Paradoks chłopca czy dziewczynki

chłopca lub dziewczynki dotyczy zestawu pytań w teorii prawdopodobieństwa , które są również znane jako Problem Dwojga Dzieci , Dzieci Pana Smitha i Problem Pani Smith . Początkowe sformułowanie tego pytania sięga co najmniej 1959 roku, kiedy Martin Gardner przedstawił je w swojej kolumnie „Mathematical Games ” z października 1959 roku w „Scientific American” . Zatytułował go Problem dwojga dzieci i sformułował paradoks w następujący sposób:

Pan Jones ma dwoje dzieci. Starsze dziecko to dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwoje dzieci to dziewczynki?
Pan Smith ma dwoje dzieci. Przynajmniej jeden z nich to chłopiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwoje dzieci to chłopcy?

1/3 , ale później przyznał Gardner początkowo udzielił odpowiedzi odpowiednio 1/2 , . i że drugie pytanie było niejednoznaczne Jego odpowiedź mogła brzmieć 1 / 2 , w zależności od procedury, dzięki której uzyskano informację „co najmniej jeden z nich to chłopiec”. Niejednoznaczność, w zależności od dokładnego sformułowania i możliwych założeń, potwierdzili Maya Bar-Hillel i Ruma Falk oraz Raymond S. Nickerson .

Inne warianty tego pytania, o różnym stopniu niejednoznaczności, zostały spopularyzowane przez Ask Marilyn w Parade Magazine , Johna Tierneya z The New York Times i Leonarda Mlodinowa w The Drunkard's Walk . Jedno z badań naukowych wykazało, że gdy przekazano identyczne 1/2 , informacje , ale z różnymi, częściowo niejednoznacznymi sformułowaniami, które podkreślały różne punkty, odsetek studentów MBA , którzy odpowiedzieli zmienił się z 85% do 39%.

Paradoks wzbudził wiele kontrowersji. Paradoks wynika z tego, czy konfiguracja problemu jest podobna dla dwóch pytań. Intuicyjna odpowiedź to 1/2 . Ta odpowiedź jest intuicyjna, jeśli pytanie prowadzi czytelnika do przekonania, że istnieją dwie równie prawdopodobne możliwości płci drugiego dziecka (tj. chłopiec i dziewczynka) oraz że prawdopodobieństwo tych wyników jest bezwzględne, a nie warunkowe .

Wspólne założenia

Dwie możliwe odpowiedzi mają kilka wspólnych założeń. Po pierwsze zakłada się, że przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń można łatwo wyliczyć, podając ekstensjonalną definicję wyników: {BB, BG, GB, GG}. Ten zapis wskazuje, że istnieją cztery możliwe kombinacje dzieci, oznaczając chłopców B i dziewczynki G i używając pierwszej litery do reprezentowania starszego dziecka. Po drugie, zakłada się, że wyniki te są jednakowo prawdopodobne. Implikuje 1/2 : to następujący model , proces Bernoulliego z p =

Każde dziecko jest płci męskiej lub żeńskiej.
Każde dziecko ma taką samą szansę bycia mężczyzną, jak i kobietą.
Płeć każdego dziecka jest niezależna od płci drugiego.

Matematyczny wynik byłby taki sam, gdyby był sformułowany w kategoriach rzutu monetą .

Pierwsze pytanie

Pan Jones ma dwoje dzieci. Starsze dziecko to dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwoje dzieci to dziewczynki?

Przy powyższych założeniach w zadaniu tym wybierana jest losowa rodzina. W tej przykładowej przestrzeni występują cztery równie prawdopodobne zdarzenia:

Starsze dziecko	Młodsze dziecko
Dziewczyna	Dziewczyna
Dziewczyna	Chłopak
~~Chłopak~~	~~Dziewczyna~~
~~Chłopak~~	~~Chłopak~~

Tylko dwa z tych możliwych zdarzeń spełniają kryteria określone w pytaniu (tj. GG, GB). prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest również dziewczynką, wynosi 1/2 Ponieważ obie możliwości w nowej przestrzeni próbnej {GG, GB} są jednakowo prawdopodobne i tylko jedna z nich, GG, obejmuje dwie dziewczynki, .

