Kontraktowe prawdopodobieństwa pomostowe

W grze w brydża istotną rolę odgrywają prawdopodobieństwa matematyczne. Różne strategie gry rozgrywającego prowadzą do sukcesu w zależności od rozłożenia kart przeciwnika. Aby zdecydować, która strategia ma największe prawdopodobieństwo powodzenia, rozgrywający musi mieć przynajmniej elementarną wiedzę na temat prawdopodobieństw.

Poniższe tabele określają różne wcześniejsze prawdopodobieństwa , tj. prawdopodobieństwa przy braku jakichkolwiek dalszych informacji. Podczas licytacji i gry dostępnych jest więcej informacji o rozdaniach, co pozwala graczom poprawić oszacowania prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo rozkładów kolorów (w przypadku braku atutów itp.) w dwóch ukrytych rękach

Ta tabela przedstawia różne sposoby, w jakie od dwóch do ośmiu określonych kart może być rozdzielonych, leżeć lub dzielić między dwa nieznane układy 13-kartowe (przed licytacją i grą lub a priori ).

Tabela pokazuje również liczbę kombinacji poszczególnych kart, które pasują do dowolnego podziału numerycznego oraz prawdopodobieństwa dla każdej kombinacji.

Te prawdopodobieństwa wynikają bezpośrednio z prawa wolnych miejsc .

Liczba kart (atutów itp.) Brakujących w partnerstwie	Dystrybucja	Prawdopodobieństwo	Kombinacje	Indywidualne prawdopodobieństwo
2	1 - 1	0,52	2	0,26
	2 - 0	0,48	2	0,24
3	2 - 1	0,78	6	0,13
	3 - 0	0,22	2	0,11
4	2 - 2	0,41	6	0,0678~
	3 - 1	0,50	8	0,0622~
	4 - 0	0,10	2	0,0478~
5	3 - 2	0,68	20	0,0339~
	4 - 1	0,28	10	0,02826~
	5 - 0	0,04	2	0,01956~
6	3 - 3	0,36	20	0,01776~
	4 - 2	0,48	30	0,01615~
	5 - 1	0,15	12	0,01211~
	6 - 0	0,01	2	0,00745~
7	4 - 3	0,62	70	0,00888~
	5 - 2	0,31	42	0,00727~
	6 - 1	0,07	14	0,00484~
	7 - 0	0,01	2	0,00261~
8	4 - 4	0,33	70	0,00467~
	5 - 3	0,47	112	0,00421~
	6 - 2	0,17	56	0,00306~
	7 - 1	0,03	16	0,00178~
	8 - 0	0.00	2	0,00082~

Obliczanie prawdopodobieństw

Niech ${\ Displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w})}$ prawdopodobieństwem gracza ze Wschodu z $}}$${\ displaystyle n_ {$$e$ nieznane karty trzymające $danym$$nieznanymi$ kolorze i gracz z Zachodu z posiadającymi karty w danym kolorze ${\ Displaystyle (a + b)}$ kart ${\ Displaystyle T = {\ Frac {(n_ {e} + n_ {w})!} {(n_ {e} + n_ {w} -ab)! (a + b)!}}} tj.$ kolorze w spacjach ${e} + n_ {w})}$ n_ liczba permutacje obiektów , których karty w kolorze są nie do odróżnienia, a karty $nie$ Liczba układów, które odpowiadają Wschodowi mającemu $kolorze$ i kartom Zachodu $przez$ kolorze, jest dana ${\ Displaystyle S = {\ Frac {n_ {e}!} {a! (n_ {e} -a)!}} \ razy {\ Frac {n_ {w}!} {b! (n_ {w} - b)!}}}$ . Dlatego,

$${\ Displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w} )={\frac {S}{T}}={\frac {(a+b)!}{a!b!}}\times {\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{ e}+n_{w}-ab)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\binom { a+b}{a}}{\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-ab)!}{(n_{e}+n_{w})! (n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\frac {{\binom {a+b}{a}}{\binom {n_{e}+n_{w} -ab}{n_{e}-a}}}{\binom {n_{e}+n_{w}}{n_{e}}}}}$$

Jeśli kierunek podziału jest nieistotny (wymagane jest tylko, aby podział był , $\ displaystyle a} - b {\$ nie $b}$ że Wschód jest specjalnie zobowiązany do trzymania $displaystyle$ ), to za { całkowite prawdopodobieństwo jest podane przez

$${\ styl wyświetlania P(a,b,n_{e},n_{w})=P'(a,b,n_{e},n_{w})+(1-\delta _{a,b})P' (b,a,n_{e},n_{w})}$$

gdzie delta Kroneckera zapewnia, że ​​sytuacja, w której Wschód i Zachód mają taką samą liczbę kart w kolorze, nie jest liczona podwójnie.

