Miara drugorzędna

W matematyce drugorzędna miara związana z miarą dodatniej gęstości ρ, jeśli taka istnieje, jest miarą dodatniej gęstości μ, zamieniającą drugorzędne wielomiany związane z wielomianami ortogonalnymi dla ρ w układ ortogonalny.

Wstęp

Przy pewnych założeniach, które określimy dalej, można uzyskać istnienie miary wtórnej, a nawet ją wyrazić.

Na przykład, jeśli pracuje się w przestrzeni Hilberta L ² ([0, 1], R , ρ)

${\ Displaystyle \ forall x \ w [0,1] \ qquad \ mu ( x) = {\frac {\rho (x)}{{\frac {\varphi ^{2}(x)}{4}}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)}} }$

z

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0 ^{+}}2\int _{0}^{1}{\frac {(xt)\rho (t)}{(xt)^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,dt}$

w przypadku ogólnym lub:

${\ Displaystyle \ varphi (x) = 2 \ rho (x) {\text{ln}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)-2\int _{0}^{1}{\frac {\rho (t)-\rho ( x)}{tx}}\,dt}$

gdy ρ spełnia warunek Lipschitza .

To zastosowanie φ jest nazywane reduktorem ρ.

Bardziej ogólnie, μ et ρ są połączone przez ich transformację Stieltjesa z następującym wzorem:

${\ Displaystyle S _ {\ mu} (z) = zc_ {1} - {\ Frac {1} {S_ {\ rho} (z )}}}$

w którym c ₁ jest momentem rzędu 1 miary ρ.

Te miary drugorzędne i teoria wokół nich prowadzą do zaskakujących wyników i umożliwiają znalezienie w elegancki sposób kilku tradycyjnych formuł analizy, głównie wokół funkcji Eulera Gamma , funkcji Zeta Riemanna i stałej Eulera .

Umożliwiły również wyjaśnienie całek i szeregów z ogromną skutecznością, choć jest to a priori trudne.

Wreszcie umożliwiają rozwiązywanie równań całkowych postaci

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {g (t )-g(x)}{tx}}\rho (t)\,dt}$

gdzie g jest nieznaną funkcją i prowadzi do twierdzeń o zbieżności do miar Czebyszewa i Diraca .

Ogólne zarysy teorii

Niech ρ będzie miarą dodatniej gęstości na przedziale I i dopuszczającą momenty dowolnego rzędu. Możemy zbudować rodzinę { P _n } wielomianów ortogonalnych dla iloczynu wewnętrznego indukowanego przez ρ. Nazwijmy { Q _n } ciągiem wielomianów drugorzędowych powiązanych z rodziną P . W pewnych warunkach istnieje miara, dla której rodzina Q jest ortogonalna. Miara ta, którą możemy wyjaśnić na podstawie ρ, nazywana jest miarą wtórną związaną z miarą początkową ρ.

Gdy ρ jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa , warunkiem wystarczającym, aby μ, dopuszczając momenty dowolnego rzędu, może być miarą wtórną związaną z ρ, jest to, że jego transformacja Stieltjesa jest dana równością typu:

${\ Displaystyle S _ {\ mu} (z) = a \ lewo (zc_ {1} - {\ Frac {1} {S_{\rho}(z)}}\right),}$

a jest dowolną stałą, a c ₁ wskazuje moment rzędu 1 ρ.

Dla a Pn ₌ 1 otrzymujemy miarę drugorzędną, o tyle godną uwagi, że dla Qn _n ≥ 1 norma wielomianu dla ρ pokrywa się dokładnie z normą wielomianu drugorzędnego związanego z przy użyciu miary μ.

W tym nadrzędnym przypadku i jeśli przestrzeń generowana przez wielomiany ortogonalne jest gęsta w L ² ( I , R , ρ), operator T _ρ zdefiniowany przez

${\ Displaystyle f (x) \ mapsto \ int _ {I} {\ Frac {f (t) -f (x)}{tx}}\rho (t)dt}$

₀ tworzenie wielomianów drugorzędowych można dalej przekształcić w mapę liniową łączącą przestrzeń L ² ( I , R , ρ) z L ² ( I , R , μ) i staje się ona izometryczna, jeśli jest ograniczona do hiperpłaszczyzny H ρ _funkcji ortogonalnych z P = 1 .

