Wyprzedzający problem elektrokardiologii

Symulacja realistycznego bicia serca.

Schematyczny diagram normalnego rytmu zatokowego dla ludzkiego serca, jak widać na EKG.

Głównym problemem elektrokardiologii jest obliczeniowe i matematyczne podejście do badania aktywności elektrycznej serca poprzez powierzchnię ciała. Głównym celem tego badania jest komputerowe odtworzenie elektrokardiogramu ( EKG), który ma istotne znaczenie kliniczne w definiowaniu patologii serca, takich jak niedokrwienie i zawał , lub w testowaniu interwencji farmaceutycznej. Biorąc pod uwagę ich ważne funkcje i stosunkowo małą inwazyjność, elektrokardiografia techniki są dość często stosowane jako kliniczne testy diagnostyczne . Dlatego naturalne jest przystąpienie do komputerowego odtwarzania EKG, co oznacza matematyczne modelowanie zachowania serca wewnątrz ciała.

Trzy główne części modelu przedniego dla EKG to:

• model aktywności elektrycznej serca;
• model dyfuzji potencjału elektrycznego wewnątrz tułowia, który reprezentuje obszar pozasercowy;
• pewne specyficzne warunki sprzężenia serca z tułowiem.

Tak więc, aby uzyskać EKG, należy wziąć pod uwagę matematyczny elektryczny model serca w połączeniu z modelem dyfuzyjnym w przewodzie pasywnym , który opisuje propagację elektryczną wewnątrz tułowia .

Model sprzężony jest zwykle trójwymiarowym modelem wyrażonym w postaci równań różniczkowych cząstkowych . Taki model jest zwykle rozwiązywany za pomocą metody elementów skończonych do ewolucji przestrzennej rozwiązania i półujawnionych schematów numerycznych obejmujących różnice skończone dla ewolucji rozwiązania w czasie. Jednak koszty obliczeniowe takich technik, zwłaszcza w przypadku symulacji trójwymiarowych, są dość wysokie. Dlatego często bierze się pod uwagę uproszczone modele, rozwiązujące na przykład aktywność elektryczną serca niezależnie od problemu na tułowiu. Aby zapewnić realistyczne wyniki, należy zastosować trójwymiarowe anatomicznie realistyczne modele serca i tułowia.

Innym możliwym uproszczeniem jest model dynamiczny składający się z trzech równań różniczkowych zwyczajnych .

Modele tkanek serca

Aktywność elektryczna serca jest spowodowana przepływem jonów przez błonę komórkową , pomiędzy przestrzenią wewnątrzkomórkową i zewnątrzkomórkową, co determinuje falę wzbudzenia wzdłuż mięśnia sercowego , która koordynuje skurcz serca, a tym samym pompowanie serca co pozwala mu przepychać krew przez układ krwionośny . Modelowanie czynności elektrycznej serca jest zatem związane z modelowaniem przepływu jonów na mikroskopowym oraz propagacją fali wzbudzenia wzdłuż mięśnia włókien na poziomie makroskopowym .

Między modelem matematycznym na poziomie makroskopowym Willem Einthoven i Augustus Waller zdefiniowali EKG poprzez model koncepcyjny dipola obracającego się wokół stałego punktu, którego rzut na oś odprowadzeń determinował zapisy odprowadzeń. Wówczas dwuwymiarowe zrekonstruowanie czynności serca w płaszczyźnie czołowej na podstawie odprowadzeń kończynowych I, II i III Einthovena jako podstawy teoretycznej. Później obrotowy dipol sercowy uznano za niewystarczający i zastąpiono go wielobiegunowym źródła poruszające się wewnątrz ograniczonej domeny tułowia. Główną wadą metod stosowanych do ilościowego określania tych źródeł jest brak szczegółów, które są jednak bardzo istotne dla realistycznej symulacji zjawisk sercowych.

Z drugiej strony modele mikroskopowe próbują odwzorować zachowanie pojedynczych komórek i połączyć je z uwzględnieniem ich właściwości elektrycznych. Modele te przedstawiają pewne wyzwania związane z różnymi skalami, które należy uchwycić, w szczególności biorąc pod uwagę, że zwłaszcza w przypadku zjawisk na dużą skalę, takich jak ponowne wejście lub potencjał powierzchni ciała, zbiorowe zachowanie komórek jest ważniejsze niż zachowanie każdej pojedynczej komórka.

