Metryka Kobayashiego

W matematyce , a zwłaszcza w złożonej geometrii , metryka Kobayashiego jest pseudometryką nierozerwalnie związaną z dowolną rozmaitością zespoloną . Został wprowadzony przez Shoshichi Kobayashiego w 1967 roku. Rozmaitości hiperboliczne Kobayashiego są ważną klasą rozmaitości zespolonych, zdefiniowaną przez właściwość, że pseudometria Kobayashiego jest metryką. Hiperboliczność Kobayashiego złożonej rozmaitości X implikuje, że każda mapa holomorficzna od linii zespolonej C do X jest stała.

Definicja

Początki tej koncepcji leżą w lemacie Schwarza w analizie zespolonej . Mianowicie, jeśli f jest funkcją holomorficzną na otwartym dysku jednostkowym D w liczbach zespolonych C taką, że f (0) = 0 i | fa ( z )| < 1 dla wszystkich z w D , to pochodna f '(0) ma wartość bezwzględną co najwyżej 1. Bardziej ogólnie, dla dowolnego holomorficznego odwzorowania f z D do siebie (niekoniecznie wysyłając 0 do 0), istnieje bardziej skomplikowana górna granica pochodnej f w dowolnym punkcie D . Jednak granica ma proste sformułowanie w kategoriach metryki Poincarégo , która jest kompletną metryką riemannowską na D z krzywizną −1 (izometryczną względem płaszczyzny hiperbolicznej ). Mianowicie: każda mapa holomorficzna od D do siebie jest malejąca w stosunku do metryki Poincarégo na D .

To początek silnego związku między analizą złożoną a geometrią ujemnej krzywizny. Dla dowolnej zespolonej przestrzeni X (na przykład zespolonej rozmaitości) pseudometria Kobayashiego d X jest zdefiniowana jako największa pseudometria na X taka, że

,

dla wszystkich map holomorficznych dysku D do X , gdzie oznacza metryce Poincarégo D W pewnym sensie ta formuła uogólnia lemat Schwarza na wszystkie przestrzenie zespolone; ale może być bezsensowny w tym sensie, że pseudometryczny d X Kobayashiego może być identycznie zerowy. Na przykład jest identycznie zero, gdy X jest linią zespoloną C . (Dzieje się tak, ponieważ C zawiera dowolnie duże dyski, obrazy holomorficznych map f a : D → C dane przez f ( z ) = az dla dowolnie dużych liczb dodatnich a .)

O złożonej przestrzeni X mówi się, że jest hiperboliczna Kobayashiego , jeśli pseudometryka Kobayashiego d X jest metryką, co oznacza, że ​​d X ( x , y ) > 0 dla wszystkich x ≠ y w X . Nieformalnie oznacza to, że istnieje prawdziwa granica rozmiaru dysków mapowanych holomorficznie na X . W tych kategoriach lemat Schwarza mówi, że dysk jednostkowy D jest hiperboliczny Kobayashiego, a dokładniej, że metryka Kobayashi na D jest dokładnie metryką Poincarégo. Teoria staje się bardziej interesująca w miarę znajdowania kolejnych przykładów rozmaitości hiperbolicznych Kobayashiego. (Dla hiperbolicznej rozmaitości Kobayashi X , metryka Kobayashiego jest metryką wewnętrznie określoną przez złożoną strukturę X ; wcale nie jest jasne, czy tak się kiedykolwiek stanie. Rzeczywista rozmaitość o dodatnim wymiarze nigdy nie ma wewnętrznej metryki w tym sensie, ponieważ jego grupa dyfeomorfizmu jest zbyt duża, aby na to pozwolić.)

Przykłady

  1. Każda holomorficzna mapa f : X → Y przestrzeni zespolonych zmniejsza odległość względem pseudometrii Kobayashiego dla X i Y . Wynika z tego, że jeśli dwa punkty p i q w przestrzeni zespolonej Y można połączyć łańcuchem odwzorowań holomorficznych C → Y , to d Y ( p , q ) = 0, używając tego d C jest identycznie zerem. Daje to wiele przykładów rozmaitości zespolonych, dla których pseudometria Kobayashiego jest identycznie zerowa: zespolona prosta rzutowa CP 1 lub bardziej ogólnie zespolona przestrzeń rzutowa CP n , C − {0} (przy użyciu funkcji wykładniczej C → C − {0}), krzywa eliptyczna lub bardziej ogólnie zwarty złożony torus .
  2. Hiperboliczność Kobayashiego jest zachowana podczas przejścia do otwartych podzbiorów lub do zamkniętych złożonych podprzestrzeni. Wynika z tego na przykład, że każda ograniczona domena w Cn jest hiperboliczna .
  3. Przestrzeń złożona jest hiperboliczna Kobayashiego wtedy i tylko wtedy, gdy jej uniwersalna przestrzeń pokrywająca jest hiperboliczna Kobayashiego. Daje to wiele przykładów krzywych zespolonych hiperbolicznych, ponieważ twierdzenie o uniformizacji pokazuje, że większość krzywych zespolonych (zwanych także powierzchniami Riemanna ) ma uniwersalne pokrycie izomorficzne z dyskiem D . W szczególności każda zwarta krzywa zespolona rodzaju co najmniej 2 jest hiperboliczna, podobnie jak dopełnienie 2 lub więcej punktów w C .

