Problem z dwiema kopertami

Problem dwóch obwiedni , znany również jako paradoks wymiany , jest paradoksem teorii prawdopodobieństwa . Jest to szczególnie interesujące w teorii decyzji iw Bayesowskiej interpretacji teorii prawdopodobieństwa . Jest to wariant starszego problemu znanego jako paradoks krawata . Problem jest zwykle wprowadzany przez sformułowanie hipotetycznego wyzwania, takiego jak poniższy przykład:

Wyobraź sobie, że dostajesz dwie identyczne koperty , z których każda zawiera pieniądze. Jeden zawiera dwa razy więcej niż drugi. Możesz wybrać jedną kopertę i zatrzymać zawarte w niej pieniądze. Po wybraniu koperty do woli, ale przed jej sprawdzeniem, masz szansę zamienić koperty. Czy powinieneś się przełączyć?

Ponieważ sytuacja jest symetryczna, wydaje się oczywiste, że nie ma sensu zmieniać obwiedni. Z drugiej strony, prosta kalkulacja przy użyciu wartości oczekiwanych prowadzi do przeciwnego wniosku, że wymiana kopert jest zawsze korzystna, ponieważ osoba, która się zmieni, może zyskać dwa razy więcej pieniędzy, a jedyne ryzyko to zmniejszenie o połowę tego, co obecnie ma.

Wstęp

Problem

Konfiguracja podstawowa : Osoba otrzymuje dwie nierozróżnialne koperty, z których każda zawiera pewną sumę pieniędzy. Jedna koperta zawiera dwa razy więcej niż druga. Osoba może wybrać jedną kopertę i zatrzymać dowolną kwotę, jaka się w niej znajduje. Wybierają losowo jedną kopertę, ale zanim ją otworzą, mają szansę wziąć drugą kopertę.

Argument zamiany : Załóżmy teraz, że osoba rozumuje w następujący sposób:

Oznacz przez A kwotę w kopercie wybranej przez gracza.
Prawdopodobieństwo, że A jest mniejszą kwotą, wynosi 1/2, a że jest to większa kwota, również wynosi 1/2.
Druga koperta może zawierać 2 A lub A /2.
Jeśli A jest mniejszą kwotą, to druga koperta zawiera 2 A .
Jeśli A jest większą kwotą, to druga koperta zawiera A /2.
Zatem druga koperta zawiera 2 A z prawdopodobieństwem 1/2 i A /2 z prawdopodobieństwem 1/2.
Tak więc oczekiwana wartość pieniędzy w drugiej kopercie wynosi:
${\ Displaystyle {1 \ ponad 2} (2A) + {1 \ ponad 2} \ lewo({A \ponad 2}\prawo)={5 \ponad 4}A}$
To jest większe niż A , więc średnio osoba uzasadnia, że może zyskać na zamianie.
Po zamianie oznacz tę treść przez B i rozumuj dokładnie w taki sam sposób jak powyżej.
Osoba dochodzi do wniosku, że najbardziej racjonalną rzeczą do zrobienia jest ponowna zamiana.
W ten sposób osoba będzie wymieniać koperty w nieskończoność.
Ponieważ bardziej racjonalne jest po prostu otwarcie koperty niż zamiana w nieskończoność, gracz dochodzi do sprzeczności.

Zagadka : Zagadka polega na znalezieniu błędu w powyższym rozumowaniu. Obejmuje to dokładne określenie, dlaczego iw jakich warunkach ten krok nie jest prawidłowy, aby mieć pewność, że nie popełnisz tego błędu w sytuacji, w której błąd może nie być tak oczywisty. Krótko mówiąc, problem polega na rozwiązaniu paradoksu. W szczególności zagadki nie można rozwiązać, znajdując inny sposób obliczania prawdopodobieństw, który nie prowadzi do sprzeczności.

Wielość proponowanych rozwiązań

Zaproponowano wiele rozwiązań i zwykle jeden autor proponuje rozwiązanie problemu, jak stwierdzono, po czym inny autor pokazuje, że zmiana problemu nieco ożywia paradoks. Takie sekwencje dyskusji stworzyły rodzinę ściśle powiązanych sformułowań problemu, czego efektem jest obszerna literatura na ten temat.

Żadne proponowane rozwiązanie nie jest powszechnie akceptowane jako ostateczne; mimo to autorzy często twierdzą, że rozwiązanie problemu jest proste, wręcz elementarne. Jednak badając te elementarne rozwiązania, często różnią się one od jednego autora do drugiego.

Przykładowa rozdzielczość

$kopertą$ $,$ że całkowita kwota w $jest$ , z jedną Jeśli najpierw wybierzesz kopertę $uzyskasz$ kwotę $.$ zamianę Jeśli najpierw wybierzesz kopertę, stracisz kwotę $x}$ $displaystyle$ przez zamianę. Więc zyskujesz średnio ${\ Displaystyle G = {1 \ ponad 2} (x) + {1 \ ponad 2} ( -x)={1 \over 2}(xx)=0}$ przez zamianę.

Tak więc przy założeniu, że całkowita kwota jest ustalona, zamiana nie jest lepsza niż zatrzymanie. mi ${\ Displaystyle \ operatorname {E} = {\ Frac {1} {2}} 2x + {\ Frac {1} {2}} x =$ jest taki sam dla obu kopert. Zatem nie istnieje żadna sprzeczność.

