Squircle

Squircle wyśrodkowany na początku układu współrzędnych (

a = b = 0

) z mniejszym promieniem

r = 1

:

x 4 + y 4 = 1

Squircle to kształt pośredni między kwadratem a kołem . W użyciu są co najmniej dwie definicje „squircle”, z których najpowszechniejsza opiera się na superelipsie . Słowo „squircle” to kontaminacja słów „kwadrat” i „koło”. Squircles zostały zastosowane w projektowaniu i optyce .

Squircle oparty na superelipsie

W kartezjańskim układzie współrzędnych superelipsa jest zdefiniowana przez równanie

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {xa} {r_ {a}}} \ prawo | ^ {n} + \ lewo | {\ Frac {yb} {r_ {b}}} \ prawo | ^{n}=1,}

gdzie

r a

i

r b

to półosie duże i pół małe ,

aib

to współrzędne

x

i

y

środka elipsy, a

n

to liczba dodatnia

.

Squircle jest wtedy definiowany jako superelipsa z

r a = r b

i

n = 4

. Jego równanie to:

{\ Displaystyle \ lewo (xa \ prawo) ^ {4} + \ lewo (yb \ prawo) ^ {4} = r ^ {4}}

gdzie

r

jest mniejszym promieniem squircle. Porównaj to z równaniem koła . Kiedy squircle jest wyśrodkowany w początku układu współrzędnych, to

a = b = 0

i nazywa się to specjalną kwartą Lamégo .

Obszar wewnątrz squircle można wyrazić za pomocą funkcji gamma $Γ$ as

{\ Displaystyle \ operatorname {Obszar} = 4r ^ {2} {\ Frac {\ lewo (\ nazwa operatora {\ Gamma} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {4}} \ prawo) \ prawo) ^ { 2}}{\nazwa_operatora {\Gamma} \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\nazwa_operatora {\Gamma} \ left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi}}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\ około 3,708149\,r^{2},}

gdzie

r

jest mniejszym promieniem squircle i jest stałą

lemniskatą

p – notacja normowa

Pod względem $p$ -normy $‖ \cdot ‖ p$ na $R 2$ , squircle można wyrazić jako:

{\ Displaystyle \ lewo \|\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {c} \ prawo \ | _ {p} = r}

gdzie

p = 4

,

x c = (a, b)

jest wektorem oznaczającym środek squircle, a

x = (x, y)

. W rzeczywistości jest to nadal „okrąg” punktów w odległości

r

od środka, ale odległość jest definiowana inaczej. Dla porównania, zwykłym kołem jest przypadek

p = 2

, podczas gdy kwadrat jest dany przypadkiem

p \to \infty

( norma nadrzędna ), a obrócony kwadrat jest dany przez

p = 1

( norma taksówki ). Pozwala to na proste uogólnienie na sferyczny sześcian lub sphube w

R 3

lub hipersphubes w wyższych wymiarach.

Fernández-Guasti squircle

Kolejny squircle pochodzi z pracy w optyce. Można go nazwać squircle Fernández-Guasti, na cześć jednego z jego autorów, aby odróżnić go od powyższego squircle związanego z superelipsą. Ten rodzaj squircle, wyśrodkowany na początku, można zdefiniować za pomocą równania:

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - {\ Frac {s ^ {2}} {r ^ {2}}} x^{2}y^{2}=r^{2}}

gdzie

r

jest mniejszym promieniem squircle,

s

jest parametrem kwadratowości, a

x

i

y

mieszczą się w przedziale

[- r, r]

. Jeśli

s = 0

, równanie jest kołem; jeśli

s = 1

, to jest kwadrat. Równanie to pozwala na płynną parametryzację przejścia od koła do kwadratu, bez angażowania nieskończoności .

Podobne kształty

Wiewiórka ( niebieska ) w porównaniu z zaokrąglonym kwadratem ( czerwona ). (większy obraz)

Kształt podobny do squircle, zwany zaokrąglonym kwadratem , można uzyskać, oddzielając cztery ćwiartki koła i łącząc ich luźne końce liniami prostymi lub oddzielając cztery boki kwadratu i łącząc je ćwiartkami kół. Taki kształt jest bardzo podobny, ale nie identyczny z squircle. Chociaż skonstruowanie zaokrąglonego kwadratu może być koncepcyjnie i fizycznie prostsze, squircle ma prostsze równanie i można go znacznie łatwiej uogólnić. Jedną z konsekwencji tego jest to, że squircle i inne superelipsy można dość łatwo skalować w górę lub w dół. Jest to przydatne, gdy na przykład chce się utworzyć zagnieżdżone squircles.

Różne formy ściętego koła

Innym podobnym kształtem jest ścięte koło , granica przecięcia obszarów ograniczonych kwadratem i koncentrycznym kołem, którego średnica jest zarówno większa niż długość boku kwadratu, jak i mniejsza niż długość przekątnej kwadratu (tak, aby każda figura miała punkty wewnętrzne, które nie znajdują się we wnętrzu drugiej). Takim kształtom brakuje stycznej ciągłości posiadanej zarówno przez superelipsy, jak i zaokrąglone kwadraty.

Zaokrąglony sześcian można zdefiniować za pomocą superelipsoid .

Używa

Squircles są przydatne w optyce . Jeśli światło przechodzi przez dwuwymiarową kwadratową aperturę, centralny punkt obrazu dyfrakcyjnego można dokładnie modelować za pomocą wiewiórki lub superkoła. Jeśli używana jest prostokątna apertura, plamkę można przybliżyć superelipsą .

Squircles były również używane do konstruowania talerzy obiadowych . Okrągły talerz ma większą powierzchnię (a zatem może pomieścić więcej jedzenia) niż okrągły talerz o tym samym promieniu, ale nadal zajmuje taką samą ilość miejsca w prostokątnej lub kwadratowej szafce.

Wiele modeli telefonów Nokia zostało zaprojektowanych z przyciskiem touchpada w kształcie kwadratu, podobnie jak Microsoft Zune drugiej generacji . Apple używa przybliżenia squircle (właściwie pięciokropkowej superelipsy) dla ikon w iOS , iPadOS , macOS i przyciskach domowych niektórych urządzeń Apple. Jednym z kształtów adaptacyjnych ikon wprowadzonych w Android „Oreo” jest squircle. Samsung używa ikon w kształcie squircle w swojej nakładce na Androida One UI oraz w Samsung Experience i TouchWiz .

Włoski producent samochodów Fiat wykorzystał liczne zawijasy we wnętrzu i nadwoziu Pandy trzeciej generacji .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

na YouTube autorstwa Matta Parkera
Kalkulator online superkoła i superelipsy
Internetowy generator superokręgów