Podstawowe wyniki

Dla przestrzeni hiperbolicznej Kobayashiego X , każda mapa holomorficzna C → X jest stała, zgodnie z właściwością zmniejszania odległości pseudometrii Kobayashiego. Jest to często najważniejsza konsekwencja hiperboliczności. Na przykład fakt, że C minus 2 punkty jest hiperboliczny implikuje twierdzenie Picarda , że ​​obraz dowolnej niestałej całej funkcji C → C pomija co najwyżej jeden punkt C . Teoria Nevanlinny jest bardziej ilościowym potomkiem twierdzenia Picarda.

Twierdzenie Brody'ego mówi, że zwarta przestrzeń zespolona X jest hiperboliczna Kobayashiego wtedy i tylko wtedy, gdy każda mapa holomorficzna C → X jest stała. Zastosowanie polega na tym, że hiperboliczność jest warunkiem otwartym (w topologii euklidesowej) dla rodzin zwartych przestrzeni zespolonych. Mark Green użył argumentu Brody'ego do scharakteryzowania hiperboliczności dla zamkniętych zespolonych podprzestrzeni X zwartego torusa zespolonego: X jest hiperboliczny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera translacji podtorusa o dodatnim wymiarze.

Jeśli złożona rozmaitość X ma metrykę hermitowską z holomorficzną krzywizną przekroju ograniczoną powyżej stałą ujemną, to X jest hiperbolą Kobayashiego. W wymiarze 1 nazywa się to Ahlforsa – Schwarza.

Hipoteza Greena-Griffithsa-Langa

Powyższe wyniki dają pełny opis tego, które rozmaitości zespolone są hiperboliczne Kobayashiego w wymiarze zespolonym 1. Obraz jest mniej wyraźny w wyższych wymiarach. Centralnym problemem otwartym jest Greena – Griffithsa – Langa : jeśli X jest złożoną rozmaitością rzutową typu ogólnego , to powinien istnieć zamknięty podzbiór algebraiczny Y różny od X taki, że każda niestała holomorficzna mapa C → X odwzorowuje się na Y .

Clemens i Voisin wykazali, że dla n co najmniej 2 bardzo ogólna hiperpowierzchnia X w CP n +1 stopnia d co najmniej 2 n +1 ma tę właściwość, że każda zamknięta podrozmaitość X jest typu ogólnego. („Bardzo ogólne” oznacza, że ​​właściwość obowiązuje dla wszystkich hiperpowierzchni stopnia d poza policzalnością suma niższych wymiarowych podzbiorów algebraicznych przestrzeni rzutowej wszystkich takich hiperpowierzchni). W rezultacie hipoteza Greena-Griffithsa-Langa sugerowałaby, że bardzo ogólna hiperpowierzchnia stopnia co najmniej 2 n + 1 jest hiperboliczna Kobayashiego . Należy zauważyć, że nie można oczekiwać, że wszystkie gładkie danego stopnia będą hiperboliczne, na przykład dlatego, że niektóre hiperpowierzchnie zawierają linie (izomorficzne z CP 1 ). Takie przykłady pokazują potrzebę podzbioru Y w hipotezie Greena – Griffithsa – Langa.

Hipoteza o hiperboliczności jest znana dla hiperpowierzchni o wystarczająco wysokim stopniu, dzięki serii postępów Siu , Demailly'ego i innych, wykorzystujących technikę dyferencjałów strumieniowych . Na przykład Diverio, Merker i Rousseau wykazali, że ogólna hiperpowierzchnia w CP n +1 stopnia co najmniej 2 n 5 spełnia hipotezę Greena-Griffithsa-Langa. („Ogólne” oznacza, że ​​dotyczy to wszystkich hiperpowierzchni danego stopnia poza skończonością połączenie niskowymiarowych podzbiorów algebraicznych przestrzeni rzutowej wszystkich takich hiperpowierzchni.) W 2016 roku Brotbek przedstawił dowód hipotezy Kobayashiego o hiperboliczności ogólnych hiperpowierzchni wysokiego stopnia, w oparciu o wykorzystanie równań różniczkowych Wrońskiego; wyraźne granice stopni zostały następnie uzyskane w dowolnym wymiarze przez Ya Denga i Demailly'ego, np. [ (en) 2n+2 /3 ] przez tego ostatniego. Lepsze granice stopnia są znane w niskich wymiarach.