Dla nieokreślonych funkcji całkowalnych z kwadratem dla ρ otrzymujemy bardziej ogólny wzór na kowariancję :

${\ Displaystyle \ langle f/g \ rangle _ {\ rho} - \ langle f/1 \ rangle _ {\ rho} \ razy \ langle g/1 \ rangle _ {\ rho} = \ langle T_ {\ rho} (f)/T_{\rho}(g)\rangle _{\mu}.}$

Teoria kontynuuje wprowadzając pojęcie miary redukowalnej, co oznacza, że ​​iloraz ρ/μ jest elementem L ² ( I , R , μ). Następnie ustalane są następujące wyniki:

Reduktor φ z ρ jest poprzednikiem ρ/μ dla operatora T _ρ . (W rzeczywistości jedyny poprzednik, który należy do H _ρ ).

Dla dowolnej funkcji kwadratowej całkowalnej dla ρ istnieje równość znana jako wzór redukujący:

${\ Displaystyle \ langle f / \ varphi \ rangle _ {\ rho} = \ langle T_ {\ rho} (f) / 1 \ rangle _ { \rho }}$ .

Operator

${\ Displaystyle f \ mapsto \ varphi \ razy f-T _ {\ rho} (f)}$

określona na wielomianach jest przedłużona w izometrii S _ρ łączącej domknięcie przestrzeni tych wielomianów w L ² ( I , R , ρ ² μ ⁻¹ ) z hiperpłaszczyzną H _ρ zaopatrzoną w normę indukowaną przez ρ.

_W pewnych restrykcyjnych warunkach operator S _ρ działa jak sprzężenie T ρ dla iloczynu wewnętrznego indukowanego przez ρ.

Wreszcie obaj operatorzy są również połączeni, pod warunkiem, że obrazy, o których mowa, są określone przez podstawową formułę kompozycji:

${\ Displaystyle T _ {\ rho} \ circ S_ {\ rho} \ lewo (f \ prawej) = {\ Frac {\ rho} {\ mu}} \ razy (f).}$

Przypadek miary Lebesgue'a i kilka innych przykładów

Miarę Lebesgue'a w przedziale standardowym [0, 1] uzyskuje się przyjmując stałą gęstość ρ ( x ) = 1.

Powiązane wielomiany ortogonalne nazywane są wielomianami Legendre'a i można je wyjaśnić za pomocą

${\ Displaystyle P_ {n} (x) = {\ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewo (x ^ {n} (1-x) ^ {n} \ prawo). }$

Norma Pn jest _ _warta _

${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {\ sqrt {2n + 1}}}.}$

Relacja rekurencyjna w trzech terminach jest zapisana:

${\ Displaystyle 2 (2n + 1) XP_ {n} (X) = - P_ {n + 1} (X) + (2n + 1) P_ {n} (X) -n ^ {2} P_ {n- 1}(X).}$

Reduktor tej miary Lebesgue'a jest określony przez

${\ Displaystyle \ varphi (x) = 2 \ ln \ lewo ({\ Frac {x} {1-x}} \ prawo).}$

Powiązana miara drugorzędna jest następnie wyjaśniana jako

${\ Displaystyle \ mu (x) = {\ Frac {1} {\ ln ^ {2} \ lewo ({\ Frac {x} 1-x}}\right)+\pi ^{2}}}}$ .

Jeśli znormalizujemy wielomiany Legendre'a, współczynniki Fouriera reduktora φ związanego z tym układem ortonormalnym są zerowe dla parzystego indeksu i są podane przez

${\ Displaystyle C_ {n} (\ varphi) = - {\ Frac {4 {\ sqrt {2n + 1}}} {n (n +1)}}}$

dla nieparzystego indeksu n .