Słynną mistyfikację wywołuje mylenie sytuacji, w której łączna kwota w dwóch kopertach jest ustalona z sytuacją, w której kwota w jednej kopercie jest ustalona, a druga może być albo dwukrotna, albo o połowę mniejsza. Tak zwany "paradoks" przedstawia dwie już wyznaczone i już zamknięte koperty, gdzie jedna koperta jest już zablokowana kwotą dwukrotnie większą od drugiej już zamkniętej koperty. Podczas gdy krok 6 odważnie stwierdza: „Tak więc druga koperta zawiera 2A z prawdopodobieństwem 1/2 i A/2 z prawdopodobieństwem 1/2”, w danej sytuacji twierdzenie to nigdy nie może mieć zastosowania do żadnego A ani do dowolny przeciętny A.

To twierdzenie nigdy nie jest poprawne w przedstawionej sytuacji, to twierdzenie dotyczy tylko asymetrycznego wariantu Nalebuffa (patrz poniżej). W przedstawionej sytuacji druga koperta nie może generalnie zawierać 2A, $. 3}}}$ może zawierać 2A tylko w bardzo konkretnym przypadku, gdy koperta A przypadkowo mniejszą ilość , ale nigdzie indziej. Druga koperta nie może generalnie zawierać A/2, ale może zawierać A/2 tylko w bardzo konkretnym przypadku, gdy koperta A przypadkiem rzeczywiście zawiera ${\ Displaystyle 2 {\ Frac {\ tekst {Razem}} {3}}}$ , ale nigdzie indziej. Różnica między dwiema już wyznaczonymi i zamkniętymi kopertami jest $.$ Żadna „średnia kwota A” nie może nigdy stanowić żadnej początkowej podstawy dla jakiejkolwiek wartości oczekiwanej , ponieważ nie dociera to do sedna problemu.

Inne proste postanowienia

Szeroko dyskutowanym sposobem rozwiązania paradoksu, zarówno w literaturze popularnej, jak i części literatury akademickiej, zwłaszcza w filozofii, jest założenie, że „A” w kroku 7 ma być wartością oczekiwaną w kopercie A i że zamierzaliśmy zapisać wzór na wartość oczekiwaną w kopercie B.

Krok 7 stwierdza, że oczekiwana wartość w B = 1/2( 2A + A/2 )

Zwraca się uwagę, że „A” w pierwszej części wzoru jest wartością oczekiwaną, biorąc pod uwagę, że koperta A zawiera mniej niż koperta B, ale „A” w drugiej części wzoru jest wartością oczekiwaną w A , biorąc pod uwagę, że koperta A zawiera więcej niż koperta B. Wada tego argumentu polega na tym, że ten sam symbol jest używany w dwóch różnych znaczeniach w obu częściach tego samego obliczenia, ale zakłada się, że ma tę samą wartość w obu przypadkach. Ta linia argumentacji została wprowadzona przez McGrew, Shier i Silverstein (1997).

Prawidłowe obliczenie wyglądałoby tak:

Oczekiwana wartość w B = 1/2 ( (Oczekiwana wartość w B, podane A jest większe niż B) + (Oczekiwana wartość w B, podane A jest mniejsze niż B) )

Jeśli następnie weźmiemy sumę w jednej kopercie jako x, a sumę w drugiej jako 2x, obliczenie wartości oczekiwanej wygląda następująco:

Oczekiwana wartość w B = 1/2 ( x + 2 x )

co jest równe oczekiwanej sumie w A.

W języku nietechnicznym błąd (patrz paradoks krawata ) polega na tym, że w przedstawionym scenariuszu matematyka używa względnych wartości A i B (to znaczy zakłada, że można by zarobić więcej pieniędzy, gdyby A było mniejsze niż B niż przegralibyśmy, gdyby było odwrotnie). Jednak dwie wartości pieniądza są ustalone (jedna koperta zawiera, powiedzmy, 20 dolarów, a druga 40 dolarów). Jeśli wartości obwiedni zostaną przekształcone jako x i 2 x , znacznie łatwiej będzie zauważyć, że gdyby A było większe, stracilibyśmy x przez zamianę, a gdyby B było większe, zyskalibyśmy x przez przełączanie. Nie zyskuje się większej sumy pieniędzy poprzez zamianę, ponieważ suma T A i B (3 x ) pozostaje taka sama, a różnica x jest ustalona na T/3 .

Wiersz 7 powinien był zostać opracowany dokładniej w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {E} (B) & = \ nazwa operatora {E} (B \ mid A <B) P (A <B) + \ nazwa operatora {E} (B \ mid A> B)P(A>B)\\&=\nazwa_operatora {E} (2A\mid A<B){\frac {1}{2}}+\nazwa_operatora {E} \left({\frac {1} {2}}A\mid A>B\right){\frac {1}{2}}\\&=\operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4} }\operatorname {E} (A\mid A>B)\end{wyrównane}}}

A będzie większe, gdy A jest większe niż B, niż gdy jest mniejsze niż B. Zatem jego wartości średnie (wartości oczekiwane) w tych dwóch przypadkach są różne. W każdym razie średnia wartość A nie jest taka sama jak samo A. Popełniane są dwa błędy: autor zapomniał, że przyjmuje wartości oczekiwane i zapomniał, że przyjmuje wartości oczekiwane w dwóch różnych warunkach.