McQuillan udowodnił hipotezę Greena-Griffithsa-Langa dla każdej złożonej powierzchni rzutowej typu ogólnego, której liczby Cherna spełniają c 1 2 > c 2 . Dla dowolnej rozmaitości X typu ogólnego Demailly wykazał, że każda mapa holomorficzna C → X spełnia pewne (w rzeczywistości wiele) algebraicznych równań różniczkowych .

W przeciwnym kierunku Kobayashi przypuszczał, że pseudometria Kobayashiego jest identycznie zerowa dla rozmaitości Calabiego – Yau . Jest to prawdą w przypadku powierzchni K3 , przy czym każda rzutowa powierzchnia K3 jest pokryta rodziną krzywych eliptycznych. Mówiąc bardziej ogólnie, Campana podał precyzyjne przypuszczenie, które złożone odmiany rzutowe X mają pseudometrykę Kobayashiego równą zeru. Mianowicie, powinno to być równoważne z tym, że X jest wyjątkowy w tym sensie, że X nie ma racjonalnego fibracji nad dodatnio-wymiarową orbifoldą typu ogólnego.

Analogia z teorią liczb

odmiany rzutowej X badanie map holomorficznych C → X ma pewną analogię z badaniem punktów wymiernych X , głównym tematem teorii liczb . Istnieje kilka przypuszczeń na temat relacji między tymi dwoma tematami. W szczególności niech X będzie rozmaitością rzutową na polu liczbowym k . Napraw osadzenie k w C . Następnie Lang przypuszczał, że złożona rozmaitość X ( C ) jest hiperboliczny Kobayashiego wtedy i tylko wtedy, gdy X ma tylko skończenie wiele F -racjonalnych punktów dla każdego skończonego pola rozszerzenia F ( k) . Jest to zgodne ze znanymi wynikami dotyczącymi punktów racjonalnych, zwłaszcza z twierdzeniem Faltingsa o ​​podrozmaitościach odmian abelowych .

Dokładniej, niech X będzie rozmaitością rzutową typu ogólnego na polu liczbowym k . Niech wyjątkowy zbiór Y będzie domknięciem Zariskiego unii obrazów wszystkich niestałych map holomorficznych C → X . Zgodnie z hipotezą Greena-Griffithsa-Langa, Y powinien być odpowiednim zamkniętym podzbiorem X (a w szczególności nie być równy X ). Mocna hipoteza Langa przewiduje, że Y jest zdefiniowane przez k i że X - Y ma tylko skończenie wiele F -racjonalnych punktów dla każdego skończonego pola rozszerzenia F od k .

W tym samym duchu, dla rozmaitości rzutowej X na polu liczbowym k (lub, bardziej ogólnie, skończenie generowanego pola k charakterystycznego zera), Campana przypuszczał, że pseudometria X ( C ) Kobayashiego jest identycznie zero wtedy i tylko wtedy, gdy X ma potencjalnie gęste punkty wymierne, co oznacza, że ​​istnieje skończone pole rozszerzenia F od k takie, że zbiór X ( F ) z F -punktów wymiernych jest Zariskiego gęsty w X. _

Warianty

Metryka Carathéodory'ego to kolejna wewnętrzna pseudometria dotycząca złożonych rozmaitości, oparta na mapach holomorficznych na dysku jednostkowym, a nie na dysku jednostkowym. Pseudometria nieskończenie mała Kobayashiego to pseudometria Finslera , której powiązaną funkcją odległości jest pseudometria Kobayashiego, jak zdefiniowano powyżej. Forma pseudoobjętości Kobayashiego – Eisenmana jest wewnętrzną miarą złożonego n -krotnego, opartą na mapach holomorficznych od n -wymiarowego wielodysku do X . Jest rozumiany lepiej niż pseudometria Kobayashiego. W szczególności każda rozmaitość rzutowa typu ogólnego jest miara hiperboliczna , co oznacza, że ​​forma pseudoobjętości Kobayashiego – Eisenmana jest dodatnia poza podzbiorem algebraicznym o niższych wymiarach.

Analogiczne pseudometryki zostały rozważone dla płaskich struktur afinicznych i rzutowych, a także dla bardziej ogólnych połączeń rzutowych i połączeń konforemnych .

Notatki

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kobayashi_metric&oldid=1070439080 ”