Drugie Pytanie

Pan Smith ma dwoje dzieci. Przynajmniej jeden z nich to chłopiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwoje dzieci to chłopcy?

To pytanie jest identyczne z pytaniem pierwszym, z tą różnicą, że zamiast określać, że starsze dziecko jest chłopcem, określa się, że przynajmniej jedno z nich jest chłopcem. W odpowiedzi na krytykę czytelników dotyczącą pytania postawionego w 1959 roku Gardner powiedział, że żadna odpowiedź nie jest możliwa bez informacji, których nie podano. W szczególności, że dwie różne procedury ustalania, że „co najmniej jeden jest chłopcem” mogą prowadzić do dokładnie takiego samego sformułowania problemu. Ale prowadzą one do różnych poprawnych odpowiedzi:

Spośród wszystkich rodzin z dwójką dzieci, z których przynajmniej jedno jest chłopcem, losowo wybierana jest rodzina. Dałoby to odpowiedź 1 / 3 .
Ze wszystkich rodzin z dwójką dzieci losowo wybierane jest jedno dziecko i określa się płeć tego dziecka jako chłopca. Dałoby to odpowiedź 1 / 2 .

Grinstead i Snell argumentują, że pytanie jest niejednoznaczne w podobny sposób, jak zrobił to Gardner. Pozostawiają czytelnikowi decyzję, czy procedura, która daje 1/3 jako odpowiedź, jest rozsądna dla problemu, jak stwierdzono powyżej. Sformułowanie pytania, które rozważali, jest następujące:

Wyobraźmy sobie rodzinę z dwójką dzieci. Biorąc pod uwagę, że jedno z dzieci jest chłopcem, jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje dzieci to chłopcy?

W tym sformułowaniu dwuznaczność jest najwyraźniej obecna, ponieważ nie jest jasne, czy wolno przyjąć, że dane dziecko jest chłopcem, pozostawiając drugie dziecko niepewnym, czy też należy to interpretować tak samo, jak „przynajmniej jedno chłopak". Ta niejednoznaczność pozostawia wiele możliwości, które nie są równoważne, i pozostawia konieczność przyjęcia założeń dotyczących sposobu uzyskania informacji, jak argumentują Bar-Hillel i Falk, gdzie różne założenia mogą prowadzić do różnych wyników (ponieważ sformułowanie problemu nie zostało wystarczająco dobrze zdefiniowane, aby pozwalają na jedną prostą interpretację i odpowiedź).

Załóżmy na przykład, że obserwator widzi pana Smitha na spacerze z jednym z jego dzieci. Jeśli ma dwóch chłopców, to dziecko musi być chłopcem. Ale jeśli ma chłopca i dziewczynkę, to dziecko mogło być dziewczynką. Tak więc widok go z chłopcem eliminuje nie tylko kombinacje, w których ma dwie dziewczynki, ale także kombinacje, w których ma syna i córkę i wybiera córkę, z którą będzie chodzić.

Tak więc, chociaż jest z pewnością prawdą, że każdy możliwy Pan Kowalski ma co najmniej jednego chłopca (tj. warunek jest konieczny), nie można założyć, że każdy Pan Kowalski z co najmniej jednym chłopcem jest zamierzony. Oznacza to, że stwierdzenie problemu nie mówi, że posiadanie chłopca jest wystarczającym warunkiem, aby pan Smith został zidentyfikowany jako mający chłopca w ten sposób.

Komentując wersję problemu przedstawioną przez Gardnera, Bar-Hillel i Falk zauważają, że „Pan Smith, w przeciwieństwie do czytelnika, jest prawdopodobnie świadomy płci obojga swoich dzieci, kiedy wypowiada to stwierdzenie”, tj. „Mam dwoje dzieci i w przynajmniej jeden z nich jest chłopcem”. Należy ponadto założyć, że pan Smith zawsze zgłaszałby ten fakt Gardner , gdyby był prawdziwy, i albo milczał, albo twierdził, że ma co najmniej jedną córkę, aby poprawną odpowiedzią było 1/3, jak najwyraźniej pierwotnie zamierzał . Ale przy tym założeniu, jeśli milczy lub mówi, że ma córkę, istnieje 100% prawdopodobieństwo, że ma dwie córki.

