Model Gippsa

Model Gippsa to matematyczny model opisujący zachowanie kierowców w Wielkiej Brytanii podczas jazdy za samochodem .

Model nosi imię Petera G. Gippsa, który opracował go pod koniec lat 70. w ramach grantów SRC w Transport Operations Research Group na University of Newcastle-Upon-Tyne oraz w Transport Studies Group na University College London .

Model Gippsa opiera się bezpośrednio na zachowaniu kierowcy i oczekiwaniu na pojazdy w strumieniu ruchu. Ograniczenia dotyczące parametrów kierowcy i pojazdu dla celów bezpieczeństwa naśladują cechy pojazdów podążających za pojazdami znajdującymi się na czele strumienia ruchu . Model Gippsa różni się od innych modeli tym $,$ że Gipps używa kroku czasowego w funkcji równej, zmniejszyć obliczenia wymagane do analizy numerycznej .

Wstęp

Metoda modelowania poszczególnych samochodów wzdłuż ciągłej przestrzeni pochodzi od Chandlera i in. (1958), Gazis i in. (1961), Lee (1966) oraz Bender i Fenton (1972), chociaż wiele innych artykułów było kontynuowanych i od tego czasu nastąpiło. Z kolei te dokumenty mają podstawy w kilku pracach z połowy lat pięćdziesiątych. Szczególnie ważne jest kilka, które mają analogie do dynamiki płynów i ruchu gazów (Lighthill i Whitman (1955) oraz Richards (1956) postulowali, że gęstość ruchu jest funkcją położenia; Newell (1955) dokonuje analogii między ruchem pojazdu wzdłuż słabo zaludnionej jezdni i ruchu gazów). Pierwsze wzmianki o symulowaniu ruchu za pomocą „szybkich komputerów” podają Gerlough i Mathewson (1956) oraz Goode (1956).

Definicja

Impulsem do modelowania pojazdów w strumieniu ruchu oraz ich późniejszych działań i reakcji jest potrzeba analizy zmian parametrów jezdni. Rzeczywiście, wiele czynników (między innymi kierowca, natężenie ruchu i warunki na jezdni) wpływa na zachowanie ruchu. Gipps (1981) opisuje aktualne do tego czasu modele w ogólnej postaci:

{\ Displaystyle a_ {n} ( t+\tau )=l_{n}{\frac {\left[v_{n-1}(t)-v_{n}(t)\right]^{k}}{\left[x_{n-1 }(t)-x_{n}(t)\right]^{m}}}}

który jest zdefiniowany głównie przez jeden pojazd (oznaczony indeksem dolnym n) następujący po innym (oznaczony indeksem dolnym n-1); czas reakcji następnego pojazdu ${\ displaystyle \ tau}$ ; lokalizacje $_$ $($ t _ $_ {n}(t)}$ , ${\ Displaystyle v_ {n-1} (t)}$ następującego i poprzedniego pojazdu; przyspieszenie ${\ Displaystyle a_ {n} (t + \ tau)}$ pojazdu w czasie za $\ Displaystyle (t + \ tau)}$ ; i wreszcie stałe modelu ${\ displaystyle l_ {n}}$ , ${\ displaystyle k}$ , ${\ displaystyle m}$ dostosować model do rzeczywistych warunków. Gipps stwierdza, że pożądane jest, aby odstęp między kolejnymi przeliczeniami przyspieszenia, prędkości i położenia był ułamkiem czasu reakcji, który wymaga przechowywania znacznej ilości danych historycznych, jeśli model ma być wykorzystany w programie symulacyjnym . Zwraca również uwagę, że parametry $}}$ , ${\ displaystyle k}$ i ${\ displaystyle m}$ nie ma oczywistego związku z możliwymi do zidentyfikowania cechami kierowcy lub pojazdu. Wprowadza więc nowy, ulepszony model.