Trzecią opcją modelowania aktywności elektrycznej serca jest rozważenie tak zwanego „podejścia środkowego”, w którym model obejmuje zarówno niższy, jak i wyższy poziom szczegółowości. Ta opcja uwzględnia zachowanie bloku komórek, zwanego komórką kontinuum, co pozwala uniknąć problemów ze skalą i szczegółami. Otrzymany model nazywa się modelem dwudomenowym , który często zastępowany jest jego uproszczeniem modelem jednodomenowym .

Model dwudomeny

Zobacz też: Model dwudomenowy

Stylizowana reprezentacja ludzkiego torsu, która opisuje dziedzinę i zapis brany pod uwagę przy pierwszym problemie elektrokardiografii. Rozważane są dwa oddzielne obszary i ich granice, które reprezentują serce i ludzki tors wokół niego.

Podstawowym założeniem modelu dwudomenowego jest to, że tkankę serca można podzielić na dwa ciągłe media przewodzące omowo, połączone, ale oddzielone przez błonę komórkową. Te media nazywane są regionami wewnątrzkomórkowymi i zewnątrzkomórkowymi, przy czym te pierwsze reprezentują tkanki komórkowe, a te drugie reprezentują przestrzeń między komórkami.

Standardowe sformułowanie modelu dwudomeny, w tym modelu dynamicznego dla prądu jonowego, jest następujące

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i }\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\częściowe V_{m}}{\częściowe t}}+I_{\text{ion}}(V_{m },w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{ i}+{\boldsymbol {\sigma}}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma}}_{i}\nabla V_{m}) =0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\częściowe w}{\częściowe {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{przypadki}}}$$

gdzie i są odpowiednio potencjałami przezbłonowymi i zewnątrzkomórkowymi, $Displaystyle I_$$który$ { $}$ jest prądem jonowym, zależy również od tak zwanej zmiennej bramkującej $prądem$ uwzględniającej zachowanie jonowe na poziomie komórkowym), a $zewnętrznym$ do domeny. Co więcej, $i$$}} _ {i}}$ są przewodnictwa wewnątrzkomórkowego i zewnątrzkomórkowego. ${\ Displaystyle {\ displaystyle A_ {} m}}$ to stosunek powierzchni do objętości błony komórkowej, a $membrany$ na jednostkę powierzchni. Tutaj domena $sercowy$ .

Warunki brzegowe dla tej wersji modelu dwudomenowego uzyskuje się przy założeniu braku przepływu potencjału wewnątrzkomórkowego poza sercem, co oznacza, że

$${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {\ sigma}} _ {i} \ nabla V_ {m} \ cdot \ mathbf {n} + {\ pogrubiony symbol {\sigma}}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on}}\Sigma}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ Sigma = \ częściowe \ Omega _ {H}}$$\$ granicę domeny serca i jest jednostką zewnętrzną normalną do $Sigma }$${\ Displaystyle$ .

Model jednodomenowy

Zobacz też: Model jednodomenowy

$który pomimo pewnych niefizjologicznych założeń jest$ w stanie reprezentować realistyczne zjawiska elektrofizjologiczne przynajmniej w zakresie potencjału

Standardowym sformułowaniem jest następujące równanie różniczkowe cząstkowe, którego jedyną niewiadomą jest potencjał transbłonowy: ${\ displaystyle V_ {m}}$

$${\ Displaystyle \ chi C_ {m} {\ Frac {\ częściowe V_ {m }}{\częściowe t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right )+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{aplikacja}}\quad \quad {\text{in}}\Omega _{H}}$$

gdzie jest $.$ odnoszącym się do tensorów przewodnictwa wewnątrzkomórkowego i zewnątrzkomórkowego

Warunek brzegowy zastosowany w tym modelu to

$${\ Displaystyle \ lewo ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \ nabla V_ {m} \ prawej) \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ tekst {na}} \ częściowe \ Omega _{H}.}$$

Model tkanki tułowia

W przednim zagadnieniu elektrokardiografii tułów jest postrzegany jako pasywny przewodnik, a jego model można wyprowadzić wychodząc z równań Maxwella przy założeniu quasi-statycznym.