Analiza niejednoznaczności

Jeśli założymy, że informacje te uzyskano, patrząc na oboje dzieci, aby zobaczyć, czy jest co najmniej jeden chłopiec, warunek jest zarówno konieczny, jak i wystarczający. Trzy z czterech równie prawdopodobnych zdarzeń dla rodziny z dwojgiem dzieci w powyższej przykładowej przestrzeni spełniają warunek, jak w tej tabeli:

Starsze dziecko	Młodsze dziecko
~~Dziewczyna~~	~~Dziewczyna~~
Dziewczyna	Chłopak
Chłopak	Dziewczyna
Chłopak	Chłopak

Jeżeli więc przyjąć, że przy poszukiwaniu chłopca brano pod uwagę oboje dzieci, to odpowiedź na pytanie 2 to 1 / 3 . Jeśli jednak najpierw wybrano rodzinę, a następnie dokonano losowego, prawdziwego stwierdzenia dotyczącego płci jednego dziecka z tej rodziny, niezależnie od tego, czy oba zostały uwzględnione, czy nie, właściwym sposobem obliczenia prawdopodobieństwa warunkowego jest nieliczenie wszystkich przypadków które obejmują dziecko tej płci. Zamiast tego należy wziąć pod uwagę tylko prawdopodobieństwa, w których oświadczenie zostanie złożone w każdym przypadku. Tak więc, jeśli ALOB reprezentuje zdarzenie, w którym stwierdzeniem jest „co najmniej jeden chłopiec”, a ALOG reprezentuje zdarzenie, w którym stwierdzeniem jest „co najmniej jedna dziewczyna”, to poniższa tabela opisuje przykładową przestrzeń:

Starsze dziecko	Młodsze dziecko	P (ta rodzina)	P (ALOB biorąc pod uwagę tę rodzinę)	P (ALOG biorąc pod uwagę tę rodzinę)	P(ALOB i ta rodzina)	P(ALOG i ta rodzina)
Dziewczyna	Dziewczyna	1 / 4	0	1	0	1 / 4
Dziewczyna	Chłopak	1 / 4	1 / 2	1 / 2	1 / 8	1 / 8
Chłopak	Dziewczyna	1 / 4	1 / 2	1 / 2	1 / 8	1 / 8
Chłopak	Chłopak	1 / 4	1	0	1 / 4	0

Tak więc, jeśli przynajmniej jeden jest chłopcem, gdy fakt jest wybierany losowo, prawdopodobieństwo, że obaj są chłopcami, wynosi

{\ Displaystyle \ operatorname {\ Frac {P (ALOB \; i \; BB)} {P (ALOB)}} = {\ Frac {\ Frac {1} {4}} {0 + {\ frac {1} {8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{2}}\,.}

Paradoks pojawia się wtedy, gdy nie wiadomo, w jaki sposób wygenerowano stwierdzenie „przynajmniej jeden jest chłopcem”. Każda odpowiedź może być poprawna, w oparciu o założenia.

Jednak odpowiedź „ 1/3 , czyli ” uzyskuje się tylko przy założeniu, że P(ALOB|BG) = P(ALOB|GB) =1, co implikuje P(ALOG|BG) = P(ALOG|GB) = 0 , płeć drugiego dziecka nigdy nie jest wymieniona, chociaż jest obecna. Jak mówią Marks i Smith: „Jednakże to skrajne założenie nigdy nie jest uwzględniane w prezentacji problemu dwojga dzieci iz pewnością nie jest tym, co ludzie mają na myśli, gdy go przedstawiają”.

Modelowanie procesu generatywnego

Innym sposobem analizy niejednoznaczności (w przypadku pytania 2) jest wyraźne określenie procesu generatywnego (wszystkie losowania są niezależne).

