Model dwudomeny

Model dwudomenowy jest modelem matematycznym służącym do określania aktywności elektrycznej serca . Polega na podejściu kontinuum (objętościowym), w którym mikrostruktura serca jest definiowana pod względem włókien mięśniowych zgrupowanych w arkusze, tworząc złożoną trójwymiarową strukturę o właściwościach anizotropowych. Następnie, aby zdefiniować aktywność elektryczną, rozważa się dwie wzajemnie przenikające się domeny, którymi są wewnątrzkomórkowe i zewnątrzkomórkowe , reprezentujące odpowiednio przestrzeń wewnątrz komórek i obszar między nimi.

Model dwudomenowy został po raz pierwszy zaproponowany przez Schmitta w 1969 roku, zanim został sformułowany matematycznie pod koniec lat siedemdziesiątych.

Ponieważ jest to model kontinuum, zamiast opisywać każdą komórkę z osobna, przedstawia średnie właściwości i zachowanie grupy komórek zorganizowanych w złożoną strukturę. Tak więc model jest złożony i może być postrzegany jako uogólnienie teorii kabli na wyższe wymiary i definiowanie tak zwanych równań dwudomeny .

Wiele interesujących właściwości modelu dwudomeny wynika z warunku nierównych stosunków anizotropii. Przewodność elektryczna w tkankach anizotropowych nie jest jednolita we wszystkich kierunkach, ale jest różna w kierunku równoległym i prostopadłym do kierunku włókien. Ponadto w tkankach o nierównych stosunkach anizotropii stosunek przewodnictwa równoległego i prostopadłego do włókien jest różny w przestrzeniach wewnątrzkomórkowych i zewnątrzkomórkowych. Na przykład w tkance serca stosunek anizotropii w przestrzeni wewnątrzkomórkowej wynosi około 10:1, podczas gdy w przestrzeni pozakomórkowej około 5:2. Matematycznie nierówne stosunki anizotropii oznaczają, że efektu anizotropii nie można usunąć poprzez zmianę skali odległości w jednym kierunku. Zamiast tego anizotropia ma głębszy wpływ na zachowanie elektryczne.

Oto trzy przykłady wpływu nierównych stosunków anizotropii

• rozkład potencjału transbłonowego podczas jednobiegunowej stymulacji arkusza tkanki serca,
• pole magnetyczne wytwarzane przez czoło fali potencjału czynnościowego rozchodzące się przez tkankę serca,
• wpływ krzywizny włókna na transbłonowy rozkład potencjału podczas porażenia prądem.

Sformułowanie

Domena dwudomeny

Domena modelu dwudomeny, biorąc pod uwagę region wewnątrzkomórkowy i zewnątrzkomórkowy jako unikalny region fizyczny reprezentujący serce i region poza mięśniem sercowym reprezentujący tułów lub kąpiel płynową.

Domena dwudomeny jest zasadniczo reprezentowana przez dwa główne regiony: komórki serca, zwane domeną wewnątrzkomórkową, oraz otaczającą je przestrzeń, zwaną domeną zewnątrzkomórkową. Ponadto zwykle bierze się pod uwagę inny region, zwany regionem pozamięśniowym. Domeny wewnątrzkomórkowe i zewnątrzkomórkowe, które są oddzielone błoną komórkową , są uważane za unikalną przestrzeń fizyczną reprezentującą serce ( $)$ , podczas gdy domena pozamięśniowa jest unikalną przestrzenią fizyczną sąsiadującą z nimi ( ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ). Obszar poza mięśniem sercowym można uznać za płynną kąpiel, zwłaszcza gdy chce się symulować warunki eksperymentalne, lub za ludzki tułów do symulacji warunków fizjologicznych. Granice dwóch zdefiniowanych głównych domen fizycznych są ważne dla rozwiązania modelu dwudomeny. Tutaj granica serca jest oznaczona jako ${\ Displaystyle \ częściowe \ mathbb {H}},$ podczas gdy granica domeny tułowia to ${\ Displaystyle \ częściowe \ mathbb {T}.}$

Niewiadome i parametry

Niewiadome w modelu dwudomeny to trzy, potencjał wewnątrzkomórkowy, $ja$ zewnątrzkomórkowy i potencjał transbłonowy , który jest zdefiniowany $displaystyle v_ {i$$}$ jako różnica potencjału w poprzek błony komórkowej ${\ Displaystyle v = v_ {i} -v_ {e}}$ .

