Operator energii

W mechanice kwantowej energia jest definiowana za pomocą operatora energii , działającego na funkcję falową układu w wyniku symetrii translacji czasu .

Definicja

Podaje go:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} = i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}}}

Działa na funkcję falową ( amplituda prawdopodobieństwa dla różnych konfiguracji systemu)

{\ Displaystyle \ Psi \ lewo (\ mathbf {r}, t \ prawej)}

Aplikacja

Operator energii odpowiada pełnej energii systemu. Równanie Schrödingera opisuje przestrzenną i czasową zależność wolnozmiennej (nierelatywistycznej ) funkcji falowej układu kwantowego. Rozwiązanie tego równania dla układu związanego jest dyskretne (zbiór dozwolonych stanów, z których każdy charakteryzuje się poziomem energii ), co skutkuje pojęciem kwantów .

Równanie Schrödingera

Używając operatora energii do równania Schrödingera :

{\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t)={\kapelusz {H}}\Psi (\mathbf {r},t)}

można uzyskać:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ kapelusz {H}} \ psi (\ mathbf {r} ,t)}

gdzie i jest $jednostką$ urojoną , ħ jest zredukowaną stałą Plancka , a operatorem Hamiltona

Stała energia

Korzystając z definicji, można skonstruować częściowe rozwiązanie funkcji falowej cząstki o stałej energii. Jeśli zakłada $że$ funkcja falowa jest rozdzielna, to zależność od czasu można określić stałą energią . W pełni,

{\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {-iEt / \

gdzie

od

częściowym rozwiązaniem funkcji falowej Stosując operatora energetycznego mamy

{\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ psi (\ mathbf {r}) e ^ { -iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r},t).}

Jest to również znane jako stan stacjonarny i może być użyte do analizy niezależnego od czasu równania Schrödingera :

{\ Displaystyle E \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ kapelusz {H}} \ psi (\ mathbf {r}, t) }

gdzie E jest wartością własną energii.

Równanie Kleina-Gordona

Relatywistyczna relacja masa-energia :

{\ Displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}

gdzie znowu E = całkowita energia, p = całkowity 3- pęd cząstki, m = niezmienna masa i c = prędkość światła , może podobnie dać równanie Kleina-Gordona :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ kapelusz {E }}^{2}=c^{2}{\kapelusz {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\kapelusz {E}}^{2}\ Psi =c^{2}{\kapelusz {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{wyrównane}}}

gdzie jest operatorem pędu

{\ Displaystyle {\ hat {p}}}

. To jest:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ psi} {\ częściowe t ^ {2}}} = c ^ {2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi}

Pochodzenie

Operator energii można łatwo wyprowadzić z funkcji falowej cząstki swobodnej ( rozwiązanie fali płaskiej równania Schrödingera). Zaczynając w jednym wymiarze, funkcja falowa jest

{\ Displaystyle \ Psi = e ^ {i (kx- \ omega t)}}

Pochodna czasu $Ψ$ wynosi

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Psi} {\ częściowe t}} = -i \ omega e ^ {i (kx- \ omega t)} = -i \ omega \ psi.}

Z relacji De Broglie'a :

{\ Displaystyle E = \ hbar \ omega,}

mamy

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Psi} {\ częściowe t}} = -i {\ Frac {E} {\ hbar}} \ Psi.}

Ponowne ułożenie równania prowadzi do

{\ Displaystyle E \ psi = i \ hbar {\ Frac {\ częściowe \ psi} {\ częściowe t}},}

gdzie współczynnik energii E jest wartością skalarną , energią cząstki i wartością, która jest mierzona. Pochodna cząstkowa jest operatorem liniowym , więc to wyrażenie jest operatorem energii:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} = i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}}.}

Można wywnioskować, że skalar $E$ wartością własną operatora , podczas gdy operatorem. Podsumowując te wyniki:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} \ Psi = i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ Psi = E \ psi}

Dla trójwymiarowej fali płaskiej

{\ Displaystyle \ Psi = e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}}

wyprowadzenie jest dokładnie identyczne, ponieważ nie zmienia się terminu obejmującego czas, a tym samym pochodną czasu. Ponieważ operator jest liniowy , są one ważne dla dowolnej liniowej kombinacji fal płaskich, a zatem mogą oddziaływać na dowolną funkcję falową bez wpływu na właściwości funkcji falowej lub operatorów. Zatem musi to być prawdziwe dla dowolnej funkcji falowej. Okazuje się, że działa nawet w relatywistycznej mechanice kwantowej , takiej jak powyższe równanie Kleina-Gordona .

Zobacz też