P $(c_ {1} = c_ {2} = B | \ operatorname {Obserwacja} )={\frac {1}{3}}}$ $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{3}}$ :
- do ${\ Displaystyle c_ {1}}$ Równie prawdopodobne z $, G \}}$
- do ${\ Displaystyle c_ {2}}$ Równie prawdopodobne z $, G \}}$
- Odrzuć przypadki, w których nie ma B
- Obserwuj ${\ Displaystyle c_ {1} = B \ lor c_ {2} = B}$
P ${\ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | \$ $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{2}}$ :
- do ${\ Displaystyle c_ {1}}$ Równie prawdopodobne z $, G \}}$
- do ${\ Displaystyle c_ {2}}$ Równie prawdopodobne z $Displaystyle \ {B, G \}}$
- Narysuj indeks $prawdopodobnie$ z ${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$
- obserwuj $\ displaystyle c_ {i} = B}$

Analiza bayesowska

Kierując się klasycznymi argumentami prawdopodobieństwa, rozważymy dużą urnę zawierającą dwoje dzieci. Przyjmujemy równe prawdopodobieństwo, że jest to chłopiec lub dziewczynka. Trzy dostrzegalne przypadki to zatem:

obie to dziewczyny (GG) – z prawdopodobieństwem P(GG) = 1 / 4 ,
obaj są chłopcami (BB) – z prawdopodobieństwem P(BB) = 1 / 4 , oraz
po jednym z każdego (G·B) – z prawdopodobieństwem P(G·B) = 1 / 2 .

To są wcześniejsze prawdopodobieństwa.

Teraz dodajemy dodatkowe założenie, że „co najmniej jeden jest chłopcem” = B. Korzystając z twierdzenia Bayesa , znajdujemy

{\ Displaystyle \ operatorname {P (BB \ mid B)} = \ operatorname {P (B \ mid BB) \ razy {\ Frac {P (BB)} {P (B)}}} = 1 \ razy {\ frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {1}{3}}\ ,.}

gdzie P(A|B) oznacza „prawdopodobieństwo A danego B”. P(B|BB) = prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden rozkładu chłopiec, biorąc pod uwagę, że obaj są chłopcami = 1. P(BB) = prawdopodobieństwo, że obaj chłopcy = 1/4 z wcześniejszego . P(B) = 1/4 prawdopodobieństwo , że 1/2 co najmniej jeden będzie chłopcem, co obejmuje przypadki BB i G· 3/4 B = + = .

1/2 niska chociaż naturalnym 1/3 to założeniem wydaje się być prawdopodobieństwo , więc wyprowadzona wynosi 1/4 wartość , 1/3 wydaje się , rzeczywista „normalna” wartość dla P(BB) więc faktycznie trochę wyżej .

Paradoks powstaje, ponieważ drugie założenie jest nieco sztuczne, a przy opisywaniu problemu w rzeczywistych warunkach sprawy stają się nieco lepkie. Skąd wiemy, że „przynajmniej” jeden to chłopiec? Jeden z opisów problemu mówi, że patrzymy przez okno i widzimy tylko jedno dziecko i jest to chłopiec. To brzmi jak to samo założenie. Jednak ten jest równoważny z „próbkowaniem” rozkładu (tj. wyjęciem jednego dziecka z urny, upewnieniem się, że jest to chłopiec, a następnie włożeniem na miejsce). Stwierdzenie „próbka to chłopiec” nazwijmy zdaniem „b”. Teraz mamy:

{\ Displaystyle \ operatorname {P (BB \ mid b)} = \ operatorname {P (b \ mid BB) \ razy {\ Frac {P (BB)} {P (b)}}} = 1 \ razy {\ frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}\ ,.}

Różnica polega tutaj na P(b), które jest po prostu prawdopodobieństwem wylosowania chłopca ze wszystkich możliwych przypadków (tj. bez „co najmniej”), które wyraźnie wynosi 1 / 2 .

Analiza bayesowska łatwo uogólnia się na przypadek, w którym złagodzimy założenie populacji 50:50. Jeśli nie mamy informacji o populacjach, to zakładamy „płaski priorytet”, tj. P(GG) = P(BB) = P(G·B) = 1 / 3 . W tym przypadku założenie „co najmniej” daje wynik P(BB|B) = 1 / 2 , a założenie próbkowania daje P(BB|b) = 2 / 3 , co również można wyprowadzić z reguły następstwa .