Ponadto należy wziąć pod uwagę kilka ważnych parametrów, zwłaszcza macierz tensora przewodnictwa wewnątrzkomórkowego, ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$ macierz $mi {\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} } _{e}}$ . Prąd przezbłonowy przewodnictwa zewnątrzkomórkowego $przepływa$ między regionami wewnątrzkomórkowymi i zewnątrzkomórkowymi i jest częściowo opisywany przez odpowiedni prąd jonowy przez błonę na . Co więcej, pojemność błony na jednostkę powierzchni $χ$ powierzchni do objętości błony komórkowej należy wziąć pod uwagę, aby wyprowadzić sformułowanie modelu dwudomeny, co odbywa się w $\ displaystyle \ chi}$ następna sekcja .

Formuła standardowa

Model dwudomeny jest zdefiniowany za pomocą dwóch równań różniczkowych cząstkowych (PDE), z których pierwsze jest równaniem dyfuzji reakcji pod względem potencjału transbłonowego , podczas gdy drugie oblicza potencjał zewnątrzkomórkowy, zaczynając od danego rozkładu potencjału transbłonowego.

Zatem model dwudomeny można sformułować w następujący sposób:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane {2} i \ nabla \ cdot \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ prawo )+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\częściowe v}{\częściowe t }}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}\\[1ex]&\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\ mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v\right)+I_{s_ {2}}\end{wyrównanydat}}}$$

gdzie ${\ displaystyle I_ {s_ {1}}}$ i ${\ displaystyle I_ {s_ {2}}}$ można zdefiniować jako zastosowane zewnętrzne prądy stymulujące.

Równanie prądu jonowego

Prąd jonowy jest zwykle reprezentowany przez model jonowy za pomocą układu równań różniczkowych zwyczajnych (ODE). Matematycznie można napisać ${\ Displaystyle I _ {\ text {ion}} = I _ {\ text {ion}} (v, \ mathbf {w})}$ gdzie ${\ displaystyle \mathbf {w} }$ nazywamy zmienną jonową. Wtedy, $odczytuje$ rzecz biorąc, dla system

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ dfrac {\ częściowe \ mathbf {w}} {\ częściowe t}} =\mathbf {F} (v,\mathbf {w} )&{\text{in}}\mathbb {H} \\\mathbf {w} (t=0)=\mathbf {w} _{0} &{\text{w }}\mathbb {H} \end{przypadki}}}$$

Zaproponowano różne modele jonowe:

• modele fenomenologiczne, które są najprostsze i służą do odtwarzania makroskopowego zachowania się komórki.
• modele fizjologiczne, które uwzględniają zarówno zachowanie makroskopowe, jak i fizjologię komórki z dość szczegółowym opisem najważniejszego prądu jonowego.

Model regionu pozamięśniowego

W niektórych przypadkach bierze się pod uwagę region pozamięśniowy. Oznacza to dodanie do modelu dwudomeny równania opisującego potencjalną propagację wewnątrz domeny pozamięśniowej.

Zwykle to równanie jest prostym uogólnionym równaniem Laplace'a typu

$${\ Displaystyle - \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _ {0} \ nabla v_ {0}) = 0 \ quad \ mathbf {x} \ w \ matematyka {T} }$$

gdzie $jest$ potencjałem w obszarze pozamięśniowym i $.$ tensorem przewodnictwa

Ponadto rozważane jest założenie dziedziny izolowanej, co oznacza dodanie następujących warunków brzegowych

$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ Sigma} _ {0} \ nabla v_ {0}) \ cdot \ mathbf {n} _ {0} = 0 \ quad \ mathbf {x} \in \częściowe \mathbb {T} ,}$$

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {0}}$ jest jednostką normalną skierowaną poza domenę pozamięśniową.

