Paradoks Stokesa

W nauce o przepływie płynów paradoks Stokesa polega na tym, że nie może istnieć pełzający przepływ płynu wokół dysku w dwóch wymiarach; lub, równoważnie, fakt, że nie ma nietrywialnego rozwiązania w stanie ustalonym dla równań Stokesa wokół nieskończenie długiego cylindra. Jest to przeciwieństwo przypadku trójwymiarowego, w którym metoda Stokesa zapewnia rozwiązanie problemu przepływu wokół kuli.

Pochodzenie

Wektor prędkości $u$ można zapisać w kategoriach funkcji strumienia jako ψ ${\ Displaystyle \ mathbf {$ }

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ psi}} {\ częściowe y}}, - {\ Frac {\ częściowe \ psi} {\ częściowe x}} \ prawo).}$

$strumienia$ w problemie przepływu Stokesa równanie biharmoniczne . Traktując $płaszczyznę$ jako płaszczyznę zespoloną , problem można rozwiązać analizy W tym podejściu jest albo rzeczywistą , albo urojoną częścią ψ $\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle {\ bar {z}} f (z) + g (z)}$ .

z ${\ Displaystyle z = x + iy}$ , gdzie ${\ displaystyle i}$ jednostką urojoną , ${\ Displaystyle {\ bar {z}} = x-iy }$ i ${\ Displaystyle f (z), g (z)}$ są funkcjami holomorficznymi poza dyskiem. Weźmiemy prawdziwą część bez utraty ogólności . Teraz wprowadzono funkcję zdefiniowaną przez $}$$iu_ {y}} .$${\ displaystyle u}$ można zapisać jako ${\ Displaystyle u = -2i {\ Frac {\ częściowe \ psi}} {\ częściowe {\ bar {z}}}}$ } lub ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} iu = {\ Frac {\ częściowe \ psi} {\ częściowe {\ bar {z}}}}}$ (używając pochodnych Wirtingera ). Oblicza się to jako równe

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} iu = f (z) + z {\ bar {f \ liczba pierwsza}} (z) + {\ bar {g \ liczba pierwsza}} (z).}$

Bez utraty ogólności można przyjąć, że dysk jest dyskiem jednostkowym , składającym się ze wszystkich liczb zespolonych z o wartości bezwzględnej mniejszej lub równej 1.

Warunki brzegowe to:

${\ Displaystyle \ lim _ {z \ do \ infty} u = 1,}$

${\ Displaystyle u = 0,}$

kiedykolwiek ${\ Displaystyle | z | = 1}$ i reprezentując funkcje ${\ displaystyle f, g}$ jako szereg Laurenta :

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {n = - \ infty} ^{\infty}f_{n}z^{n},\quad g(z)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}g_{n}z^{n},}$

pierwszy warunek implikuje ${\ displaystyle f_ {n} = 0, g_ {n} = 0}$ dla wszystkich ${\ displaystyle n \ geq 2}$ .

Korzystanie z formy biegunowej daje $n$${n} e ^ {in\theta},{\bar {z}}^{n}=r^{n}e^{-in\theta}}$ . Po wyprowadzeniu postaci szeregowej u , podstawieniu tego do niej wraz z ${\ displaystyle r = 1}$ , a zmiana niektórych indeksów przekłada się na drugi warunek brzegowy

${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty }^{\infty }e^{in\theta }\left(f_{n}+(2-n){\bar {f}}_{2-n}+(1-n){\bar { g}}_{1-n}\prawo)=0.}$

Ponieważ złożone funkcje trygonometryczne $zbiór$ liniowo niezależny , wynika z tego, że wszystkie współczynniki w szeregu Zbadanie tych warunków dla każdego $}$$i$ warunku w nieskończoności pokazuje, że są koniecznie postaci ${\ displaystyle f$

${\ Displaystyle f (z) = az + b, \ quad g (z) = -bz + c,}$

gdzie $jest$$liczbami$ urojoną (w przeciwieństwie do własnego zespolonego $)$ , a są zespolonymi. Podstawienie tego do $jak$ wynik globalny, przekonujący zarówno $\$$displaystyle u_ {x}},$ i $}$ być zerem. Dlatego nie może być żadnego ruchu – jedynym rozwiązaniem jest to, że cylinder jest w spoczynku względem wszystkich punktów płynu.