Analiza Martingale'a

Załóżmy, że ktoś założył się, że pan Smith ma dwóch chłopców i otrzymał uczciwe szanse. Jeden płaci 1 dolara, a oni otrzymają 4 dolary, jeśli ma dwóch chłopców. Wartość ich zakładu wzrośnie, gdy nadejdą dobre wieści. Jakie dowody sprawiłyby, że byliby bardziej zadowoleni z inwestycji? Dowiedzieć się, że co najmniej jedno dziecko na dwoje to chłopiec, czy dowiedzieć się, że co najmniej jedno dziecko na jedno to chłopiec?

To drugie jest a priori mniej prawdopodobne, a zatem lepsza wiadomość. Dlatego te dwie odpowiedzi nie mogą być takie same.

A teraz liczby. Jeśli postawimy na jedno dziecko i wygramy, wartość jego inwestycji podwoi się. Musi się ponownie podwoić, aby osiągnąć 4 $, więc szanse wynoszą 1 do 2.

Z drugiej strony, gdyby ktoś dowiedział się, że co najmniej jedno z dwojga dzieci jest chłopcem, inwestycja wzrasta tak, jakby postawił na to pytanie. Nasz 1 $ jest teraz wart 1 $ + 1 / 3 . Aby osiągnąć 4 dolary, musimy jeszcze trzykrotnie zwiększyć nasz majątek. Więc odpowiedź to 1 na 3.

Warianty pytania

Po spopularyzowaniu paradoksu przez Gardnera był on przedstawiany i omawiany w różnych formach. Pierwszy wariant przedstawiony przez Bar-Hillela i Falka brzmi następująco:

Pan Smith jest ojcem dwójki dzieci. Spotykamy go idącego ulicą z młodym chłopcem, którego z dumą przedstawia jako swojego syna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko pana Smitha jest również chłopcem?

Bar-Hillel i Falk wykorzystują ten wariant, aby podkreślić znaczenie uwzględnienia podstawowych założeń. Intuicyjna odpowiedź to 1/2 prawidłowe . i przy najbardziej naturalnych założeniach jest to Jednak ktoś może twierdzić, że „…zanim pan Smith zidentyfikuje chłopca jako swojego syna, wiemy tylko, że jest on albo ojcem dwóch chłopców, BB, albo dwóch dziewczynek, GG, albo po jednym z każdego z nich kolejność urodzenia, tj że . BG lub GB . Zakładając ponownie niezależność i równe prawdopodobieństwo, zaczynamy z prawdopodobieństwem 1/4, Smith jest ojcem dwóch chłopców. Odkrycie, że ma co najmniej jednego chłopca, wyklucza zdarzenie GG. Ponieważ pozostałe trzy 1/3 zdarzenia były jednakowo prawdopodobne, otrzymujemy prawdopodobieństwo dla BB”.

Naturalnym założeniem jest to, że pan Smith wybrał przypadkowo dziecko do towarzystwa. Jeśli tak, ponieważ prawdopodobieństwo, że kombinacja BB ma dwa razy większe prawdopodobieństwo, niż BG lub GB, spowoduje pojawienie się towarzysza spaceru chłopca (a kombinacja GG ma zerowe prawdopodobieństwo, wykluczając to), suma zdarzeń BG i GB staje się równie prawdopodobna ze zdarzeniem BB, i więc szansa, że drugie dziecko jest również chłopcem , wynosi 1/2 . Bar-Hillel i Falk proponują jednak alternatywny scenariusz. Wyobrażają sobie kulturę, w której chłopcy są niezmiennie wybierani zamiast dziewcząt na towarzyszy spacerów. 1/3 , że kombinacje BB, BG i GB z równym prawdopodobieństwem doprowadziły do powstania chłopca jako towarzysza spaceru, a zatem prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest również chłopcem, wynosi .