Jeśli regionem pozamięśniowym jest ludzki tułów, model ten prowadzi do przodującego problemu elektrokardiologii .

Pochodzenie

Równania dwudomeny wyprowadzono z równań elektromagnetyzmu Maxwella , uwzględniając pewne uproszczenia.

Pierwszym założeniem jest to, że prąd wewnątrzkomórkowy może przepływać tylko między regionami wewnątrzkomórkowymi i zewnątrzkomórkowymi, podczas gdy regiony wewnątrzkomórkowe i zewnątrzmięśniowe mogą się między sobą komunikować, tak że prąd może przepływać do i z obszarów pozamięśniowych, ale tylko w przestrzeni zewnątrzkomórkowej.

Korzystając z prawa Ohma i quasi-statycznego założenia, gradient skalarnego pola potencjału ${$ opisać pole elektryczne $\ displaystyle \ mathbf {E}}$ co oznacza, że ​​mi

$${\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi.}$$

Następnie, jeśli $reprezentują$$E}}$ prądu pola elektrycznego , można uzyskać dwa równania mi {\ displaystyle \ mathbf

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {2} J_ {i} & = - \ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {i} \\ J_ {e} i = - \ mathbf {\ Sigma} _{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}}$$

gdzie indeks $.$ i $reprezentują$ ilości wewnątrzkomórkowe i zewnątrzkomórkowe

Drugim założeniem jest to, że serce jest izolowane, więc prąd, który opuszcza jeden obszar, musi płynąć do drugiego. Następnie gęstość prądu w każdej domenie wewnątrzkomórkowej i zewnątrzkomórkowej musi być równa wielkości, ale przeciwny znak, i może być zdefiniowana jako iloczyn stosunku powierzchni do objętości błony komórkowej i przezbłonowej gęstości prądu jonowego I $\ displaystyle I_{m}}$ na jednostkę powierzchni, co oznacza, że

$${\ Displaystyle - \ nabla \ cdot J_ {i} = \ nabla \ cdot J_ {e} = \ chi I_ {m}.}$$

Łącząc poprzednie założenia, uzyskuje się zachowanie gęstości prądu, a mianowicie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane od} {2} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _{i}\nabla v_{i})&=\chi I_{m}\\\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})&=-\chi I_{ m}\end{wyrównanydat}}}$

 

 

 

 

()

z czego, sumując dwa równania

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {i}) = - \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _ {e} \ nabla v_ {e}). }$$

To równanie dokładnie stwierdza, że ​​wszystkie prądy wychodzące z jednej dziedziny muszą wchodzić do drugiej.

Stąd łatwo jest znaleźć drugie równanie modelu dwudomenowego, odejmując ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e}) }$ z obu stron. W rzeczywistości,

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v_{e})}$$

i wiedząc, że potencjał transbłonowy jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle v = v_ {i} -v_ {e}}$

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v) = - \ nabla \ cdot ((\ mathbf {\ Sigma} _ {i} + \ mathbf {\ Sigma} _ {e })\nabla v_{e}).}$$

Następnie, znając potencjał transbłonowy, można odzyskać potencjał zewnątrzkomórkowy.

Następnie prąd przepływający przez błonę komórkową można modelować za pomocą równania kabla ,

${\ Displaystyle I_ {m} = \ chi \ lewo (C_ {m} {\ Frac {\ częściowe v} {\ częściowe t}} + I_ { \text{ion}}\right),}$

 

 

 

 

()

Połączenie równań ( 1 ) i ( 2 ) daje

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {i} \ prawej) = \ chi \ lewo (C_ {m}} {\ frac {\ częściowe v} {\ częściowe t}}+I_{jon}\prawo).}$$

$odejmowanie$${\ Displaystyle v = v_ {i} -v_ {e}}$ i lewej , można uzyskać pierwsze równanie modelu dwudomenowego

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\częściowy v}{\częściowy t}}+I_{\mathrm {ion}}\right),}$$

który opisuje ewolucję potencjału transbłonowego w czasie.