Standardowe sformułowanie składa się z równania różniczkowego cząstkowego z jednym nieznanym polem skalarnym, potencjałem tułowia. ${\ displaystyle u_ {T}}$ . Zasadniczo model tułowia jest następującym uogólnionym równaniem Laplace'a

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 \ quad \ quad {\ tekst {w }}\Omega _{T},}$$

gdzie $jest$$tensorem$ przewodnictwa i domeną otaczającą serce, ludzki tułów

Pochodzenie

Jeśli chodzi o model dwudomenowy, model tułowia można wyprowadzić z równań Maxwella i równania ciągłości po pewnych założeniach. Po pierwsze, ponieważ aktywność elektryczna i magnetyczna wewnątrz ciała jest generowana na niskim poziomie, można przyjąć założenie quasi-statyczne. Zatem ciało można postrzegać jako przewodnik bierny, co oznacza, że ​​jego efekt pojemnościowy, indukcyjny i propagacyjny można zignorować.

Przy założeniu quasi-statycznym równania Maxwella są

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = {\ Frac {\ rho}} {\ epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{przypadki}}}$$

a równanie ciągłości jest

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}$$

Ponieważ jego zwinięcie wynosi zero, pole elektryczne można przedstawić jako gradient pola potencjału skalarnego, potencjału tułowia

${\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla u_ {T}}$

 

 

 

 

()

gdzie znak ujemny oznacza, że ​​prąd płynie z obszarów o wyższym potencjale do obszarów o niższym potencjale.

Następnie całkowitą gęstość prądu można wyrazić w kategoriach prądu przewodzenia i innych różnych przyłożonych prądów, tak że z równania ciągłości

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {J} _ {\ tekst {aplikacja}} + {\ pogrubiony symbol {\sigma}}_ {T}\mathbf {E} )=0}$

 

 

 

 

()

Następnie podstawiając ( 1 ) w ( 2 )

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {T} \ nabla u_ {T}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _{\text{aplikacja}}=I_{v}}$$

w którym jest prądem na jednostkę objętości. ${\ displaystyle I_ {v}}$

Wreszcie, ponieważ poza sercem wewnątrz tułowia nie ma źródła prądu, prąd na jednostkę objętości można ustawić na zero, dając uogólnione równanie Laplace'a, które reprezentuje standardowe sformułowanie problemu dyfuzyjnego wewnątrz tułowia

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 \ quad \ quad {\ tekst {w}} \ Omega _ {T}.}$$

Warunek brzegowy

Warunki brzegowe uwzględniają właściwości ośrodków otaczających tors, czyli powietrza wokół ciała. Ogólnie rzecz biorąc, powietrze ma zerową przewodność, co oznacza, że ​​prąd nie może płynąć poza tułowiem. Jest to przetłumaczone w następującym równaniu

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {T} \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {T} = 0 \ quad \ quad {\text{on}}\Gamma_{T}}$$

gdzie $jest$ jednostką normalną na zewnątrz tułowia i $tułowia$ tułowia, co oznacza

Przewodnictwo tułowia

Zwykle uważa się, że tors ma przewodnictwo izotropowe, co oznacza, że ​​prąd płynie w ten sam sposób we wszystkich kierunkach. Tułów nie jest jednak pustą ani jednorodną otoczką, ale zawiera różne narządy charakteryzujące się różnymi współczynnikami przewodnictwa, które można uzyskać eksperymentalnie. Prosty przykład parametrów przewodnictwa w tułowiu uwzględniający kości i płuca przedstawiono w poniższej tabeli.

Wartości przewodnictwa tułowia.

${\ Displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ tekst {płuca}}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ tekst {kości}}}$	${\ Displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ tekst {pozostałe regiony}}}$
(S/cm)	(S/cm)	(S/cm)
${\ Displaystyle 2,4 \ razy 10 ^ {- 4}}$	${\ Displaystyle 4 \ razy 10 ^ {- 5}}$	${\ Displaystyle 6 \ razy 10 ^ {- 4}}$

Modele serca i tułowia

Sprzężenie między modelem aktywności elektrycznej a modelem tułowia uzyskuje się za pomocą odpowiednich warunków brzegowych w nasierdziu, tj. na powierzchni styku serca z torsem.