Łatwiej byłoby obliczyć E(B) bezpośrednio. Oznaczając niższą z dwóch kwot przez x i uznając ją za ustaloną (nawet jeśli jest nieznana), znajdujemy to

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} (B) = {\ Frac {1} {2}} 2x + {\ Frac {1} {2} }x={\frac {3}{2}}x}

Dowiadujemy się, że 1,5 x to oczekiwana wartość kwoty w Kopertach B. W ten sam sposób obliczamy, że jest to również oczekiwana wartość kwoty w Kopertach A. Są one takie same, więc nie ma powodu, aby preferować jedną kopertę od drugiej. Wniosek ten był oczywiście oczywisty z góry; chodzi o to, że zidentyfikowaliśmy fałszywy krok w argumencie za zmianą, wyjaśniając dokładnie, gdzie dokonywane tam obliczenia poszły w złym kierunku.

Moglibyśmy również kontynuować od poprawnego, ale trudnego do interpretacji wyniku rozwoju w linii 7:

{\ Displaystyle \ operatorname {E} (B) = \operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4}}\operatorname {E} (A\mid A>B)=x+{\frac {1}{4}}2x ={\frac {3}{2}}x}

więc (oczywiście) różne trasy do obliczenia tego samego dają tę samą odpowiedź.

Tsikogiannopoulos przedstawił inny sposób wykonywania tych obliczeń. Z definicji poprawne jest przypisanie równych prawdopodobieństw zdarzeniom, że druga koperta zawiera podwójną lub połowę kwoty w kopercie A. Tak więc „argument zamiany” jest poprawny do kroku 6. Biorąc pod uwagę, że koperta gracza zawiera kwotę A, on rozróżnia rzeczywistą sytuację w dwóch różnych grach: pierwsza gra byłaby rozgrywana kwotami (A, 2A), a druga gra kwotami (A/2, A). Tylko jeden z nich jest faktycznie odtwarzany, ale nie wiemy, który. Te dwie gry należy traktować inaczej. Jeśli gracz chce obliczyć swój oczekiwany zwrot (zysk lub stratę) w przypadku wymiany, powinien zważyć zwrot uzyskany z każdej gry przez średnią kwotę w dwóch kopertach w tej konkretnej grze. W pierwszym przypadku zysk wyniósłby A przy średniej kwocie 3A/2, natomiast w drugim przypadku strata wyniosłaby A/2 przy średniej kwocie 3A/4. Tak więc formuła oczekiwanego zwrotu w przypadku wymiany, rozumiana jako proporcja całkowitej kwoty w obu kopertach, jest następująca:

{\ Displaystyle E = {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {+ A} {3A /2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-A/2}{3A/4}}=0}

Wynik ten oznacza po raz kolejny, że gracz nie może spodziewać się ani zysku, ani straty, wymieniając swoją kopertę.

Moglibyśmy faktycznie otworzyć naszą kopertę przed podjęciem decyzji o zmianie lub nie, a powyższa formuła nadal dawałaby nam prawidłowy oczekiwany zwrot. Na przykład, gdybyśmy otworzyli naszą kopertę i zobaczyli, że zawiera ona 100 euro, to ustawilibyśmy A=100 w powyższym wzorze, a oczekiwany zwrot w przypadku zamiany wyniósłby:

{\ Displaystyle E = {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {+ 100} {150}} + {\ Frac {1 }{2}}\cdot {\frac {-50}{75}}=0}

Asymetryczny wariant Nalebuffa

Mechanizm, za pomocą którego określane są kwoty obu kopert, ma kluczowe znaczenie dla decyzji gracza o zamianie kopert. Załóżmy, że kwoty w dwóch kopertach A i B nie zostały określone przez ustalenie zawartości dwóch kopert E1 i E2, a następnie losowe nazwanie ich A i B (na przykład przez rzut uczciwą monetą). Zamiast tego zaczynamy od samego początku, wkładając pewną kwotę do koperty A, a następnie wypełniając B w sposób zależny zarówno od przypadku (rzut monetą), jak i od tego, co włożymy do koperty A. Załóżmy, że przede wszystkim kwota a w kopercie A jest ustalana w taki czy inny sposób, a następnie kwota w kopercie B jest ustalana w zależności od tego, co już znajduje się w A, zgodnie z wynikiem uczciwej monety. Jeśli moneta wypadła orzeł, to 2 a jest wkładana do koperty B, jeśli moneta wypadła reszka, to / 2 jest umieszczane w kopercie B. Jeśli gracz był świadomy tego mechanizmu i wiedział, że posiada kopertę A, ale tego nie zrobił znasz wynik rzutu monetą i nie znasz a , to argument przełączania jest poprawny i zaleca się przełączanie obwiedni. Ta wersja problemu została wprowadzona przez Nalebuffa (1988) i jest często nazywana problemem Ali-Baby. Zauważ, że nie ma potrzeby zaglądania do koperty A, aby zdecydować, czy się przełączyć.

Wprowadzono wiele innych wariantów problemu. Nickerson i Falk systematycznie badają łącznie 8 osób.

Rozdzielczość bayesowska

Powyższe proste rozwiązanie zakładało, że osoba, która wymyśliła argument za zamianą, próbowała obliczyć wartość oczekiwaną kwoty w kopercie A, myśląc, że dwie kwoty w kopertach są ustalone ( x i 2 x ) . Jedyną niepewnością jest to, która koperta ma mniejszą wartość x . Jednak wielu matematyków i statystyków interpretuje ten argument jako próbę obliczenia oczekiwanej kwoty w kopercie B, biorąc pod uwagę rzeczywistą lub hipotetyczną kwotę „A” w kopercie A. Nie trzeba zaglądać do koperty, aby zobaczyć, ile tam jest , aby wykonać obliczenia. Jeśli wynikiem obliczeń jest rada zamiany kopert, bez względu na to, jaka jest w nich kwota, to wydaje się, że należy tak czy inaczej, bez patrzenia. W tym przypadku w krokach 6, 7 i 8 rozumowania „A” oznacza dowolną ustaloną możliwą wartość kwoty pieniężnej w pierwszej kopercie.