Wielomiany Laguerre'a są powiązane z gęstością ρ( x ) = e ^-x w przedziale I = [0, ∞). Są one wyjaśnione przez

${\ Displaystyle L_ {n} (x) = {\ Frac {e ^ {x}}} {n!}} {\ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} (x ^ {n} e^{-x})=\suma _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {x^{k}}{k !}}}$

i są znormalizowane.

Powiązany reduktor jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ varphi (x) = 2 \ lewo (\ ln (x) - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ ln | xt | dt \ prawo).}$

Współczynniki Fouriera reduktora φ związane z wielomianami Laguerre'a są podane przez

${\ Displaystyle C_ {n} (\ varphi) = - {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} {\ Frac {1} {\ binom {n-1 }{k}}}.}$

Współczynnik ten C _n (φ) jest niczym innym, jak przeciwieństwem sumy elementów linii o indeksie n w tablicy trójkątnych liczb harmonicznych Leibniza .

Hermite'a są powiązane z gęstością Gaussa

${\ Displaystyle \ rho (x) = {\ Frac {e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ sqrt {2 \Liczba Pi }}}}$

na ja = R .

Są one wyjaśnione przez

${\ Displaystyle H_ {n} (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {n!}}} e ^ {\ Frac {x ^ {2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right )}$

i są znormalizowane.

Powiązany reduktor jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ varphi (x) = - {\ Frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} te ^ {- {\ frac {t ^ { 2}}{2}}}\ln |xt|\,dt.}$

Współczynniki Fouriera reduktora φ związane z układem wielomianów Hermite'a są zerowe dla parzystego indeksu i są podane przez

${\ Displaystyle C_ {n} (\ varphi) = (-1) ^ {\ Frac {n + 1} {2}} {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {n-1} {2}} \ prawo )!}{\sqrt {n!}}}}$

dla nieparzystego indeksu n .

Miara Czebyszewa drugiej postaci. Jest to określone przez gęstość

${\ Displaystyle \ rho (x) = {\ Frac {8} {\ pi}} {\ sqrt {x (1-x)}}}$

na przedziale [0, 1].

Jest to jedyny, który pokrywa się z jego drugorzędną miarą znormalizowaną w tym standardowym przedziale. W pewnych warunkach występuje jako granica ciągu znormalizowanych miar wtórnych o danej gęstości.

Przykłady miar nieredukowalnych

Miara Jacobiego na (0, 1) gęstości

${\ Displaystyle \ rho (x) = {\ Frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {\ Frac {1-x} {x}}}.}$

Miara Czebyszewa na (−1, 1) pierwszej postaci gęstości

${\ Displaystyle \ rho (x) = {\ Frac {1} {\ pi {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}.}$

Kolejność działań drugorzędnych

Miara wtórna μ związana z funkcją gęstości prawdopodobieństwa ρ ma swój moment rzędu 0 określony wzorem

${\ Displaystyle d_ {0} = c_ {2} -c_ {1} ^ {2},}$

gdzie c1 i c2 oznaczają odpowiednie momenty rzędu 1 i 2 _{ρ .}

₀ Aby móc następnie iterować proces, „normalizuje się” μ, definiując ρ ₁ = μ/ d , co z kolei staje się gęstością prawdopodobieństwa zwaną naturalnie znormalizowaną miarą wtórną związaną z ρ.

₀ Możemy wtedy stworzyć z ρ ₁ drugorzędną znormalizowaną miarę ρ ₂ , następnie zdefiniować ρ ₃ z ρ ₂ i tak dalej. Widzimy zatem, że sekwencja kolejnych miar wtórnych, utworzonych z ρ = ρ, jest taka, że ​​ρ _{n +1} , czyli wtórna miara znormalizowana wydedukowana z ρ _n

Możliwe jest wyjaśnienie gęstości ρ _n za pomocą wielomianów ortogonalnych P _n dla ρ, wielomianów drugorzędnych Q _n i związanego z nimi reduktora φ. To daje formułę

${\ Displaystyle \ rho _ {n} (x) = {\ Frac {1} {1} {d_ {0} ^ {n-1}}} {\ Frac {\ rho (x)}} {\ lewo (P_ {n- 1}(x){\frac {\varphi (x)}{2}}-Q_{n-1}(x)\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}( x)P_{n-1}^{2}(x)}}.}$

Współczynnik $.$ uzyskać wychodząc n _z wiodących wielomianów P _{n -1} Możemy również wyjaśnić reduktor φ _n związany z ρ _n , jak również wielomiany ortogonalne odpowiadające ρ _n .

