Równanie wirowości

Równanie wirowości dynamiki płynów opisuje ewolucję wirowości ω $cząstki$ płynu, gdy porusza się ona z przepływem ; to znaczy lokalny obrót płynu (z punktu widzenia rachunku wektorowego jest to zakrzywienie prędkości przepływu ). Rządzące równanie to:

$_ }}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega}}\\&=({\boldsymbol {\omega}}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol { \omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B}}}{\rho }}\right)\end {wyrównane}}}$

gdzie $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} D / Dt$ jest operatorem pochodnej materiałowej , $u$ jest prędkością przepływu , $ρ$ jest lokalną gęstością płynu , $p$ jest lokalnym ciśnieniem , $τ$ jest tensorem naprężenia lepkiego , a $B$ reprezentuje sumę zewnętrznych sił ciała . Pierwszy termin źródłowy po prawej stronie reprezentuje rozciąganie wirowe .

Równanie jest ważne przy braku skoncentrowanych momentów obrotowych i sił liniowych dla ściśliwego płynu newtonowskiego . W przypadku przepływu nieściśliwego (tj. o niskiej liczbie Macha ) i płynów izotropowych , przy zachowawczych siłach ciała, równanie upraszcza się do równania transportu wirowości :

{\ Displaystyle {\ Frac {D {\ pogrubiony symbol {\ omega}}} {Dt}} = \ lewo ({\ pogrubiony symbol {\ omega}} \ cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega}}}

gdzie $ν$ jest lepkością kinematyczną i jest operatorem Laplace'a . ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$ Przy dalszym założeniu przepływu dwuwymiarowego równanie upraszcza się do:

{\ Displaystyle {\ Frac {D {\ boldsymbol {\ omega}}} {Dt}} = \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}

Interpretacja fizyczna

Składnik $D ω / Dt$ po lewej stronie jest pochodną materialną wektora wirowości $ω$ . Opisuje szybkość zmiany wirowości poruszającej się cząstki płynu. Zmianę tę można przypisać niestałości przepływu ( $\partial ω / \partial t$ , składnik niestacjonarny ) lub ruchowi cząstki płynu podczas przemieszczania się z jednego punktu do drugiego ( $(u ∙ \nabla) ω$ , składnik konwekcyjny ) .
Wyrażenie $(ω ∙ \nabla) u$ po prawej stronie opisuje rozciąganie lub nachylenie wirowości w wyniku gradientów prędkości przepływu. Zauważ, że $(ω ∙ \nabla) u$ jest wielkością wektorową, ponieważ $ω ∙ \nabla$ jest skalarnym operatorem różniczkowym, podczas gdy $\nabla u$ jest dziewięcioelementową wielkością tensorową.
Termin $ω (\nabla ∙ u)$ opisuje rozciąganie wirowości pod wpływem ściśliwości przepływu. Wynika to z równania Naviera-Stokesa dla ciągłości , a mianowicie ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe \ rho}} \partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\ rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{wyrównane}}}$ gdzie $v = 1 / ρ$ jest objętością właściwą elementu płynu. Można myśleć o $\nabla ∙ u$ jako o mierze ściśliwości przepływu. Czasami znak ujemny jest zawarty w terminie.
Termin $1 / ρ 2 \nabla ρ \times \nabla p$ jest terminem baroklinicznym . Uwzględnia zmiany wirowości spowodowane przecięciem powierzchni gęstości i ciśnienia.
Termin $\nabla \times (\nabla ∙ τ / ρ)$ uwzględnia dyfuzję wirowości spowodowaną efektami lepkości.
Wyrażenie $\nabla \times B$ przewiduje zmiany wywołane zewnętrznymi siłami ciała. Są to siły rozłożone na trójwymiarowy obszar płynu, takie jak grawitacja lub siły elektromagnetyczne . (W przeciwieństwie do sił, które działają tylko na powierzchnię (jak ciągnięcie po ścianie) lub linii (jak napięcie powierzchniowe wokół menisku ).

uproszczenia

W przypadku zachowawczych sił ciała ∇ $\times B = 0$ .
Dla płynu barotropowego $\nabla ρ \times \nabla p = 0$ . Dotyczy to również płynu o stałej gęstości (w tym płynu nieściśliwego), gdzie $\nabla ρ = 0$ . Należy zauważyć, że nie jest to to samo, co przepływ nieściśliwy , dla którego nie można pominąć składnika barotropowego.
W przypadku płynów nielepkich tensor lepkości $τ$ wynosi zero.