Powyższe prawdopodobieństwa zakładają, że kierunek podziału jest nieistotny, dlatego są podane przez ${\ Displaystyle n_ {e} = n_ {w} = 13}$

$${\ Displaystyle P (a, b) = P (a, b, 13,13) = {\ binom {a + b} {a}} {\ Frac {13! 13! ( 26-ab)!}{26!(13-a)!(13-b)!}}(2-\delta _{a,b})}$$

Bardziej ogólny wzór może być użyty do obliczenia prawdopodobieństwa złamania koloru, jeśli wiadomo, że gracz ma karty w innym kolorze, np. z licytacji. Załóżmy, że wiadomo, że Wschód ma 7 pików z licytacji i po obejrzeniu manekina wnioskujesz, że Zachód ma 2 piki; to jeśli twoje dwie linie gry mają mieć nadzieję na karo 5-3 lub trefl 4-2, a priori wynoszą odpowiednio 47% i 48%, ale $P.$ i $\ Displaystyle P (4,2$ więc teraz linia klubowa jest znacznie lepsza niż linia diamentowa.

Prawdopodobieństwo dystrybucji HCP

Punkty z wysokimi kartami (HCP) są zwykle liczone przy użyciu skali Miltona Worka 4/3/2/1 punktów odpowiednio dla każdego asa/króla/damy/waleta. Prawdopodobieństwa a priori , że dana ręka zawiera nie więcej niż określoną liczbę HCP podano w poniższej tabeli. Aby znaleźć prawdopodobieństwo określonego zakresu punktów, wystarczy odjąć dwa odpowiednie skumulowane prawdopodobieństwa. Tak więc prawdopodobieństwo otrzymania układu 12-19 HCP (włącznie z zakresami) to prawdopodobieństwo posiadania co najwyżej 19 HCP minus prawdopodobieństwo posiadania co najwyżej 11 HCP, czyli: 0,9855 - 0,6518 = 0,3337.

HCP	Prawdopodobieństwo		HCP	Prawdopodobieństwo		HCP	Prawdopodobieństwo		HCP	Prawdopodobieństwo		HCP	Prawdopodobieństwo
0	0,003639		8	0,374768		16	0,935520		24	0,999542		32	1.000000
1	0,011523		9	0,468331		17	0,959137		25	0,999806		33	1.000000
2	0,025085		10	0,562382		18	0,975187		26	0,999923		34	1.000000
3	0,049708		11	0,651828		19	0,985549		27	0,999972		35	1.000000
4	0,088163		12	0,732097		20	0,991985		28	0,999990		36	1.000000
5	0,140025		13	0,801240		21	0,995763		29	0,999997		37	1.000000
6	0,205565		14	0,858174		22	0,997864		30	0,999999
7	0,285846		15	0,902410		23	0,998983		31	1.000000

Prawdopodobieństwa wzoru ręki

Wzór ręki oznacza rozmieszczenie trzynastu kart w ręce w czterech kolorach. W sumie możliwych jest 39 układów rąk, ale tylko 13 z nich ma prawdopodobieństwo a priori przekraczające 1%. Najbardziej prawdopodobnym układem jest wzór 4-4-3-2 składający się z dwóch kolorów czterokartowych, koloru trzech kart i dubla .

Zwróć uwagę, że wzór dłoni nie określa, które poszczególne kolory zawierają wskazane długości. W przypadku wzoru 4-4-3-2 należy określić, który kolor zawiera trzy karty, a który zawiera dublet, aby określić długość w każdym z czterech kolorów. Istnieją cztery możliwości, aby najpierw zidentyfikować kolor trzech kart i trzy możliwości, aby następnie zidentyfikować dublet. Stąd liczba permutacji kolorów wzoru 4-4-3-2 wynosi dwanaście. Lub, mówiąc inaczej, w sumie istnieje dwanaście sposobów odwzorowania wzoru 4-4-3-2 na cztery kolory.