Taka interpretacja problemu dwóch obwiedni pojawia się w pierwszych publikacjach, w których paradoks został przedstawiony w jego dzisiejszej postaci, Gardner (1989) i Nalebuff (1989). Jest to powszechne w bardziej matematycznej literaturze dotyczącej tego problemu. Dotyczy to również modyfikacji problemu (który, jak się wydaje, zaczął się od Nalebuffa), w którym właściciel koperty A rzeczywiście zagląda do swojej koperty przed podjęciem decyzji o zmianie; chociaż Nalebuff podkreśla również, że nie ma potrzeby, aby właściciel koperty zajrzał do jego koperty. Jeśli wyobraża sobie, że tam zagląda i za jakąkolwiek kwotę, jaką może sobie wyobrazić, że tam jest, ma argument za zamianą, to i tak zdecyduje się na zamianę. Wreszcie, ta interpretacja była również rdzeniem wcześniejszych wersji problemu dwóch obwiedni (paradoks przełączania Littlewooda, Schrödingera i Kraitchika); zobacz sekcję końcową, dotyczącą historii TEP.

Ten rodzaj interpretacji jest często nazywany „bayesowskim”, ponieważ zakłada, że autor włącza również wcześniejszy rozkład prawdopodobieństwa możliwych kwot pieniędzy w dwóch kopertach w argumencie zamiany.

Prosta postać rozdzielczości bayesowskiej

Proste rozwiązanie zależało od konkretnej interpretacji tego, co autor argumentacji próbuje obliczyć: a mianowicie zakładało, że chodziło mu o (bezwarunkową) wartość oczekiwaną tego, co znajduje się w kopercie B. W literaturze matematycznej dotyczącej problemu dwóch kopert, inny interpretacja jest bardziej powszechna, obejmująca warunkową wartość oczekiwaną (uzależnioną od tego, co może znajdować się w kopercie A). Aby rozwiązać ten i pokrewne interpretacje lub wersje problemu, większość autorów stosuje interpretację bayesowską prawdopodobieństwa, co oznacza, że rozumowanie prawdopodobieństwa stosuje się nie tylko do prawdziwie losowych zdarzeń, takich jak wylosowanie koperty, ale także do naszej wiedzy (lub jej braku) o rzeczach, które są ustalone, ale nieznane, jak dwie kwoty pierwotnie umieszczone w dwie koperty, zanim jedna zostanie wybrana losowo i nazwana „Koperta A”. Co więcej, zgodnie z długą tradycją sięgającą co najmniej do Laplace'a i jego zasady niewystarczającego rozumu równe prawdopodobieństwa ma się przypisać, gdy nie ma się żadnej wiedzy na temat możliwych wartości jakiejś wielkości. W ten sposób fakt, że nic nam nie mówi się o sposobie wypełniania kopert, można już przekształcić w stwierdzenia prawdopodobieństwa dotyczące tych kwot. Brak informacji oznacza, że prawdopodobieństwa są równe.

W krokach 6 i 7 argumentu zamiany autor wyobraża sobie, że koperta A zawiera pewną kwotę a , a następnie wydaje się wierzyć, że biorąc pod uwagę tę informację, druga koperta z równym prawdopodobieństwem zawiera dwukrotność lub połowę tej kwoty. To założenie może być słuszne tylko wtedy, gdy autor, zanim dowiedział się, co znajduje się w kopercie A, uznałby następujące dwie pary wartości dla obu kopert za równie prawdopodobne: kwoty a / 2 i a ; oraz kwoty a i 2 a . (Wynika to z reguły Bayesa w formie szans: późniejsze szanse równe wcześniejszym szansom razy prawdopodobieństwo). Ale teraz możemy zastosować to samo rozumowanie, wyobrażając sobie nie a, ale a/2 w kopercie A. I podobnie, dla 2 a . I podobnie, w nieskończoność, wielokrotnie zmniejszając o połowę lub wielokrotnie podwajając tyle razy, ile chcesz.

Załóżmy, że na potrzeby dyskusji zaczniemy od wyobrażenia sobie kwoty 32 w kopercie A. Aby rozumowanie w krokach 6 i 7 było poprawne, niezależnie od kwoty, która znalazła się w kopercie A, najwyraźniej wierzymy z góry, że wszystkie następne dziesięć wszystkie kwoty z równym prawdopodobieństwem będą mniejszą z dwóch kwot w dwóch kopertach: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (równie prawdopodobne potęgi 2). Ale przechodząc do jeszcze większych lub jeszcze mniejszych kwot, założenie „równie prawdopodobne” zaczyna wydawać się nieco nieracjonalne. Załóżmy, że zatrzymamy się na tych dziesięciu równie prawdopodobnych możliwościach dla mniejszej kwoty w dwóch kopertach. W takim przypadku rozumowanie w krokach 6 i 7 było całkowicie poprawne, gdyby koperta A zawierała którąkolwiek z kwot 2, 4, ... 512: zamiana kopert dawałaby oczekiwany (średni) zysk w wysokości 25%. Jeśli koperta A zawierała kwotę 1, to oczekiwany zysk wynosi w rzeczywistości 100%. Ale gdyby zawierała kwotę 1024, poniosłaby ogromną stratę w wysokości 50% (z dość dużej kwoty). Taka sytuacja zdarza się tylko raz na dwadzieścia razy, ale jest dokładnie wystarczająca, aby zrównoważyć oczekiwane zyski w pozostałych 19 na 20 przypadków.