Zatem dla nielepkiego płynu barotropowego z zachowawczymi siłami ciała równanie wirowości upraszcza się do

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac {\ boldsymbol {\ omega}} {\ rho}} \ prawej) =\left({\frac {\boldsymbol {\omega}}{\rho}}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}}

Alternatywnie, w przypadku płynu nieściśliwego, nielepkiego o zachowawczych siłach ciała,

{\ Displaystyle {\ Frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} = {\ Frac {\ częściowy {\boldsymbol {\omega}}}{\częściowy t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla){\boldsymbol {\omega}}=({\boldsymbol {\omega}}\cdot \nabla )\mathbf {u} }

Aby zapoznać się z krótkim przeglądem dodatkowych przypadków i uproszczeń, zob. Aby zapoznać się z równaniem wirowości w teorii turbulencji, w kontekście przepływów w oceanach i atmosferze, zob.

Pochodzenie

Równanie wirowości można wyprowadzić z równania zachowania momentu pędu Naviera-Stokesa . W przypadku braku skoncentrowanych momentów obrotowych i sił liniowych otrzymuje się:

{\ Displaystyle {\ Frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = { \frac {\częściowe \mathbf {u} }{\częściowe t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho} }\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B}}}{\rho }}}

Teraz wirowość jest definiowana jako zakrzywienie wektora prędkości przepływu; biorąc zwijanie równania pędu, otrzymujemy pożądane równanie. Następujące tożsamości są przydatne do wyprowadzenia równania:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ boldsymbol {\ omega}} & = \ nabla \ razy \ mathbf {u} \\\ lewo (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ po prawej) \ mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\ \nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right )+\left({\boldsymbol {\omega}}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega}}\ \[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega}}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}

gdzie jest $skalarnym$ .

Notacja tensorowa

Równanie wirowości można wyrazić w notacji tensorowej, stosując konwencję sumowania Einsteina i symbol Levi-Civita $e ijk$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {D \ omega _ {i}} {Dt}} & = {\ Frac {\ częściowe \ omega _ {i}} {\ częściowe t}} + v_ {j }{\frac {\częściowe \omega _{i}}{\częściowe x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\częściowe v_{i}}{\częściowe x_{j }}}-\omega _{i}{\frac {\częściowe v_{j}}{\częściowe x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}} {\frac {\częściowy \rho}}{\częściowy x_{j}}}{\frac {\częściowy p}{\częściowy x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\częściowy \tau _{km}}{\częściowy x_{m}}}\right)+e_{ijk} {\frac {\częściowe B_{k}}{\częściowe x_{j}}}\end{wyrównane}}}

W naukach szczegółowych

Nauki o atmosferze

W naukach o atmosferze równanie wirowości można przedstawić w kategoriach bezwzględnej wirowości powietrza względem układu inercjalnego lub wirowości względem obrotu Ziemi. Wersja absolutna jest

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ eta} {dt}} = - \ eta \ nabla _ {\ tekst {h}} \ cdot \ mathbf {v} _ {\ tekst {h}} - \ lewo ({\ frac {\częściowy w}{\częściowy x}}{\frac {\częściowy v}{\częściowy z}}-{\frac {\częściowy w}{\częściowy y}}{\frac {\częściowy u}{ \partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _ {\text{h}}\rho \right)}

Tutaj $η$ jest składową biegunową ( $z$ ) wirowości, $ρ jest$ gęstością atmosferyczną , $u$ , $v$ i w są składowymi prędkości wiatru , a $\nabla h$ jest dwuwymiarową (tj. składową poziomą) del .

Zobacz też

Dalsza lektura

Manna, Utpal; Sritharan, SS (2007). „Funkcjonały Lapunowa i lokalna dyssypatywność dla równania wirowości w przestrzeniach $L p i Besowa”.$ Równania różniczkowe i całkowe . 20 (5): 581–598. doi : 10.57262/die/1356039440 . S2CID 50701138 .
Barbu, V.; Sritharan, SS (2000). „ $M$ -akrecyjna kwantyzacja równania wirowości” (PDF) . W Balakrishnan, AV (red.). Półgrupy operatorów: teoria i zastosowania . Boston: Birkhauser. s. 296–303.
Krigel, AM (1983). „Ewolucja wiru”. Geofizyczna i astrofizyczna dynamika płynów . 24 (3): 213–223. Bibcode : 1983GApFD..24..213K . doi : 10.1080/03091928308209066 .