Poniższa tabela zawiera listę wszystkich 39 możliwych układów układów, prawdopodobieństwo ich wystąpienia, a także liczbę permutacji kolorów dla każdego układu. Lista jest uporządkowana według prawdopodobieństwa wystąpienia wzorców rąk.

Wzór Prawdopodobieństwo # 4-4-3-2 0,21551 12 5-3-3-2 0,15517 12 5-4-3-1 0,12931 24 5-4-2-2 0,10580 12 4-3-3-3 0,10536 4 6-3-2-2 0,05642 12 6-4-2-1 0,04702 24 6-3-3-1 0,03448 12 5-5-2-1 0,03174 12 4-4-4-1 0,02993 4 7-3-2-1 0,01881 24 6-4-3-0 0,01326 24 5-4-4-0 0,01243 12

Wzór Prawdopodobieństwo # 5-5-3-0 0,00895 12 6-5-1-1 0,00705 12 6-5-2-0 0,00651 24 7-2-2-2 0,00513 4 7-4-1-1 0,00392 12 7-4-2-0 0,00362 24 7-3-3-0 0,00265 12 8-2-2-1 0,00192 12 8-3-1-1 0,00118 12 7-5-1-0 0,00109 24 8-3-2-0 0,00109 24 6-6-1-0 0,00072 12 8-4-1-0 0,00045 24

Wzór Prawdopodobieństwo # 9-2-1-1 0,00018 12 9-3-1-0 0,00010 24 9-2-2-0 0,000082 12 7-6-0-0 0,000056 12 8-5-0-0 0,000031 12 10-2-1-0 0,000011 24 9-4-0-0 0,0000097 12 10-1-1-1 0,0000040 4 10-3-0-0 0,0000015 12 11-1-1-0 0,00000025 12 11-2-0-0 0,00000011 12 12-1-0-0 0,0000000032 12 13-0-0-0 0,0000000000063 4

39 układów rąk można podzielić na cztery rodzaje układów : ręce zrównoważone , pojedyncze kolory , dwa kolory i trzy kolory . Poniższa tabela podaje a priori prawdopodobieństwo otrzymania określonego rodzaju ręki.

Typ dłoni	Wzory	Prawdopodobieństwo
Zrównoważony	4-3-3-3, 4-4-3-2, 5-3-3-2	0,4761
Pojedynczy garnitur	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7- 3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3- 2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0- 0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0,1915
Dwukolorowy	5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-5-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6- 6-1-0, 7-6-0-0	0,2902
Trójkolorowy	4-4-4-1, 5-4-4-0	0,0423

Alternatywne grupowanie 39 wzorów rąk może być wykonane według najdłuższego koloru lub najkrótszego koloru. Poniższe tabele dają a priori szansę otrzymania ręki w najdłuższym lub najkrótszym kolorze o danej długości.

Najdłuższy garnitur	Wzory	Prawdopodobieństwo
4 karty	4-3-3-3, 4-4-3-2, 4-4-4-1	0,3508
5 kart	5-3-3-2, 5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-4-4-0, 5-5-3-0	0,4434
6 kart	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6- 6-1-0	0,1655
7 kart	7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7- 6-0-0	0,0353
8 kart	8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0	0,0047
9 karta	9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0	0,00037
10 kart	10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0	0,000017
11 karta	11-1-1-0, 11-2-0-0	0,0000003
12 kart	12-1-0-0	0,000000003
13 karta	13-0-0-0	0,000000000006

Najkrótszy garnitur	Wzory	Prawdopodobieństwo
Trzy karty	4-3-3-3	0,1054
Doubleton	4-4-3-2, 5-3-3-2, 5-4-2-2, 6-3-2-2, 7-2-2-2	0,5380
Singel	4-4-4-1, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-5-1-1, 7- 3-2-1, 7-4-1-1, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 9-2-1-1, 10-1-1-1	0,3055
Próżnia	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7- 4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2- 2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0- 0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0,0512

Liczba możliwych rozdań i rozdań

Istnieje 635 $600$ rąk, które może trzymać jeden gracz Ponadto, gdy uwzględni się pozostałe 39 kart ze wszystkimi ich kombinacjami, możliwych jest 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 (53,6 x 10 ²⁷ ) różnych rozdań ( ${\ Displaystyle 52!/(13!) ^ {4}}$ } Ogrom tej liczby można zrozumieć, odpowiadając na pytanie „ Jak dużej powierzchni potrzebowałbyś, aby rozłożyć wszystkie możliwe układy mostów, gdyby każdy układ zajmował tylko jeden milimetr kwadratowy? ”. Odpowiedź brzmi: obszar ponad sto milionów razy większy od powierzchni Ziemi .