Model Gippsa powinien odzwierciedlać następujące właściwości:

Model powinien odzwierciedlać rzeczywiste warunki,
Parametry modelu powinny odpowiadać obserwowalnej charakterystyce kierowcy bez zbędnych obliczeń oraz,
Model powinien zachowywać się zgodnie z oczekiwaniami, gdy odstęp między kolejnymi przeliczeniami prędkości i położenia jest taki sam jak czas reakcji kierowcy.

Gipps wyznacza ograniczenia modelu ze względów bezpieczeństwa i zakładając, że kierowca oszacuje swoją prędkość na podstawie pojazdu z przodu, aby w razie potrzeby móc całkowicie i bezpiecznie się zatrzymać (1981). Pipes (1953) i wielu innych zdefiniowało następujące cechy umieszczone w modelach w oparciu o różne kody działu kierowców określające bezpieczne następujące prędkości, znane nieformalnie jako „reguła 2 sekund”, chociaż formalnie jest zdefiniowane przez kod.

Notacja modelu

${\ displaystyle a_ {n}} to maksymalne przyspieszenie, jakie$ chce osiągnąć kierowca pojazdu, ${\ displaystyle n}$
${\ Displaystyle b_ {n}}$ to najostrzejsze hamowanie, jakie kierowca pojazdu chce podjąć $(b_ {n}<0)$ $Displaystyle$ ,
$}$ $}$ to efektywny rozmiar pojazdu , to znaczy fizyczna długość plus margines, w który następny pojazd nie chce się wtrącać, nawet w stanie spoczynku,
${\ displaystyle V_ {n}}$ to prędkość, z jaką kierowca pojazdu chce jechać, ${\ displaystyle n}$
${\ Displaystyle x_ {n} (t)}$ to położenie przodu pojazdu w czasie ${\ displaystyle n} *$ ${\ displaystyle t}$ ,
${\ Displaystyle v_ {n} (t)}$ to prędkość pojazdu $displaystyle$ czasie $t$ }
${\ displaystyle \ tau}$ to pozorny czas reakcji, stała dla wszystkich pojazdów.

Ograniczenia prowadzące do rozwoju

Gipps definiuje model za pomocą zestawu ograniczeń. Następujący pojazd jest ograniczony dwoma ograniczeniami: nie przekroczy prędkości pożądanej przez kierowcę, a jego swobodne przyspieszenie powinno najpierw rosnąć wraz ze wzrostem momentu obrotowego silnika, a następnie zmniejszać się do zera po osiągnięciu żądanej prędkości.

{\ Displaystyle v_ {n} ( t+\tau )\leq v_{n}(t)+2,5a_{n}\tau (1-v_{n}/V_{n})(0,025+v_{n}(t)/V_{n}) ^{1/2}}

Trzecie ograniczenie, hamowanie, jest określone przez

{\ Displaystyle x_ {n-1} ^ {\ ast} = x_ {n-1} ( t)-v_{n-1}(t)^{2}/2b_{n-1}}

dla pojazdu ${\ Displaystyle n-1}$ w punkcie ${\ Displaystyle x_ {n-1} ^ {\ ast}}$ , gdzie ${\ Displaystyle x_ {n} ^ {\ ast }}$ (dla pojazdu n jest podane przez

{\ Displaystyle x_ {n} ^ { \ast }=x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2-v_{n}(t+\tau )^ {2}/2b_{n}}

w czasie

{\ displaystyle t + \ tau}

Ze względów bezpieczeństwa kierowca pojazdu n (kolejnego pojazdu) musi upewnić się, że różnica między punktem, w którym zatrzymuje się $)$ i efektywny rozmiar pojazdu n-1 ( ${\ Displaystyle s_ {n-1}}$ ) jest większy niż punkt, w którym pojazd n zatrzymuje się ( ${\ Displaystyle x_ {n} ^ {\ ast}}$ ) . Jednak Gipps stwierdza, że kierowca pojazdu n dopuszcza dodatkowy bufor i wprowadza margines bezpieczeństwa opóźnienia ${\ Displaystyle \ theta}$ , gdy kierowca n jedzie z prędkością ${\ Displaystyle v_ {n} (t + \ tau)}$ . Zatem ograniczenie hamowania jest określone przez