Alternatywnie, idziemy w nieskończoność, ale teraz pracujemy z dość niedorzecznym założeniem, sugerującym na przykład, że jest nieskończenie bardziej prawdopodobne, że kwota w kopercie A będzie mniejsza niż 1 i nieskończenie bardziej prawdopodobne, że będzie większa niż 1024 , niż między tymi dwiema wartościami. Jest to tak zwany niewłaściwy rozkład a priori : rachunek prawdopodobieństwa załamuje się; wartości oczekiwane nie są nawet zdefiniowane.

Wielu autorów zwróciło również uwagę, że jeśli istnieje maksymalna suma, którą można włożyć do koperty z mniejszą kwotą, to bardzo łatwo zauważyć, że krok 6 się nie udaje, ponieważ jeśli gracz trzyma więcej niż maksymalna suma, którą można włożyć do „mniejszej” koperty, muszą trzymać kopertę zawierającą większą sumę, a zatem na pewno przegrają, zamieniając się. To może nie zdarzać się często, ale kiedy już się zdarza, ciężkie straty ponoszone przez gracza oznaczają, że średnio nie ma żadnej przewagi w zamianie. Niektórzy autorzy uważają, że rozwiązuje to wszystkie praktyczne przypadki problemu.

Ale problem można również rozwiązać matematycznie bez zakładania maksymalnej kwoty. Nalebuff, Christensen i Utts, Falk i Konold, Blachman, Christensen i Utts, Nickerson i Falk wskazali, że jeśli kwoty pieniędzy w obu kopertach mają odpowiedni rozkład prawdopodobieństwa, reprezentujący wcześniejsze przekonania gracza co do ilości pieniędzy w dwóch kopertach, kopert, to jest niemożliwe, aby jakakolwiek byłaby kwota A=a w pierwszej kopercie, równie prawdopodobne było, zgodnie z tymi wcześniejszymi przekonaniami, że druga zawiera a /2 lub 2 a . Tak więc krok 6 argumentu, który prowadzi do zawsze przełączanie , jest non-sequitur, również wtedy, gdy nie ma maksimum kwot w kopertach.

Wprowadzenie do dalszego rozwoju teorii prawdopodobieństwa bayesowskiego

Pierwsze dwa omówione powyżej rozwiązania („proste rozwiązanie” i „rozwiązanie bayesowskie”) odpowiadają dwóm możliwym interpretacjom tego, co dzieje się w kroku 6 argumentu. Obaj zakładają, że krok 6 rzeczywiście jest „złym krokiem”. Ale opis w kroku 6 jest niejednoznaczny. Czy autorowi zależy na bezwarunkowej (ogólnej) wartości oczekiwanej tego, co jest w kopercie B (być może - uwarunkowanej mniejszą kwotą, x ), czy też na warunkowym oczekiwaniu tego, co jest w kopercie B, przy dowolnej możliwej kwocie a co może znajdować się w kopercie A? Tak więc istnieją dwie główne interpretacje intencji kompozytora paradoksalnego argumentu za zamianą i dwa główne rozwiązania.

Powstała obszerna literatura dotycząca wariantów problemu. Standardowe założenie dotyczące sposobu układania kopert jest takie, że w jednej kopercie znajduje się pewna suma pieniędzy, aw innej jest podwojona suma. Gracz otrzymuje losowo jedną z dwóch kopert ( koperta A ). Pierwotnie zaproponowany problem nie wyjaśnia dokładnie, w jaki sposób określana jest mniejsza z dwóch sum, jakie wartości mogłaby ewentualnie przyjmować, aw szczególności, czy istnieje minimalna czy maksymalna suma, jaką może zawierać. Jeśli jednak używamy bayesowskiej interpretacji prawdopodobieństwa, zaczynamy od wyrażenia naszych wcześniejszych przekonań co do mniejszej kwoty w dwóch obwiedniach poprzez rozkład prawdopodobieństwa. Brak wiedzy można również wyrazić w kategoriach prawdopodobieństwa.

Pierwszy wariant w ramach wersji bayesowskiej polega na przedstawieniu właściwego wcześniejszego rozkładu prawdopodobieństwa mniejszej ilości pieniędzy w dwóch kopertach, tak aby po prawidłowym wykonaniu kroku 6 nadal zalecano preferowanie koperty B, niezależnie od tego, co może się w niej znajdować. Koperta A. Więc chociaż konkretne obliczenie wykonane w kroku 6 było nieprawidłowe (nie ma odpowiedniego wcześniejszego rozkładu takiego, że biorąc pod uwagę to, co jest w pierwszej kopercie A, druga obwiednia jest zawsze równie prawdopodobna, większa lub mniejsza), poprawne obliczenie, w zależności od tego, jakiego wcześniejszego używamy, prowadzi do wyniku ${\ Displaystyle E (B | A = a)> a}$ dla wszystkich możliwych wartości a .