Model serce-tułów może być w pełni sprzężony, jeśli weźmie się pod uwagę idealną transmisję elektryczną między dwiema domenami, lub może być odłączony, jeśli model elektryczny serca i model tułowia zostaną rozwiązane oddzielnie z ograniczoną lub niedoskonałą wymianą informacji między nimi.

W pełni sprzężone modele serce-tułów

Uzyskuje się całkowite sprzężenie między sercem a tułowiem, narzucając doskonałe warunki transmisji elektrycznej między sercem a tułowiem. Dokonuje się tego, biorąc pod uwagę następujące dwa równania, które ustalają zależność między potencjałem zewnątrzkomórkowym a potencjałem tułowia

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {e} & = u_ {T} & {\ tekst {na}} \ Sigma \\ ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e} \ nabla u_ {e} )\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{ \text{na }}\Sigma .\end{wyrównane}}}$$

Równania te zapewniają ciągłość zarówno potencjału, jak i prądu w nasierdziu.

Korzystając z tych warunków brzegowych, możliwe jest uzyskanie dwóch różnych, w pełni sprzężonych modeli serce-tułów, biorąc pod uwagę model bidomenowy lub monodomenowy dla aktywności elektrycznej serca. Z numerycznego punktu widzenia oba modele są bardzo kosztowne obliczeniowo i mają podobne koszty obliczeniowe.

Alternatywne warunki brzegowe

Najczęściej stosowane i klasyczne są warunki brzegowe, które reprezentują idealne sprzężenie elektryczne między sercem a tułowiem. Jednak między sercem a tułowiem znajduje się osierdzie , worek o podwójnej ścianie, zawierający płyn surowiczy, który ma specyficzny wpływ na przewodnictwo elektryczne. Biorąc pod uwagę $pojemność$ i efekt $rezystancji$ , alternatywne warunki brzegowe uwzględniające ten efekt można sformułować sposób

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {p} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} & = R_ {p} C_ {p} {\ frac {\częściowy (u_{T}-u_{e})}{\częściowy t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{na }}\Sigma \\ {\boldsymbol {\sigma}}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma}}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf { n} \quad \quad &{\text{na }}\Sigma \end{wyrównane}}}$$

Formuła z modelem dwudomeny

W pełni sprzężony model serce-tułów, biorąc pod uwagę model dwudomeny dla aktywności elektrycznej serca, w swojej pełnej formie jest

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i }\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\częściowe V_{m}}{\częściowe t}}+I_{\text{ion}}(V_{m },w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma} }_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{ m})=0&{\text{in}}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\częściowe w}{\częściowe {t}}}+g(V_{m},w)= 0&{\text{in}}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma}}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma}}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma}} _{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on}}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on} }\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma}}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma}}_{T}\ na bla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{przypadki}}}$$

gdzie pierwsze cztery równania to równania różniczkowe cząstkowe reprezentujące model dwudomenowy, model jonowy i model torsu, podczas gdy pozostałe reprezentują warunki brzegowe dla modeli dwudomenowych i torsowych oraz warunki sprzężenia między nimi.

Formuła z modelem monodomenowym

W pełni sprzężony model serce-tułów, uwzględniający model jednodomeny dla aktywności elektrycznej serca, jest bardziej skomplikowany niż problem dwudomen. Rzeczywiście, warunki sprzężenia wiążą potencjał tułowia z potencjałem zewnątrzkomórkowym, który nie jest obliczany przez model monodomenowy. W związku z tym konieczne jest użycie również drugiego równania modelu dwudomenowego (przy tych samych założeniach, przy których wyprowadzany jest model jednodomenowy), otrzymując:

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ prawej) + \ nabla \ cdot ({\boldsymbol {\sigma}}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in}}\Omega _{H}.}$$

W ten sposób warunki sprzężenia nie muszą być zmieniane, a kompletny model serce-tułów składa się z dwóch różnych bloków:

• Najpierw należy rozwiązać model jednodomenowy ze zwykłym warunkiem brzegowym:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ chi C_ {m} {\ dfrac {\ częściowe V_ {m}} {\ częściowe t}} - \ nabla \ cdot \ lewo ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ { i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{aplikacja}}&{\text{ in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} = 0&{\text {on }}\częściowe \Omega _{H}.\end{przypadki}}}$$
• Następnie należy rozwiązać model sprzężony, który obejmuje obliczenie potencjału pozakomórkowego, model tułowia i warunki sprzężenia:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot \ lewo ({{\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ po prawej)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{w }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({ \boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in}}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_ {T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({ \boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{na }}\Sigma \end{przypadki}}}$$

Niesprzężone modele serca i tułowia

W pełni sprzężone modele serce-tułów są bardzo szczegółowymi modelami, ale ich rozwiązanie jest również kosztowne obliczeniowo. Możliwym uproszczeniem jest tak zwane założenie niezwiązane , w którym serce uważa się za całkowicie odizolowane elektrycznie od serca. Matematycznie odbywa się to narzucając, że prąd nie może przepływać przez nasierdzie, od serca do tułowia, a mianowicie

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ tekst {na}} \ Sigma.}$$

Stosując to równanie do warunków brzegowych w pełni sprzężonych modeli, możliwe jest otrzymanie dwóch niezwiązanych modeli serce-tułów, w których modele elektryczne mogą być rozwiązane oddzielnie od modelu tułowia, zmniejszając koszty obliczeniowe.

Niesprzężony model serca i tułowia z modelem dwudomeny

Niesprzężona wersja w pełni sprzężonego modelu serce-tułów, który wykorzystuje bidomenę do reprezentowania aktywności elektrycznej serca, składa się z dwóch oddzielnych części:

• Model dwudomeny w swojej izolowanej postaci
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i }\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\częściowe V_{m}}{\częściowe t}}+I_{\text{ion}}(V_{m },w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{ i}+{\boldsymbol {\sigma}}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma}}_{i}\nabla V_{m}) =0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\częściowe w}{\częściowe {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma}}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma}}_{i }\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{na }}\Sigma .\end{przypadki}}}$$
• Model dyfuzyjny tułowia w jego standardowym sformułowaniu, z warunkiem ciągłości potencjalnej
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol { \sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{w }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T} \cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{przypadki} }}$$

Niesprzężony model serca i tułowia z modelem modomeny

Podobnie jak w przypadku w pełni sprzężonego modelu serce-tułów, który wykorzystuje model jednodomenowy, również w odpowiednim modelu niezwiązanym należy obliczyć potencjał zewnątrzkomórkowy. W takim przypadku należy rozwiązać trzy różne i niezależne problemy:

• Model jednodomenowy ze zwykłym warunkiem brzegowym:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ chi C_ {m} {\ dfrac {\ częściowe V_ {m}} {\ częściowe t}} - \ nabla \ cdot \ lewo ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ { i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{aplikacja}}&{\text{ in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} = 0&{\text {on }}\częściowe \Omega _{H}.\end{przypadki}}}$$
• Problem z obliczeniem potencjału pozakomórkowego z warunkiem granicznym na nasierdziu nakazującym brak przepływu prądu wewnątrzkomórkowego:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot \ lewo (({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} + {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {e}) \ nabla u_ {e} \right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in}}\Omega _{H}\\[1ex]({ \boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma}}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_ {i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$
• Model dyfuzyjny tułowia z warunkiem brzegowym ciągłości potencjału w nasierdziu:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol { \sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{w }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T} \cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{przypadki} }}$$

Obliczenia elektrokardiogramu

Odprowadzenia przedsercowe w EKG

Zobacz też: Elektrokardiografia

Rozwiązanie w pełni sprzężonych lub niezwiązanych modeli serce-tułów pozwala na uzyskanie potencjału elektrycznego generowanego przez serce w każdym punkcie tułowia człowieka, aw szczególności na całej powierzchni tułowia. Określając położenie elektrod na tułowiu, można znaleźć ewolucję w czasie potencjału w tych punktach. Następnie elektrokardiogramy można obliczyć, na przykład według 12 standardowych odprowadzeń, biorąc pod uwagę następujące wzory

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname {I} & = u_ {T} (L) -u_ {T} (R) \\\ operatorname {II} & = u_ {T} (F )-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2 }}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\ \\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}( V_{i})-u_{w}\quad i=1,\kropki ,6\end{przypadki}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle u_ {W} = (u_ {T} (L) + u_ {T} (R) + u_ {T} (F)) / 3}$ i ${\ Displaystyle L, R, F, \ {V_ {i} \} _ {i = 1} ^ {6}}$ są standardowymi lokalizacjami elektrod.