{\ Displaystyle x_ {n-1} (t) -v_ {n-1} (t) ^ {2} / 2b_ { n-1}-s_{n-1}\geq x_{n}(t)+\left[v_{n}(t)+v_{n}(t+\tau )\right]\tau /2+v_ {n}(t+\tau )\theta -v_{n}(t+\tau )^{2}/2b_{n}}

Ponieważ kierowca w ruchu drogowym nie może oszacować , zastępuje się go wartością szacunkową $.$ $}$ \ displaystyle { Dlatego powyższe po wymianie daje,

{\ Displaystyle -v_ {n} (t + \ tau) ^ {2}/2b_ {n} + v_ {n} (t + \ tau )(\tau /2+\theta )-\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]+v_{n}(t)\ tau /2+v_{n-1}(t)^{2}/2{\kapelusz {b}}\równoważnik 0}

Jeśli wprowadzone opóźnienie $jest$ $theta}$ czasu reakcji, a kierowca jest skłonny do gwałtownego hamowania, modelowy system może działać bez zakłóceń θ { płynąć. Zatem poprzednie równanie można przepisać, mając to na uwadze, aby uzyskać

{\ Displaystyle v_ {n} (t + \ tau) \ równoważnik b_ {n} \ tau + {\ sqrt {b_ {n} ^ {2} \ tau ^ {2} -b_ {n}\lewo(2\lewo[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\prawo]-v_{n}(t)\tau -v_{ n-1}(t)^{2}/{\kapelusz {b}}\prawo)}}}

Jeśli ostatnie założenie jest prawdziwe, to znaczy kierowca jedzie tak szybko i bezpiecznie, jak to możliwe, nowa prędkość pojazdu kierowcy jest dana ostatecznym równaniem będącym modelem Gippsa:

{\ Displaystyle v_ {n} (t + \ tau) = {\ mbox {min}} \ lewo \ {v_ {n} (t) + 2,5a_ {n} \ tau (1-v_ {n} (t) / V_{n})\lewo(0,025+v_{n}\lewo(t\prawo)/V_{n}\prawo)^{1/2}\prawo.,}

{\ Displaystyle \ lewo.b_ {n} \ tau + {\ sqrt {b_ {n} ^ {2} \ tau ^ {2} -b_ {n} \left[2\left[x_{n-1}(t)-s_{n-1}-x_{n}(t)\right]-v_{n}(t)\tau -v_{n-1 }(t)^{2}/{\kapelusz {b}}\prawo]}}\prawo\}}

gdzie pierwszy argument reżimów minimalizacji opisuje niezatłoczoną jezdnię, a odstępy są duże, a drugi argument opisuje zatłoczone warunki, w których odstępy są małe, a prędkości są ograniczone przez podążające za nimi pojazdy.

Te dwa równania użyte do określenia prędkości pojazdu w następnym kroku czasowym reprezentują odpowiednio warunki swobodnego przepływu i zatłoczenia. Jeżeli pojazd znajduje się w stanie swobodnego przepływu, gałąź równania swobodnego przepływu wskazuje, że prędkość pojazdu wzrośnie w funkcji jego aktualnej prędkości, prędkości, z jaką kierowca zamierza jechać, oraz przyspieszenia pojazdu . Analizując zmienne w tych dwóch równaniach, staje się oczywiste, że w miarę zmniejszania się odstępu między dwoma pojazdami (tj. gdy pojazd jadący z tyłu zbliża się do pojazdu prowadzącego), prędkość określona przez zatłoczoną gałąź równania będzie się zmniejszać i jest bardziej prawdopodobne, że przeważy.