W 1991 roku Marilyn vos Savant odpowiedziała czytelnikowi, który poprosił ją o odpowiedź na wariant paradoksu chłopca lub dziewczynki, który obejmował psy rasy beagle. W 1996 roku ponownie opublikowała pytanie w innej formie. Pytania z 1991 i 1996 roku zostały sformułowane odpowiednio:

Właścicielka sklepu mówi, że ma do pokazania dwa młode beagle, ale nie wie, czy to samiec, samica czy para. Mówisz jej, że chcesz tylko samca, a ona dzwoni do gościa, który je kąpie. – Czy przynajmniej jeden jest mężczyzną? ona go pyta. "Tak!" informuje cię z uśmiechem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga osoba jest mężczyzną?
Powiedzmy, że kobieta i mężczyzna (którzy nie są spokrewnieni) mają po dwoje dzieci. Wiemy, że co najmniej jedno z dzieci kobiety jest chłopcem i że najstarszym dzieckiem mężczyzny jest chłopiec. Czy możesz wyjaśnić, dlaczego szanse, że kobieta ma dwóch chłopców, nie są równe szansom, że mężczyzna ma dwóch chłopców?

, drugiego sformułowania Vos Savant podał klasyczną odpowiedź, że szanse, że kobieta ma dwóch chłopców, wynoszą około 1/3 , 1/2 podczas szanse gdy że mężczyzna ma dwóch chłopców, wynoszą około . W odpowiedzi na odpowiedź czytelnika, która zakwestionowała jej analizę, vos Savant przeprowadził ankietę wśród czytelników, którzy mają dokładnie dwoje dzieci, z których przynajmniej jedno jest chłopcem. Spośród 17 946 odpowiedzi 35,9% zgłosiło dwóch chłopców.

Artykuły Vos Savanta zostały omówione przez Carltona i Stansfielda w artykule z 2005 roku w The American Statistician . Autorki nie omawiają możliwej niejednoznaczności pytania i dochodzą do wniosku, że jej odpowiedź jest poprawna z matematycznego punktu widzenia, biorąc pod uwagę założenia, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca lub dziewczynki jest równe, a płeć drugiego dziecka jest niezależna z pierwszego. Jeśli chodzi o jej ankietę, mówią, że „przynajmniej potwierdza ona prawidłowe twierdzenie vos Savant, że„ szanse ”postawione w pierwotnym pytaniu, choć podobnie brzmiące, są różne i że pierwsze prawdopodobieństwo jest z pewnością bliższe 1 do 3 niż do 1 w 2."

Carlton i Stansfield omówili wspólne założenia dotyczące paradoksu chłopca lub dziewczynki. Pokazują, że w rzeczywistości dzieci płci męskiej są bardziej prawdopodobne niż dzieci płci żeńskiej, a płeć drugiego dziecka nie jest niezależna od płci pierwszego. Autorzy konkludują, że chociaż założenia pytania są sprzeczne z obserwacjami, paradoks nadal ma wartość pedagogiczną, ponieważ „ilustruje jedno z bardziej intrygujących zastosowań prawdopodobieństwa warunkowego”. Oczywiście rzeczywiste wartości prawdopodobieństwa nie mają znaczenia; celem paradoksu jest wykazanie pozornie sprzecznej logiki, a nie rzeczywistych wskaźników urodzeń.

Informacje o dziecku

Załóżmy, że powiedziano nam nie tylko, że pan Smith ma dwoje dzieci, a jedno z nich jest chłopcem, ale także, że chłopiec urodził się we wtorek: czy to zmienia wcześniejsze analizy? Ponownie, odpowiedź zależy od tego, jak te informacje zostały przedstawione – jaki rodzaj procesu selekcji doprowadził do tej wiedzy.

Zgodnie z tradycją problemu, załóżmy, że w populacji rodzin z dwojgiem dzieci płeć dwojga dzieci jest od siebie niezależna, równie prawdopodobny chłopiec lub dziewczynka, oraz że data urodzenia każdego dziecka jest niezależna od drugiego dziecka . 1/7 Szansa na urodzenie się w danym dniu tygodnia wynosi .