W takich przypadkach można wykazać, że oczekiwana suma w obu kopertach jest nieskończona. Przeciętnie wymiana nie przynosi żadnych korzyści.

Drugi wariant matematyczny

Chociaż teoria prawdopodobieństwa bayesowskiego może rozwiązać pierwszą matematyczną interpretację powyższego paradoksu, okazuje się, że można znaleźć przykłady właściwych rozkładów prawdopodobieństwa, w których oczekiwana wartość kwoty w drugiej kopercie, uwarunkowana kwotą w pierwszej, nie przekraczać kwoty podanej w pierwszej, jakakolwiek by ona nie była. Pierwszy taki przykład podał już Nalebuff. Zobacz także Christensen i Utts (1992).

Oznaczmy ponownie kwotę pieniędzy w pierwszej kopercie przez A , aw drugiej przez B . Myślimy o nich jako o przypadkowych. Niech X będzie mniejszą z dwóch kwot, a Y=2X większą. Zauważ, że kiedy ustaliliśmy rozkład prawdopodobieństwa dla X , to łączny rozkład prawdopodobieństwa A , B jest ustalony, ponieważ A, B = X, Y lub Y, X, każdy z prawdopodobieństwem 1/2, niezależnie od X, Y .

Zły krok 6 w argumencie „zawsze przełączania” doprowadził nas do znalezienia E(B|A=a)>a dla wszystkich a , a tym samym do zalecenia zamiany, niezależnie od tego, czy znamy a . Teraz okazuje się, że można dość łatwo wymyślić odpowiednie rozkłady prawdopodobieństwa dla X , mniejszej z dwóch kwot pieniędzy, tak że ten zły wniosek jest nadal prawdziwy. Jeden przykład zostanie przeanalizowany bardziej szczegółowo za chwilę.

Jak wspomniano wcześniej, nie może być prawdą, że cokolwiek a , mając A=a , B jest równie prawdopodobne, że będzie a /2 lub 2 a , ale może być prawdą, że cokolwiek a , mając A=a , B ma większą wartość oczekiwaną niż _ _

Załóżmy na przykład, że koperta z mniejszą kwotą faktycznie zawiera 2 ⁿ dolarów z prawdopodobieństwem 2 ⁿ /3 ^{n +1} , gdzie n = 0, 1, 2,… Te prawdopodobieństwa sumują się do 1, stąd rozkład jest właściwym a priori (dla subiektywistów ) i zupełnie przyzwoite prawo prawdopodobieństwa także dla bywalców.

Wyobraź sobie, co może być w pierwszej kopercie. Rozsądną strategią byłaby z pewnością zamiana, gdy pierwsza koperta zawiera 1, ponieważ druga musi wtedy zawierać 2. Z drugiej strony załóżmy, że pierwsza koperta zawiera 2. W takim przypadku istnieją dwie możliwości: para kopert przed nami jest {1, 2} lub {2, 4}. Wszystkie inne pary są niemożliwe. Warunkowe prawdopodobieństwo , że mamy do czynienia z parą {1, 2}, biorąc pod uwagę, że pierwsza koperta zawiera 2, wynosi

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (\ {1,2 \} \ środek 2)&={\frac {P(\{1,2\})/2}{P(\{1,2\})/2+P(\{2,4\})/2}} \\&={\frac {P(\{1,2\})}{P(\{1,2\})+P(\{2,4\})}}\\&={\frac {1/3}{1/3+2/9}}=3/5,\end{wyrównane}}}

w związku z tym prawdopodobieństwo, że jest to para {2, 4} wynosi 2/5, ponieważ są to jedyne dwie możliwości. W tym wyprowadzeniu $obwiedni$ to para 1 a koperta 2; ${\ Displaystyle P (\ {2,4 \})/2}$ to prawdopodobieństwo, że para obwiedni to para 2 i 4, i (ponownie) koperta A zawiera 2. Są to jedyne dwa sposoby, w jakie koperta A może zawierać kwotę 2.

Okazuje się, że proporcje te są na ogół zachowane, chyba że pierwsza koperta zawiera 1. Oznaczmy przez a kwotę, którą wyobrażamy sobie znaleźć w kopercie A, gdybyśmy otworzyli tę kopertę i załóżmy, że a = 2 ⁿ dla pewnego n ≥ 1. W w takim przypadku druga koperta zawiera / 2 z prawdopodobieństwem 3/5 i 2 a z prawdopodobieństwem 2/5.

Zatem albo pierwsza koperta zawiera 1, w którym to przypadku warunkowo oczekiwana kwota w drugiej kopercie wynosi 2, albo pierwsza koperta zawiera > 1 i chociaż druga koperta jest bardziej prawdopodobna, że jest mniejsza niż większa, jej warunkowo oczekiwana kwota wynosi większy: warunkowo oczekiwana kwota w kopercie B wynosi

{\ Displaystyle {\ Frac {3} {5}} {\ Frac {a} {2}} + {\ Frac {2} {5}} 2a = { \frac {11}{10}}a}

czyli więcej niż A. Oznacza to, że gracz, który zajrzy do koperty A, zdecydowałby się zamienić to, co tam zobaczył. Nie ma więc potrzeby zaglądania do koperty A, aby podjąć taką decyzję.

Wniosek ten jest równie wyraźnie błędny, jak w poprzednich interpretacjach problemu dwóch kopert. Ale teraz wady wymienione powyżej nie mają zastosowania; a , a prawdopodobieństwa warunkowe we wzorze pochodzą z określonego i właściwego rozkładu a priori.