Ostateczne sformułowanie opisane w sekcji dotyczącej formułowania standardowego uzyskuje się $i$ uogólnienie, biorąc pod uwagę możliwy bodziec zewnętrzny, który można podać za pomocą zewnętrznych przyłożonych prądów ja $I_ {s_{2}}}$ .

Warunki brzegowe

Do rozwiązania modelu potrzebne są warunki brzegowe. Bardziej klasyczne warunki brzegowe są następujące, sformułowane przez Tunga.

Przede wszystkim, jak stwierdzono wcześniej w części dotyczącej wyprowadzeń , nie mogło dojść do żadnego przepływu prądu między domenami wewnątrzkomórkowymi i pozamiokardialnymi. Można to matematycznie opisać jako

$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {i}) \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ mathbf {x } \in \partial \mathbb {H} }$$

gdzie $jest wektorem reprezentującym zewnętrzną jednostkę normalną do powierzchni$ sercowego. Ponieważ potencjał wewnątrzkomórkowy nie jest wyraźnie przedstawiony w sformułowaniu dwudomeny, warunek ten jest zwykle opisywany w kategoriach potencjału transbłonowego i zewnątrzkomórkowego, wiedząc, że ${\ displaystyle v = v_ {i} -v_ {e} }$ , a mianowicie

$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v) \ cdot \ mathbf {n} = - (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e}) \ cdot \ mathbf { n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

W przypadku potencjału pozakomórkowego, jeśli przedstawiono obszar mięśnia sercowego, uwzględnia się równowagę w przepływie między obszarami zewnątrzkomórkowymi i pozamięśniowymi

$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {e} \ nabla v_ {e} \ prawej) \ cdot \ mathbf {n} _ {e} = - \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {0 }\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

Tutaj rozpatrywane są wektory normalne z perspektywy obu dziedzin, stąd znak ujemny jest konieczny. Ponadto konieczna jest doskonała transmisja potencjału na granicy sercowej, co daje

$${\ Displaystyle v_ {e} = v_ {0} \ quad \ mathbf {x} \ w \ częściowe \ mathbb {H}.}$$

Zamiast tego, jeśli uważa się, że serce jest izolowane, co oznacza, że ​​nie ma żadnego obszaru mięśnia sercowego, możliwym warunkiem granicznym dla problemu pozakomórkowego jest

$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ prawej) \ cdot \ mathbf {n} = - \ lewo ((\ mathbf {\ Sigma} _ {i} + \ mathbf {\ Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

Redukcja do modelu monodomenowego

Zakładając równe stosunki anizotropii dla domen wewnątrz- $.$ , ${\ Displaystyle \ lambda}$ , model można zredukować do jednego równania, zwanego równaniem jednodomenowym

$$\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ Sigma} \ nabla v) = \ chi \ lewo (C_ {m} {\frac {\częściowy v}{\częściowy t}}+I_{\mathrm {ion}}\right)-I_{s}}$$

gdzie jedyną zmienną jest teraz potencjał transbłonowy, a tensor przewodności jest kombinacją i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {e}.}$ ja $}$

Formuła z warunkami brzegowymi w izolowanej domenie

Jeśli serce jest traktowane jako izolowana tkanka, co oznacza, że ​​żaden prąd nie może płynąć poza nią, to końcowe sformułowanie z warunkami brzegowymi brzmi:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot \ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ prawej) + \ nabla \ cdot \left(\mathbf {\Sigma} _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\dfrac {\częściowe v}{\częściowe t}}+I_{ \mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v \right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e}) \cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\[1ex]\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e })+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{przypadki} }}$$

Rozwiązanie numeryczne

Istnieją różne możliwe techniki rozwiązywania równań dwudomenowych. Pomiędzy nimi można znaleźć schematy różnic skończonych , schematy elementów skończonych , a także schematy objętości skończonych . Można zwrócić szczególną uwagę na numeryczne rozwiązanie tych równań ze względu na dużą rozdzielczość czasową i przestrzenną potrzebną do zbieżności numerycznej.

Zobacz też

• Model jednodomenowy
• Wyprzedzający problem elektrokardiologii

Linki zewnętrzne

• Artykuł w Scholarpedii na temat modelu dwudomeny