Z twierdzenia Bayesa, że prawdopodobieństwo dwóch chłopców, biorąc pod uwagę, że jeden chłopiec urodził się we wtorek, jest określone wzorem:

{\ Displaystyle \ operatorname {P (BB \ mid B_ {T}) = {\ Frac {P (B_{T}\mid BB)\razy P(BB)}{P(B_{T})}}} }

1/7 , że prawdopodobieństwo urodzenia się we wtorek wynosi ε = , co zostanie ustalone po dojściu do rozwiązania ogólnego. Drugim czynnikiem w liczniku jest po prostu 1 / 4 , prawdopodobieństwo posiadania dwóch chłopców. Pierwszy wyraz w liczniku to prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden chłopiec urodzi się we wtorek, biorąc pod uwagę, że rodzina ma dwóch chłopców, lub 1 − (1 − ε ) ² (jeden minus prawdopodobieństwo, że żaden z chłopców nie urodzi się we wtorek). Dla mianownika rozłóżmy: ${\ Displaystyle \ operatorname {P (B_ {T}) = P (B_ {T} \ środkowy BB) P (BB) + P$ . Każdy termin jest ważony z prawdopodobieństwem 1 / 4 . Pierwszy wyraz jest już znany z poprzedniej uwagi, ostatni wyraz to 0 (nie ma chłopców). ${\ Displaystyle P (B_ {T} \ mid BG)}$ i ${\ Displaystyle P (B_ {T} \ mid GB)}$ jest ε jest jeden i tylko jeden chłopiec, więc ma ε szansę na urodzenie się we wtorek. Dlatego pełne równanie to:

{\ Displaystyle \ operatorname {P (BB \ mid B_ {T})} = {\ Frac {\ lewo (1- (1- \ varepsilon) ^ {2} \ prawej) \ razy {\ Frac {1}{4}}}{0+{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left( \varepsilon +\varepsilon -\varepsilon ^{2}\right)}}={\frac {1-(1-\varepsilon )^{2}}{4\varepsilon -\varepsilon ^{2}}}}

Dla

{\ Displaystyle \ varepsilon > 0}

, to redukuje się do

{\ Displaystyle \ operatorname {P (BB \ mid B_ {T})} = {\ Frac {2-\varepsilon }{4-\varepsilon }}}

Jeśli ε czyli jest . teraz ustawione na 1/7 13/27 , , prawdopodobieństwo wynosi około 0,48 W rzeczywistości, gdy ε zbliża się do 0, całkowite prawdopodobieństwo spada do 1 / 2 , co jest odpowiedzią oczekiwaną, gdy pobiera się próbkę jednego dziecka (np. najstarszym dzieckiem jest chłopiec) i tym samym usuwa się go z puli możliwych dzieci. Innymi słowy, w miarę jak podaje się coraz więcej szczegółów dotyczących chłopca (na przykład: urodzony 1 stycznia), prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie dziewczynką, zbliża się do połowy.

Wydaje się, że wprowadzono zupełnie nieistotne informacje, jednak prawdopodobieństwo płci drugiego dziecka zmieniło się diametralnie w stosunku do tego, co było wcześniej (szansa, że drugie dziecko jest dziewczynką wynosiła 2 / 3 , kiedy nie było wiadomo, że chłopiec urodzony we wtorek).

Aby zrozumieć, dlaczego tak jest, wyobraź sobie, że Marilyn vos Savant w ankiecie czytelników zapytała, w jaki dzień tygodnia urodzili się chłopcy w rodzinie. Gdyby następnie Marilyn podzieliła cały zbiór danych na siedem grup – po jednej dla każdego dnia tygodnia, w którym urodził się syn – sześć z siedmiu rodzin z dwoma chłopcami zostałoby zliczonych w dwie grupy (grupa dla dnia tygodnia, w którym urodził się chłopiec 1, a grupa dnia tygodnia urodzenia chłopca 2), podwajając w każdej grupie prawdopodobieństwo kombinacji chłopiec-chłopiec.

Czy jednak naprawdę jest prawdopodobne, że rodzina z co najmniej jednym chłopcem urodzonym we wtorek została stworzona przez wybranie losowo tylko jednej z takich rodzin? O wiele łatwiej wyobrazić sobie następujący scenariusz.