Proponowane rozwiązania poprzez ekonomię matematyczną

Większość autorów uważa, że nowy paradoks można zażegnać, chociaż rozwiązanie wymaga koncepcji z ekonomii matematycznej. Załóżmy, że ${\ Displaystyle E (B | A = a)> a}$ dla wszystkich za $\ Displaystyle a}$ . Można wykazać, że jest to możliwe dla niektórych rozkładów prawdopodobieństwa X (mniejsza ilość pieniędzy w dwóch kopertach) tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle E (X) = \ infty}$ . To znaczy tylko wtedy, gdy średnia wszystkich możliwych wartości pieniędzy w kopertach jest nieskończona. Aby zobaczyć, dlaczego, porównaj opisane powyżej szeregi, w których prawdopodobieństwo każdego X jest 2/3 tak prawdopodobne jak poprzedniego X , z takim, w którym prawdopodobieństwo każdego X jest tylko 1/3 tak prawdopodobne, jak poprzedniego X . Gdy prawdopodobieństwo każdego kolejnego wyrazu jest większe niż połowa prawdopodobieństwa terminu poprzedzającego (a każdy X jest dwa razy większy niż X przed nim) średnia jest nieskończona, ale gdy współczynnik prawdopodobieństwa jest mniejszy niż połowa, średnia jest zbieżna. W przypadkach, gdy współczynnik prawdopodobieństwa jest mniejszy niż połowa, ${\ Displaystyle E (B | A = a) <a}$ dla wszystkich a innych niż pierwsze, najmniejsze a , a całkowita oczekiwana wartość przełączania jest zbieżna do 0. Ponadto, jeśli trwający rozkład ze współczynnikiem prawdopodobieństwa większym niż połowa zostanie skończony przez, po dowolnej liczbie składników, ustalenie końcowego składnika z „całym pozostałym prawdopodobieństwem, czyli 1 minus prawdopodobieństwo wszystkich poprzednich wyrazów, oczekiwana wartość zamiany względem prawdopodobieństwa, że A jest równe ostatniemu, największemu a dokładnie zanegoje sumę dodatnich wartości oczekiwanych, które wystąpiły wcześniej, i ponownie całkowita oczekiwana wartość przełączania spadnie do 0 (jest to ogólny przypadek wyznaczania równego prawdopodobieństwa skończonego zbioru wartości w opisanych powyżej obwiedniach). Zatem jedynymi rozkładami, które wydają się wskazywać na dodatnią wartość oczekiwaną przełączania, są te, w których ${\ Displaystyle E (X) = \ infty}$ . Uśredniając po a , wynika z tego, że ${\ Displaystyle E (B) = E (A) = \ infty}$ (ponieważ A i B mają identyczne rozkłady prawdopodobieństwa, przez symetrię, a zarówno A , jak i B są większe lub równe X ).

Jeśli nie zajrzymy do pierwszej koperty, to najwyraźniej nie ma powodu, aby się zamieniać, ponieważ wymienialibyśmy jedną nieznaną kwotę pieniędzy ( A ), której wartość oczekiwana jest nieskończona, na inną nieznaną kwotę pieniędzy ( B ), z tym samym rozkładem prawdopodobieństwa i nieskończoną wartością oczekiwaną. Jeśli jednak spojrzymy na pierwszą obwiednię, to dla wszystkich zaobserwowanych wartości ( $a$ , ponieważ ${\ Displaystyle E (B | A = a)> a}$ dla wszystkich . Jak zauważył David Chalmers , problem ten można opisać jako niepowodzenie rozumowania o dominacji.

W ramach rozumowania dominacyjnego fakt, że ściśle preferujemy A od B dla wszystkich możliwych obserwowanych wartości a, powinien implikować, że ściśle preferujemy A od B bez obserwowania a ; jednak, jak już pokazano, nie jest to prawdą, ponieważ ${\ Displaystyle E (B) = E (A) = \ infty}$ . Aby ocalić rozumowanie dominacji, jednocześnie dopuszczając ${\ Displaystyle E (B) = E (A) = \ infty}$ , należałoby zastąpić wartość oczekiwaną jako kryterium decyzyjne, stosując w ten sposób bardziej wyrafinowany argument z ekonomii matematycznej.

${\ Displaystyle E (u (W + B) | A = a) <u (W + a)}$ $że$ decydent jest maksymalizatorem oczekiwanej użyteczności początkowym bogactwem W , funkcja użyteczności wybrana tak, aby spełniała przynajmniej dla niektórych wartości a (to znaczy trzymanie się ${\ displaystyle A = a}$ jest zdecydowanie preferowane niż przejście na B dla niektórych a ). Chociaż nie $nieskończoności$ prawdą w przypadku wszystkich funkcji użytkowych, byłoby to prawdą, gdyby $.$ granicę gdy rosło w (powszechne założenie w ekonomii matematycznej i teorii decyzji). Michaela R. Powersa zapewnia konieczne i wystarczające warunki, aby funkcja użyteczności rozwiązała paradoks i zauważa, że ani ${\ Displaystyle u (w) <\ beta}$ , ani ${\ Displaystyle E (u (W + A)) = E (u (W + B)) <\ infty}$ jest wymagane.