Oczywiście jest mało prawdopodobne, aby układy, które są identyczne, z wyjątkiem zamiany — powiedzmy — ♥ 2 i ♥ 3, dały inny wynik. Aby wyraźnie podkreślić nieistotność małych kart (co jednak nie zawsze tak jest), w brydżu takie małe karty są zwykle oznaczane przez „x”. Zatem „liczba możliwych rozdań” w tym sensie zależy od tego, ile kart innych niż honorowe (2, 3,… 9) uważa się za „nie do odróżnienia”. Na przykład, jeśli notacja „x” zostanie zastosowana do wszystkich kart mniejszych niż dziesięć, wówczas rozkłady kolorów A987-K106-Q54-J32 i A432-K105-Q76-J98 zostaną uznane za identyczne.

Poniższa tabela przedstawia liczbę rozdań, gdy różne liczby małych kart są uważane za nie do odróżnienia.

Skład garnituru	Liczba transakcji
AKQJT9876543x	53 644 737 765 488 792 839 237 440 000
AKQJT987654xx	7 811 544 503 918 790 990 995 915 520
AKQJT98765xxx	445 905 120 201 773 774 566 940 160
AKQJT9876xxxx	14 369 217 850 047 151 709 620 800
AKQJT987xxxxx	314174475847313213527680
AKQJT98xxxxxx	5 197 480 921 767 366 548 160
AKQJT9xxxxxxx	69 848 690 581 204 198 656
AKQJTxxxxxxxxx	800 827 437 699 287 808
AKQJxxxxxxxxx	8110864720503360
AKQxxxxxxxxxx	74 424 657 938 928
AKxxxxxxxxxxxx	630 343 600 320
Axxxxxxxxxxxx	4 997 094 488
xxxxxxxxxxxxx	37 478 624

Zwróć uwagę, że ostatni wpis w tabeli (37 478 624) odpowiada liczbie różnych rozkładów talii (liczbie rozdań, gdy karty różnią się tylko kolorem).

Prawdopodobieństwo przegranej liczy się

Losing -Trick stanowi alternatywę dla liczenia HCP jako metoda oceny rozdań.

długoterminowy	Liczba rąk	Prawdopodobieństwo
0	4 245 032	0,000668%
1	90 206 044	0,0142%
2	872 361 936	0,137%
3	5 080 948 428	0,8%
4	19 749 204 780	3,11%
5	53 704 810 560	8,46%
6	104 416 332 340	16,4%
7	145 971 648 360	23,0%
8	145 394 132 760	22,9%
9	100 454 895 360	15,8%
10	45 618 822 000	7,18%
11	12 204 432 000	1,92%
12	1 451 520 000	0,229%
13	12 to maksimum	Nie dotyczy

Dalsza lektura

• Émile, Borel; André, Cheron (1940). Théorie Mathématique du Bridge . Gauthier-Villars. Drugie wydanie francuskie autorstwa autorów w 1954 r. Przetłumaczone i zredagowane na język angielski przez Aleca Trauba jako The Mathematical Theory of Bridge; wydrukowano w 1974 r. na Tajwanie dzięki pomocy CC Wei.
•   Kelsey, Hugh ; Glauert, Michael (1980). Kursy brydżowe dla praktycznych graczy . Mistrzowska seria mostów. Londyn: Victor Gollancz Ltd we współpracy z Peterem Crawleyem. ISBN 0-575-02799-1 .
•   Reese, Terence ; Trezel, Roger (1986). Opanuj szanse w brydżu . Mistrzowska seria mostów. Londyn: Victor Gollancz Ltd we współpracy z Peterem Crawleyem. ISBN 0-575-02597-2 .