Metody numeryczne

Modele serce-tułów są wyrażone za pomocą równań różniczkowych cząstkowych , których niewiadome są funkcją zarówno przestrzeni, jak i czasu. Są one z kolei sprzężone z modelem jonowym, który zwykle wyraża się za pomocą układu równań różniczkowych zwyczajnych . Do rozwiązania tych problemów można zastosować różne schematy numeryczne. Zwykle metodę elementów skończonych , a do dyskretyzacji czasu stosuje się półukryte schematy różnic skończonych.

Niesprzężone modele serce-tułów są najłatwiejsze w obróbce numerycznej, ponieważ model elektryczny serca można rozwiązać oddzielnie od modelu tułowia, dzięki czemu można zastosować klasyczne metody numeryczne do rozwiązania każdego z nich. Oznacza to, że modele dwudomeny i monodomeny można rozwiązać na przykład za pomocą wzoru różniczkowania wstecznego do dyskretyzacji czasu, podczas gdy problemy z obliczeniem potencjału zewnątrzkomórkowego i potencjału tułowia można łatwo rozwiązać, stosując tylko metodę elementów skończonych, ponieważ są one niezależne od czasu .

Zamiast tego w pełni sprzężone modele serce-tułów są bardziej złożone i wymagają bardziej wyrafinowanych modeli numerycznych. Na przykład pełny model serca i tułowia, który wykorzystuje model dwudomeny do elektrycznej symulacji zachowania serca, można rozwiązać, biorąc pod uwagę dekompozycji domen , takie jak dekompozycja domeny Dirichleta-Neumanna.

Geometryczny model tułowia

Trójwymiarowy model tułowia zawierający większość organów.

Do symulacji i elektrokardiogramu przy użyciu modeli w pełni sprzężonych lub niesprzężonych potrzebna jest trójwymiarowa rekonstrukcja torsu człowieka. Obecnie techniki obrazowania diagnostycznego, takie jak MRI i CT , mogą dostarczyć wystarczająco dokładnych obrazów, które pozwalają na szczegółową rekonstrukcję części anatomicznych człowieka, a tym samym uzyskanie odpowiedniej geometrii tułowia. Na przykład widoczne dane człowieka to przydatny zestaw danych do tworzenia trójwymiarowego modelu tułowia z wyszczególnieniem narządów wewnętrznych, w tym struktury szkieletu i mięśni.

Dynamiczny model elektrokardiogramu

Nawet jeśli wyniki są dość szczegółowe, rozwiązanie modelu trójwymiarowego jest zwykle dość kosztowne. Możliwym uproszczeniem jest model dynamiczny oparty na trzech sprzężonych równaniach różniczkowych zwyczajnych.

Quasi-okresowość bicia serca jest odtwarzana przez trójwymiarową trajektorię wokół przyciągającego cyklu granicznego w płaszczyźnie ${\ Displaystyle (x, y)}$ . $. theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ i }}\theta _{T}} , które dają$ szczyty EKG, którymi są P, następujące trzy ODE

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x '& = \ alfa z- \ omega y \\ [1ex] y' i = \ alfa y + \ omega x \\ [1ex] z '& = \ textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \ theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{wyrównane}}}$$

z ${\ textstyle \ alfa = 1- {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ , ${\ Displaystyle \ Delta \ teta _ {i} = (\ teta - \ teta _ {i}) {\ bmod {(}} 2 \ pi)} , θ$ = $Displaystyle \theta ={\text{atan}}2(y,x)}$

Równania można łatwo rozwiązać za pomocą klasycznych algorytmów numerycznych, takich jak metody Runge-Kutty dla ODE.

Zobacz też

• Model jednodomenowy
• Model dwudomeny
• Elektrokardiografia