Rezolucja

Paradoks jest spowodowany ograniczoną ważnością przybliżenia Stokesa, jak wyjaśniono w krytyce Oseena : ważność równań Stokesa opiera się na $ten nie może być spełniony dla dowolnie dużych odległości$ liczbie Reynoldsa , a warunek .

Prawidłowe rozwiązanie dla cylindra zostało wyprowadzone za pomocą równań Oseena i te same równania prowadzą do lepszego przybliżenia siły oporu działającej na kulę .

Przepływ w stanie nieustalonym wokół walca kołowego

W przeciwieństwie do paradoksu Stokesa , istnieje rozwiązanie tego samego problemu w stanie nieustalonym, które modeluje przepływ płynu poruszający się po okrągłym cylindrze o małej liczbie Reynoldsa. Rozwiązanie to można podać jawnym wzorem na wirowość pola wektorowego przepływu.

Formuła przepływu Stokesa wokół okrągłego cylindra

Wirowość przepływu Stokesa jest określona przez następującą zależność:

$${\ Displaystyle w_ {k} (t, r) = W_ {| k |, | k | -1} ^ {- 1} \ lewo [e ^ {- \ lambda ^ {2} t} W_ {| k | ,|k|-1}[w_{k}(0,\cdot )](\lambda )\right](t,r).}$$

Tutaj ${\ Displaystyle w_ {k} (t, r)}$ - to współczynniki Fouriera ekspansji wirowości o kąt biegunowy, które są określone na ${\ Displaystyle (r_ {0} , \ infty )}$ , ${\ displaystyle r_ {0}}$ - promień cylindra, ${\ Displaystyle W _ {| k |, | k | -1}}$ , ${\ Displaystyle W_ {| k |, | k | -1} ^ {- 1}}$ to bezpośrednie i odwrotne specjalne transformaty Webera oraz funkcja początkowa dla wirowości ${\ Displaystyle w_ { k}(0,r)}$ spełnia warunek brzegowy braku poślizgu.

Specjalna transformata Webera ma nietrywialne jądro, ale z warunku braku poślizgu wynika ortogonalność przepływu wirowości do jądra.

Pochodzenie

Specjalna transformata Webera

Specjalna transformata Webera jest ważnym narzędziem w rozwiązywaniu problemów hydrodynamiki . Jest zdefiniowany jako k $\ Displaystyle k \ in \ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle W_ {k, k-1} [f] (\ lambda) = \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty }{\frac {J_{k}(\lambda s)Y_{k-1}(\lambda r_{0})-Y_{k}(\lambda s)J_{k-1}(\lambda r_{ 0})}{\sqrt {J_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})+Y_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})}}}f( s)sds,}$$

gdzie $_$ funkcjami Bessela $.$ drugiego odpowiednio k ${\ Displaystyle k> 1}$ ma nietrywialne jądro, które składa się z funkcji $/ r ^ {k} \ in \ker(W_{k,k-1})}$ .

Odwrotna transformata jest dana wzorem

$${\ Displaystyle W_ {k, k-1} ^ {-1} [{\ kapelusz {f}}] (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {J_ {k} (\ lambda r)Y_{k-1}(\lambda r_{0})-Y_{k}(\lambda s)J_{k-1}(\lambda r_{0})}{\sqrt {J_{k- 1}^{2}(\lambda r_{0})+Y_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})}}}{\kapelusz {f}}(\lambda )\lambda d \lambda .}$$

Ze względu na nietrywialność jądra, tożsamość inwersji

$${\ Displaystyle f (r) = W_ {k, k-1} ^ {- 1} \ lewo [W_{k,k-1}[f]\prawo](r)}$$

jest ważny, jeśli ${\ Displaystyle k \ równoważnik 1}$ . Jest to również ważne w przypadku, gdy ${\ Displaystyle k> 1}$ , ale tylko dla funkcji, które są ortogonalne do jądra ${\ Displaystyle W_ {k, k-1}}$ w ${\ Displaystyle L_ {2} (r_ {0}, \ infty)}$ z nieskończenie małym elementem ${\ displaystyle rdr}$ :

$${\ Displaystyle \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {r ^ {k}}} f(r)rdr=0,~k>1.}$$

Warunek antypoślizgowości i prawo Biota-Savarta

Na zewnątrz dysku o promieniu ${\ displaystyle r_ {0}}$${\ Displaystyle B_ {r_ {0}} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {2} ~ \ vert \ mathbf {x} \ vert > r_ {0} \} } prawo$ Biota -Savara

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {B_ {r_ {0}} }{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{\perp }}{\vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \vert ^{2}}}w(\mathbf {y} )\nazwa_operatora {d\mathbf {y}} +\mathbf {v} _{\infty},}$$

przywraca pole prędkości , które jest indukowane przez wirowość $)$ zerową kołowością $Displaystyle w (\ mathbf {x$ i biorąc pod uwagę stałą prędkość w nieskończoności ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ infty}}$ .

