uważany za złożoną algebrę. Jako algebra zespolona jest centralnie prosta, a więc izomorficzna z algebrą macierzową nad C .

Klasyfikacja

W sumie istnieją trzy własności, które określają klasę algebry Cl _{p , q} ( R ):

mod podpisu 2: n jest parzyste/nieparzyste: centralny prosty lub nie
podpis mod 4: ω ² = ± 1 : jeśli nie centralny prosty, środek to R ⊕ R lub C
podpis mod 8: klasa Brauera algebry ( n parzysta) lub nawet subalgebry ( n nieparzysta) to R lub H

Każda z tych właściwości zależy tylko od sygnatury p − q modulo 8. Pełna tabela klasyfikacji jest podana poniżej. Wielkość macierzy jest określona przez wymaganie, aby Cl _{p , q} ( R ) miały wymiar 2 ^{p + q} .

p − q mod 8	ω ²	Cl _{p , q} (R) ( n = p + q )	p − q mod 8	ω ²	Cl _{p , q} (R) ( n = p + q )
0	+	M(2 ^{n /2} , R )	1	+	M(2 ^{( n −1)/2} , R ) ⊕ M(2 ^{( n −1)/2} , R )
2	−	M(2 ^n/2 , R )	3	−	M(2 ^{( n −1)/2} , do )
4	+	M(2 ^{( n −2)/2} , H. )	5	+	M(2 ^{( n −3)/2} , H. ) ⊕ M(2 ^{( n −3)/2} , H. )
6	−	M(2 ^{( n −2)/2} , H. )	7	−	M(2 ^{( n −1)/2} , do )

Można zauważyć, że spośród wszystkich wymienionych typów pierścieni macierzowych istnieje tylko jeden typ wspólny dla algebr zespolonych i rzeczywistych: typ M(2 ^m , C ). Na przykład, Cl ₂ ( C ) i Cl _3,0 ( R ) określa się jako M ₂ ( C ). Należy zauważyć, że istnieją różnice w zastosowanych izomorfizmach klasyfikujących. Ponieważ Cl ₂ ( C ) jest algebrą izomorficzną poprzez C -liniową mapę (która z konieczności jest R -liniowa), a Cl _3,0 ( R ) jest algebrą izomorficzną poprzez R -liniową mapę, Cl ₂ ( C ) i Cl _3,0 ( R ) są R -algebrami izomorficznymi.

tabela tej klasyfikacji dla p + q ≤ 8 . Tutaj p + q biegnie pionowo, a p − q biegnie poziomo (np. algebra Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) znajduje się w wierszu 4, kolumnie −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0

R

1

R2 ^_

C

2

M ₂ ( R )

H

3

M ₂ ( C )

M ₂² ( R )

M ₂ ( C )

H2 ^_

4

M ₂ ( H )

M ₄ ( R )

M ₂ ( H )

5

M ₂² ( H )

M ₄ ( C )

M ₄² ( R )

M ₄ ( C )

M ₂² ( H )

M ₄ ( C )

6

M ₄ ( H )

M ₈ ( R )

M ₄ ( H )

M ₈ ( R )

7

M ₈ ( C )

M ₄² ( H )

M ₈ ( C )

M ₈² ( R )

M ₈ ( C )

M ₄² ( H )

M ₈ ( C )

M ₈² ( R )

8

M ₁₆ ( R )

M ₈ ( H )

M ₁₆ ( R )

M ₈ ( H )

M ₁₆ ( R )

ω ²

+

−

+

−

+

−

+

−

+

Symetrie

W powyższej tabeli jest splątana sieć symetrii i relacji.

{\ Displaystyle { \begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q} (\mathbf {R} ))\\\nazwa_operatora {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\nazwa_operatora {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R } )\end{wyrównane}}}

Przejście przez 4 miejsca w dowolnym rzędzie daje identyczną algebrę.

Z tych okresowości Botta wynika:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {p + 8, q} (\ mathbf {R}) = \ nazwa operatora {Cl} _ {p + 4, q + 4} (\ mathbf {R}) = M_ {2 ^{4}}(\nazwa operatora {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}

Jeśli podpis spełnia p - q ≡ 1 (mod 4), to

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {p + k, q} (\ mathbf {R}) = \ nazwa operatora {Cl} _ {p, q + k} (\ mathbf {R}).}

(Tabela jest symetryczna względem kolumn z podpisem ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Zatem jeśli podpis spełnia p - q ≡ 1 (mod 4) ,

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {p + k, q} (\ mathbf {R}) = \ nazwa operatora {Cl} _ {p, q + k} (\ mathbf {R}) = \ nazwa operatora {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{pk,q}(\mathbf {R } ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,qk}(\mathbf {R} )).}

Zobacz też

Budinich, Paolo; Trautman, Andrzej (1988). Spinorialna szachownica . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-19078-3 .
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Geometria wirowania . Seria matematyczna Princeton. Tom. 38. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8391-2 .
Porteous, Ian R. (1995). Algebry Clifforda i grupy klasyczne . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 50. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55177-9 .