Bardzo piękny wynik dotyczy ewolucji tych gęstości, gdy wskaźnik dąży do nieskończoności, a wsparciem miary jest przedział standardowy [0, 1].

Pozwalać

${\ Displaystyle xP_ {n} (x) = t_ {n }P_{n+1}(x)+s_{n}P_{n}(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x)}$

będzie klasyczną relacją rekurencyjną w trzech terminach. Jeśli

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ mapsto \ infty} t_ {n} = {\ tfrac {1} {4}}, \ quad \lim _{n\mapsto \infty}s_{n}={\tfrac {1}{2}},}$

wtedy ciąg {ρ _n } zbiega się całkowicie w kierunku gęstości Czebyszewa drugiej postaci

${\ Displaystyle \ rho _ {tch} (x) = {\ Frac {8} {\ pi}} {\ sqrt {x (1-x) }}}$ .

Te warunki dotyczące granic są sprawdzane przez bardzo szeroką klasę tradycyjnych gęstości. Wyprowadzenie sekwencji miar wtórnych i zbieżności można znaleźć w

Miary równonormalne

Nazywa się dwie miary, co prowadzi do tej samej znormalizowanej gęstości wtórnej. Godne uwagi jest to, że elementy danej klasy i mające ten sam moment rzędu 1 są połączone homotopią. Dokładniej, jeśli funkcja gęstości ρ ma moment rzędu 1 równy c ₁ , to te gęstości równonormalne z ρ są dane wzorem typu:

${\ Displaystyle \ rho _ {t} (x) = {\ Frac {t \ rho (x)}} {\ lewo ({\ tfrac {1} {2}} (t-1) (xc_ { 1})\varphi (x)-t\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)(t-1)^{2}(x-c_{1}) ^{2}}},}$

t opisujący przedział zawierający ]0, 1].

Jeśli μ jest drugorzędną miarą ρ, miarą ρ _t będzie t μ.

Reduktorem ρ _t jest

${\ Displaystyle \ varphi _ {t} (x) = {\ Frac {2 (xc_ {1}) -tG (x)} {\ lewo ((xc_ {1}) -t {\ tfrac { 1}{2}}G(x)\right)^{2}+t^{2}\pi ^{2}\mu ^{2}(x)}}}$

odnotowując G ( x ) reduktor μ.

Wielomiany ortogonalne dla miary ρ _t są wyjaśnione z n = 1 wzorem

${\ Displaystyle P_ {n} ^ {t} (x) = {\ Frac { tP_{n}(x)+(1-t)(x-c_{1})Q_{n}(x)}{\sqrt {t}}}}$

z drugorzędnym wielomianem Q _{n związanym z} P _n .

Godne uwagi jest również to, że w rozumieniu rozkładów granicą, w której t dąży do 0 dla większej wartości ρt, _jest miara Diraca skoncentrowana w c ₁ .

Na przykład gęstości równonormalne z miarą Czebyszewa drugiej postaci są określone przez:

${\ Displaystyle \ rho _ {t} (x) = {\ Frac {2t {\ sqrt {1 -x^{2}}}}{\pi \left[t^{2}+4(1-t)x^{2}\right]}},}$

gdzie t opisuje ]0, 2]. Wartość t = 2 daje miarę Czebyszewa pierwszej postaci.

Kilka pięknych aplikacji

W poniższych wzorach G jest stałą katalońską , γ jest stałą Eulera , β _{2 n} jest liczbą Bernoulliego rzędu 2 n , H _{2 n +1} jest liczbą harmoniczną rzędu 2 n +1, a Ei jest funkcją całki wykładniczej .