Warunek braku poślizgu dla ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in S_ {r_ {0}} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {2} ~ \ vert \ mathbf {x} \ vert =r_{0}\}}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {B_ {r_ {0}}} {\ Frac {(\ mathbf {x} - \ mathbf {y} )^{\perp }}{\vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \vert ^{2}}}w(\mathbf {y} )\nazwa_operatora {d\mathbf {y} } +\mathbf {v} _{\infty}=0}$$

prowadzi do relacji dla : ${\ Displaystyle k \ in \ mathbf {Z}}$ :

$${\ Displaystyle \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} r ^ {- \ vert k \ vert +1} w_ {k} (r) dr =d_{k},}$$

gdzie ${\ Displaystyle d_ {k} = \ delta _ {\ vert k \ vert, 1} (v_ {\ infty, y} + ikv_ {\ infty, x}),}$${\ Displaystyle \ delta _ {\ vert k \ vert, 1}}$ to delta Kroneckera , ${\ Displaystyle v _ {\ infty, x}$ , ${\ Displaystyle v _ {\ infty, y}}$ to współrzędne kartezjańskie ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ infty}}$ .

W szczególności z warunku braku poślizgu wynika ortogonalność wirowości do jądra transformacji Webera: ${\ Displaystyle W_ {k, k-1}}$ :

$${\ Displaystyle \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} r ^ {- \ vert k \ vert +1} w_ {k} (r) dr = 0 ~ dla ~ | k |> 1 .}$$

Przepływ wirowy i jego warunek brzegowy

Wirowość ${\ Displaystyle w (t, \ mathbf {x})}$ dla przepływu Stokesa spełnia równanie wirowości

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe w (t, \ mathbf {x})} {\ częściowe t}} - \ Delta w = 0,}$$

lub pod względem współczynników Fouriera w rozszerzeniu o kąt biegunowy

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe w_ {k} (t, r)}} {\ częściowe t}} - \ Delta w_ {k} = 0 ,}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ Delta _ {k} w_ {k} (t, r) = {\ Frac {1} {r}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r {\ frac { \partial }{\częściowe r}}w_{k}(t,r)\right)-{\frac {k^{2}}{r^{2}}}w_{k}(t,r). }$$

Od warunku antypoślizgowego wynika

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} r ^ {- \ vert k \ vert +1}w_{k}(t,r)dr=0.}$$

Ostatecznie, całkując przez części, otrzymujemy warunek brzegowy Robina dla wirowości:

$${\ Displaystyle \ int _ {r_ {0}} ^ {\ infty} s ^ {- | k | + 1} \ Delta _ {k} w_ {k} (t, r) dr = -r_{0}^{-|k|}\left(r_{0}{\frac {\częściowe w_{k}(t,r)}{\częściowe r}}{\Duże |}_{r= r_{0}}+|k|w_{k}(t,r_{0})\prawo)=0.}$$

Wtedy rozwiązanie problemu wartości brzegowych można wyrazić za pomocą powyższej całki Webera.

Uwaga

Wzór na wirowość może dać inne wyjaśnienie paradoksu Stokesa. do ${\ Displaystyle {\ Frac {C} {r ^ {k}}} \ in ker (\ Delta _ {k}), ~ k>$ należą do jądra ${\ Displaystyle \ Delta _ {k}}$ i wygenerować stacjonarne rozwiązania równania wirowości z warunkiem brzegowym typu Robina. Z powyższych argumentów wynika, że ​​dowolny przepływ wirowy Stokesa z warunkiem brzegowym braku poślizgu musi być ortogonalny do otrzymanych rozwiązań stacjonarnych. Jest to możliwe tylko dla ${\ displaystyle w \ równoważnik 0}$ .

Zobacz też

• Przybliżenie Oseena
• Prawo Stokesa