Moc splotu

W matematyce potęga splotu to n -krotna iteracja splotu z samym sobą. Zatem jeśli jest funkcją w przestrzeni euklidesowej R ^re i jest liczbą naturalną , to potęga splotu jest zdefiniowana przez $}$ $\ displaystyle x$

{\ Displaystyle x ^ {* n} = \ underbrace {x * x * x * \ cdots * x * x} _ { n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}

₀ gdzie ∗ oznacza operację splotu funkcji na R ^d , a δ jest rozkładem delta Diraca . Ta definicja ma sens, jeśli x jest funkcją całkowalną (w L ¹ ), szybko malejącym rozkładem (w szczególności rozkładem zwartym) lub jest skończoną miarą borelowską .

Jeśli x jest dystrybuantą zmiennej losowej na linii rzeczywistej, to n ^-ta potęga splotu x daje dystrybuantę sumy n niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie x . Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że jeśli x jest w L ¹ i L ² ze średnią zerową i wariancją σ ² , to

{\ Displaystyle P \ lewo ({\ Frac {x ^ {* n}}} {\ sigma {\ sqrt {n}}}} <\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm {{as}\ n\to \infty }}}

gdzie Φ jest skumulowanym standardowym rozkładem normalnym na linii rzeczywistej. Równoważnie $słabo$ standardowego

W niektórych przypadkach możliwe jest zdefiniowanie potęg x ^{* t} dla dowolnej liczby rzeczywistej t > 0. Jeśli μ jest miarą prawdopodobieństwa , to μ jest podzielna w nieskończoność pod warunkiem, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieje miara prawdopodobieństwa μ _{1/ n} taka To

{\ Displaystyle \ mu _ {1/n} ^ {* n} = \ mu.}

Oznacza to, że miara jest podzielna w nieskończoność, jeśli można zdefiniować wszystkie n- te pierwiastki. Nie każda miara prawdopodobieństwa jest podzielna w nieskończoność, a charakterystyka miar nieskończenie podzielnych ma kluczowe znaczenie w abstrakcyjnej teorii procesów stochastycznych . Intuicyjnie miara powinna być podzielna w nieskończoność, pod warunkiem, że ma dobrze zdefiniowany „logarytm splotu”. Naturalnym kandydatem na miary posiadające taki logarytm są miary (uogólnionego) Poissona , podane w postaci

{\ Displaystyle \ pi _ {\ alfa, \ mu} = e ^ {- \ alfa} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ alfa ^ {n}} {n!}} \mu ^{*n}.}

W rzeczywistości twierdzenie Lévy'ego-Khinchina stwierdza, że warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby miara była podzielna w nieskończoność, jest to, że musi ona leżeć w domknięciu, w odniesieniu do niejasnej topologii, klasy miar Poissona ( Stroock 1993 , §3.2 ).

Wiele zastosowań mocy splotu polega na możliwości zdefiniowania analogu funkcji analitycznych jako formalnego szeregu potęgowego, w którym potęgi są zastępowane mocą splotu. Tak więc, jeśli ${\ Displaystyle \ textstyle {F (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}}$ jest funkcją analityczną, to chciałoby się móc zdefiniować

{\ Displaystyle F ^ {*} (x) = a_ {0} \ delta _ {0} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {* n}.}

Jeśli x ∈ L ¹ ( R ^d ) lub bardziej ogólnie jest skończoną miarą borelowską na R ^d , to ten ostatni szereg jest zbieżny absolutnie w normie pod warunkiem, że norma x jest mniejsza niż promień zbieżności pierwotnego szeregu definiującego F ( z ). W szczególności możliwe jest, aby takie miary definiowały splot wykładniczy

{\ Displaystyle \ exp ^ {*} (x) = \ delta _ {0} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {* n}} {n!}}. }

Ben Chrouda, El Oued i Ouerdiane (2002) zidentyfikowali klasę rozkładów, z którymi ten szereg nadal jest zbieżny w odpowiednim słabym sensie .

Nieruchomości

Jeśli x samo jest odpowiednio różniczkowalne, to z właściwości splotu wynika

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} {\ duży \ {} x ^ {*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)}=x*{\mathcal {D}}{\big \{}x^ {*(n-1)}{\duży\}}}

gdzie oznacza operator pochodnej. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ W szczególności obowiązuje to, jeśli x jest zwartym rozkładem lub leży w przestrzeni Sobolewa W ^1,1 , aby zapewnić, że pochodna jest wystarczająco regularna, aby splot był dobrze zdefiniowany.

Aplikacje

Na losowym wykresie konfiguracji rozkład wielkości połączonych komponentów można wyrazić za pomocą mocy splotu rozkładu nadmiaru stopni ( Kryven (2017) ):

{\ Displaystyle w (n) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac { \mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1.\end{przypadki}}}

Tutaj ${\ Displaystyle w (n)}$ jest rozkładem wielkości połączonych komponentów, ${\ Displaystyle u_ {1} (k) = {\ Frac {k + 1} {\ mu _ {1}}} u (k + 1)}$ jest nadmiarowym rozkładem stopni, a ${\ Displaystyle u (k)}$ oznacza rozkład stopni .

Ponieważ algebry splotu są szczególnymi przypadkami algebr Hopfa , potęga splotu jest szczególnym przypadkiem potęgi (zwykłej) w algebrze Hopfa. W zastosowaniach kwantowej teorii pola splot wykładniczy, logarytm splotu i inne funkcje analityczne oparte na splocie są konstruowane jako formalne szeregi potęgowe w elementach algebry ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Jeżeli dodatkowo algebra jest algebrą Banacha , to zbieżność szeregu można wyznaczyć jak wyżej. W formalnym otoczeniu znajome tożsamości, takie jak

{\ Displaystyle x = \ log ^ {*} (\ exp ^ {*} x) = \ exp ^ {*} (\ dziennik ^{*}x)}

dalej trzymać. Co więcej, dzięki trwałości relacji funkcyjnych utrzymują się one na poziomie funkcji, pod warunkiem, że wszystkie wyrażenia są dobrze zdefiniowane w zbiorze otwartym przez szeregi zbieżne.

Zobacz też

Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tom II , Herman, Paryż .
Horváth, John (1966), Topologiczne przestrzenie wektorowe i dystrybucje , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, USA .
Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), „Rachunek splotów i zastosowania stochastycznych równań różniczkowych”, Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN 0250-3255 , MR 1953702 .
Brouder, chrześcijanin; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). „Rozkład na jednocząsteczkowe nieredukowalne funkcje zielone w fizyce wielu ciał”. arXiv : 0803.3747 [ cond-mat.str-el ]. .
Feller, William (1971), Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań. Tom. II. , Wydanie drugie, Nowy Jork: John Wiley & Sons , MR 0270403 .
Stroock, Daniel W. (1993), Teoria prawdopodobieństwa, pogląd analityczny , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1 , MR 1267569 .
Kryven, I (2017), „Ogólne wyrażenie rozkładu wielkości komponentów w sieciach o nieskończonej konfiguracji”, Physical Review E , 95 (5): 052303, arXiv : 1703,05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID 28618550 , S2CID 8421307 .