Wykorzystanie metod numerycznych do generowania diagramów czasoprzestrzennych

Po określeniu prędkości pojazdu w kolejnym przedziale czasowym należy obliczyć jego położenie w kolejnym przedziale czasowym. Istnieje kilka metod numerycznych ( Runge-Kutta ), których można użyć w tym celu, w zależności od dokładności preferowanej przez użytkownika. Użycie metod wyższego rzędu do obliczenia pozycji pojazdu w następnym kroku czasowym da wynik z większą dokładnością (jeśli każda metoda wykorzystuje ten sam przedział czasowy). Metody numeryczne mogą być również wykorzystywane do wyszukiwania pozycji pojazdów w innych modelach samochodów, np. w modelu inteligentnego kierowcy .

Metodę Eulersa (pierwszego rzędu i być może najprostszą z metod numerycznych) można wykorzystać do uzyskania dokładnych wyników, ale krok czasowy musiałby być bardzo mały, co skutkowałoby większą ilością obliczeń. Ponadto, gdy pojazd zatrzymuje się i zbliża się do niego następny pojazd, składnik pod pierwiastkiem kwadratowym w zatłoczonej części równania prędkości może potencjalnie spaść poniżej zera, jeśli używana jest metoda Eulera, a przedział czasowy jest zbyt duży. Położenie pojazdu w następnym kroku czasowym określa równanie:

x(t+τ)= x(t) +v(t)τ

Metody wyższego rzędu wykorzystują nie tylko prędkość w bieżącym kroku czasowym, ale także prędkości z poprzedniego kroku czasowego w celu uzyskania dokładniejszych wyników. Na przykład metoda Heuna (drugiego rzędu) uśrednia prędkość z bieżącego i poprzedniego kroku czasowego w celu określenia następnej pozycji pojazdu:

Metoda Rzeźnika (piątego rzędu) wykorzystuje jeszcze bardziej eleganckie rozwiązanie tego samego problemu:

x(t+τ) = x(t) + (1/90)(7k ₁ + 32k ₃ + 12k ₄ + 32k ₅ + 7k ₆ )τ

k ₁ = v(t-τ)

k ₃ = v(t-τ) + (1/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₄ = v(t-τ) + (1/2)(v(t) - v(t-τ))

k ₅ = v(t-τ) + (3/4)(v(t) - v(t-τ))

k ₆ = v(t)

Stosowanie metod wyższego rzędu zmniejsza prawdopodobieństwo, że składnik pod pierwiastkiem kwadratowym w przeciążonej gałęzi równania prędkości spadnie poniżej zera.

Do celów symulacji ważne jest, aby upewnić się, że prędkość i położenie każdego pojazdu zostały obliczone dla kroku czasowego przed określeniem przejścia do następnego kroku czasowego.

W 2000 roku Wilson użył modelu Gippa do symulacji zachowania kierowcy na obwodnicy. W tym przypadku każdy pojazd w systemie podąża za innym pojazdem – lider podąża za ostatnim pojazdem. Wyniki eksperymentu pokazały, że samochody poruszały się po trajektorii czasoprzestrzennej swobodnego przepływu, gdy gęstość na obwodnicy była niska. Jednak wraz ze wzrostem liczby pojazdów na drodze (wzrost gęstości), kinematyczne zaczynają się tworzyć, gdy przeważa zatłoczona część równania prędkości Modelu Gippsa.

Zobacz też

Dalsza lektura

Bender, JC i Fendon RE (1972) O dynamice podłużnej pojazdów. W przepływie ruchu i transporcie , 19–32. Elsevier, Nowy Jork.
Gazis, DC, Herman R. i Rothery RW (1961) Nieliniowe podążają za wiodącymi modelami przepływu ruchu. Operacje Rez. Tom. 9, 545–567.
Gipps, PG (1976) Program komputerowy MULTSIM do symulacji danych wyjściowych z detektorów pojazdów na wielopasmowej drodze z kontrolowanym sygnałem . Dokument roboczy grupy badawczej ds. operacji transportowych nr 20, Uniwersytet Newcastle-Upon-Tyne.
Lee, G. (1966) Uogólnienie liniowej teorii podążania za samochodem. Operacje Rez. Tom. 9, 209–229.
Seddon, PA (1972) Program do symulacji rozproszenia plutonów w ruchu drogowym. symulacja tom. 18, 81–90.