Wiemy, że pan Smith ma dwoje dzieci. Pukamy do jego drzwi i przychodzi chłopiec i otwiera drzwi. Pytamy chłopca, w jaki dzień tygodnia się urodził.

Załóżmy, że o tym, które z dwojga dzieci otworzy drzwi, decyduje przypadek. Następnie procedura była następująca: (1) wybierz losowo rodzinę z dwojgiem dzieci spośród wszystkich rodzin z dwójką dzieci (2) wybierz losowo jedno z dwojga dzieci, (3) sprawdź, czy to chłopiec i zapytaj, w którym dniu się urodził . 1/2 , że drugim dzieckiem będzie dziewczynka, wynosi . Jest to zupełnie inna procedura niż (1) losowanie rodziny z dwojgiem dzieci spośród wszystkich rodzin z dwojgiem dzieci, z których przynajmniej jedno jest chłopcem, urodzonym we wtorek. Prawdopodobieństwo, że rodzina składa się z chłopca i dziewczynki wynosi 14 / 27 , czyli około 0,52.

Ten wariant problemu chłopca i dziewczynki jest omawiany na wielu blogach internetowych i jest tematem artykułu Rumy Falk. Morał z tej historii jest taki, że te prawdopodobieństwa zależą nie tylko od znanych informacji, ale także od tego, jak te informacje zostały uzyskane.

Badanie psychologiczne

Z punktu widzenia analizy statystycznej pytanie jest często niejednoznaczne i jako takie nie ma „poprawnej” odpowiedzi. Jednak to nie wyczerpuje paradoksu chłopca lub dziewczynki, ponieważ niekoniecznie dwuznaczność wyjaśnia, w jaki sposób uzyskuje się intuicyjne prawdopodobieństwo. prawdopodobieństwem 1/2 przez vos Savant sugeruje, że większość ludzi przyjmuje takie rozumienie problemu Gardnera, że gdyby byli konsekwentni, doprowadziłoby ich to do odpowiedzi z prawdopodobieństwem 1/3 odpowiedzi z , ale w przeważającej większości ludzie intuicyjnie dochodzą do . Niezależnie od niejednoznaczności problem ten jest interesujący dla badaczy psychologii, którzy starają się zrozumieć, w jaki sposób ludzie szacują prawdopodobieństwo.

Fox i Levav (2004) wykorzystali ten problem (nazywany problemem pana Smitha , przypisywany Gardnerowi, ale nie sformułowany dokładnie tak samo jak wersja Gardnera) do testowania teorii dotyczących tego, jak ludzie szacują prawdopodobieństwa warunkowe. W tym badaniu paradoks został przedstawiony uczestnikom na dwa sposoby:

„Pan Smith mówi:„ Mam dwoje dzieci i przynajmniej jedno z nich jest chłopcem ”. Biorąc pod uwagę te informacje, jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest chłopcem?”
„Pan Smith mówi:„ Mam dwoje dzieci i nie jest tak, że obie są dziewczynkami ”. Biorąc pod uwagę te informacje, jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje dzieci to chłopcy?

Autorzy argumentują, że pierwsze sformułowanie daje czytelnikowi błędne wrażenie, że istnieją dwa możliwe wyniki dla „drugiego dziecka”, podczas gdy drugie sformułowanie daje czytelnikowi wrażenie, że istnieją cztery możliwe wyniki, z których jeden został odrzucony (w rezultacie gdzie 1/3 ) . to prawdopodobieństwo, że oboje dzieci będą chłopcami, ponieważ są 3 pozostałe możliwe wyniki, z których tylko jeden jest taki, że oboje dzieci to chłopcy 1/2 Badanie wykazało , że 85% uczestników odpowiedziało na pierwszą formułę, podczas gdy tylko 39% odpowiedziało w ten sposób na drugą formułę. Autorzy argumentowali, że powodem, dla którego ludzie odpowiadają inaczej na każde pytanie (wraz z innymi podobnymi problemami, takimi jak problem Monty'ego Halla i paradoks pudełka Bertranda ) jest użycie naiwnych heurystyk , które nie potrafią właściwie zdefiniować liczby możliwych wyników.

Zobacz też

Linki zewnętrzne