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ ln ( p)}}={\frac {1}{p-1}}+\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{(x+p)(\ln ^{2}(x )+\pi ^{2})}}dx\qquad \qquad \forall p>1}$

${\ Displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ ln (1 + {\ Frac {1 }{x}})}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}dx}$

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {2}} + \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ overline {(x + 1) \ cos (\ pi x)}} x+1}}dx}$

Notacja ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ overline {(x + 1) \ cos (\ pi x)}}}$ wskazująca 2 okresowe funkcje zbiegające się z ${\ Displaystyle x \ mapsto (x + 1) \ cos (\ pi x)}$ na (-1, 1).

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {2}} + \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {\ beta _ {2k}} {2k}} - {\ Frac {\ beta _{2n}}{\zeta (2n)}}\int _{1}^{\infty }\lfloor t\rfloor \cos(2\pi t)t^{-2n-1}dt}$

${\ Displaystyle \ beta _ {k} = {\ Frac {(-1) ^ {k} k!} {\ pi}} {\ text {im}} \ lewo (\ int _ {- \ infty} ^ { \infty }{\frac {e^{x}}{(1+e^{x})(xi\pi )^{k}}}dx\right)}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ ln ^ {2n} \ lewo ({\ Frac {x} {1-x}} \ prawo) \, dx = (-1) ^ {n + 1 }(2^{2n}-2)\beta _{2n}\pi ^{2n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} \ lewo (\ suma _ {k = 1} ^ {2n}{\frac {\ln(t_{k})}{\prod _{i\neq k}(t_{k}-t_{i})}}\right)\,dt_{1}\cdots dt_{2n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n}\beta _{2n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {- \ alfa x }}{\Gamma (x+1)}}dx=e^{e^{-\alpha}}-1+\int _{0}^{\infty}}{\frac {1-e^{-x }}{(\ln(x)+\alpha )^{2}+\pi ^{2}}}{\frac {dx}{x}}\qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbf {R } }$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {1} {n}} \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} {\ Frac {1} \binom {n-1}{k}}}\right)^{2}={\tfrac {4}{9}}\pi ^{2}=\int _{0}^{\infty }4\ lewo(\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi \right)^{2}e^{-3x}\,dx.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {23} {15}} - \ ln (2) = \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+ 7)(4n+9)}}}$

${\ Displaystyle G = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k+1}}}\left({\frac {1}{(4k+3)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+2)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+1)^{2}}}\right)+{\frac {\pi }{8}}\ ln(2)}$

${\ Displaystyle G = {\ Frac {\ pi} {8}} \ ln (2) + \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Frac {H_ {2n +1}}{2n+1}}.}$

Jeśli miara ρ jest redukowalna i niech φ będzie powiązanym reduktorem, mamy równość

${\ Displaystyle \ int _ {I} \ varphi ^ {2} (x) \ rho (x) \, dx = {\ Frac {4 \ pi ^ {2}} {3}} \ int _ {I} \ rho ^{3}(x)\,dx.}$

₀ Jeśli miara ρ jest redukowalna z μ związanym z nią reduktorem, to jeśli f jest całkowalne do kwadratu dla μ, a jeśli g jest całkowalne do kwadratu dla ρ i jest ortogonalne z P = 1, to mamy równoważność:

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {I} {\ Frac {g (t)-g(x)}{tx}}\rho (t)dt\strzałka w lewo g(x)=(x-c_{1})f(x)-T_{\mu }(f(x)) ={\frac {\varphi (x)\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)-T_{\rho}\left({\frac {\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)\prawo)}$

c ₁ wskazuje moment rzędu 1 operatora ρ i T _ρ

${\ Displaystyle g (x) \ mapsto \ int _ {I} {\ Frac {g (t) -g (x)} {tx}} \ rho (t) \, dt.}$

Ponadto sekwencja miar drugorzędnych ma zastosowanie w mechanice kwantowej. Sekwencja daje początek tak zwanej sekwencji resztkowych gęstości widmowych dla wyspecjalizowanych hamiltonianów Pauliego-Fierza. Zapewnia to również fizyczną interpretację sekwencji działań drugorzędnych.

Zobacz też

• Wielomiany ortogonalne
• Prawdopodobieństwo

Linki zewnętrzne

• osobista strona Rolanda Groux o teorii miar wtórnych