Niektórzy autorzy woleliby argumentować, że w rzeczywistej sytuacji ${\ Displaystyle u (W + A)}$ i są po prostu ograniczone ${\ Displaystyle u (W + B)}$ ponieważ ilość pieniędzy w kopercie jest ograniczona całkowitą ilością pieniędzy na świecie ( M ), co oznacza, że ${\ Displaystyle u (W + A) \ równoważnik u ( W+M)}$ i ${\ Displaystyle u (W + B) \ równoważnik u (W + M)}$ . Z tej $(gdzie )$ drugi paradoks zostaje rozwiązany, ponieważ postulowany rozkład prawdopodobieństwa dla wystąpić w sytuacji Podobne argumenty są często używane do rozwiązania paradoksu petersburskiego .

Kontrowersje wśród filozofów

Jak wspomniano powyżej, każdy rozkład powodujący ten wariant paradoksu musi mieć nieskończoną średnią. Więc zanim gracz otworzy kopertę, oczekiwany zysk z przełączania wynosi „∞ - ∞”, co nie jest zdefiniowane. Według słów Davida Chalmersa , jest to „kolejny przykład znanego zjawiska, dziwnego zachowania nieskończoności”. Chalmers sugeruje, że teoria decyzji generalnie załamuje się w konfrontacji z grami o rozbieżnych oczekiwaniach i porównuje to z sytuacją generowaną przez klasyczny paradoks petersburski .

Jednak Clark i Shackel argumentują, że obwinianie za wszystko „dziwnego zachowania nieskończoności” w ogóle nie rozwiązuje paradoksu; ani w przypadku pojedynczym, ani uśrednionym. Stanowią prosty przykład pary zmiennych losowych, z których obie mają nieskończoną średnią, ale wyraźnie rozsądne jest preferowanie jednej od drugiej, zarówno warunkowo, jak i średnio. Twierdzą, że teorię decyzji należy rozszerzyć, aby w niektórych sytuacjach dopuszczać nieskończone wartości oczekiwane.

Nieprobabilistyczny wariant Smullyana

Logik Raymond Smullyan zakwestionował, czy paradoks ma w ogóle coś wspólnego z prawdopodobieństwem. Zrobił to, wyrażając problem w sposób, który nie obejmuje prawdopodobieństw. Następujące czysto logiczne argumenty prowadzą do sprzecznych wniosków:

Niech kwota w kopercie wybranej przez gracza to A . Poprzez zamianę gracz może zyskać A lub stracić A /2. Potencjalny zysk jest więc ściśle większy niż potencjalna strata.
Niech kwoty w kopertach to X i 2 X . Teraz poprzez zamianę gracz może zyskać X lub stracić X . Potencjalny zysk jest więc równy potencjalnej stracie.

Proponowane uchwały

Zaproponowano szereg rozwiązań. Niektórzy logicy dokonali dokładnych analiz. Chociaż rozwiązania są różne, wszystkie wskazują na problemy semantyczne związane z kontrfaktycznym . Chcemy porównać kwotę, którą zyskalibyśmy na zamianie, gdybyśmy zyskali na zamianie, z kwotą, którą stracilibyśmy na zamianie, gdybyśmy rzeczywiście stracili na zamianie. Nie możemy jednak jednocześnie zyskać i stracić na zmianie. Jesteśmy proszeni o porównanie dwóch niekompatybilnych sytuacji. Tylko jedna z nich może się faktycznie wydarzyć, druga to sytuacja kontrfaktyczna – niejako urojona. Aby w ogóle je porównać, musimy w jakiś sposób „wyrównać” te dwie sytuacje, podając pewne określone punkty wspólne.

James Chase argumentuje, że drugi argument jest słuszny, ponieważ odpowiada sposobowi powiązania dwóch sytuacji (w jednej zyskujemy, w drugiej przegrywamy), na co najlepiej wskazuje opis problemu. Również Bernard Katz i Doris Olin argumentują ten punkt widzenia. W drugim argumencie uważamy, że kwoty pieniędzy w obu kopertach są ustalone; różni się to, który z nich jest pierwszy przekazywany graczowi. Ponieważ był to arbitralny i fizyczny wybór, świat kontrfaktyczny w którym gracz, kontrfaktycznie, dostał drugą kopertę do tej, którą faktycznie (faktycznie) otrzymał, jest bardzo znaczącym światem kontrfaktycznym, a zatem porównanie między zyskami i stratami w tych dwóch światach jest znaczące. Na to porównanie jednoznacznie wskazuje opis problemu, w którym najpierw do dwóch kopert wkładane są dwie kwoty pieniędzy, a dopiero potem jedna wybrana arbitralnie i przekazana graczowi. Jednak w pierwszym argumencie uważamy, że kwota pieniędzy w kopercie przekazana graczowi jako pierwsza jest ustalona i rozważamy sytuacje, w których druga koperta zawiera połowę lub podwójną kwotę. Byłby to rozsądny świat alternatywny, gdyby w rzeczywistości koperty zostały wypełnione w następujący sposób: po pierwsze, pewna kwota pieniędzy została umieszczona w określonej kopercie, która zostanie przekazana graczowi; a po drugie, w wyniku arbitralnego procesu, druga koperta zostaje wypełniona (arbitralnie lub losowo) podwójną lub połową tej kwoty.

Z drugiej strony Byeong-Uk Yi twierdzi, że porównywanie kwoty, którą zyskałbyś, gdybyś zmienił, z kwotą, którą straciłbyś, gdybyś stracił, jest od samego początku bezsensownym ćwiczeniem. Według jego analizy wszystkie trzy implikacje (zmiana, obojętność, nie zamiana) są błędne. Szczegółowo analizuje argumenty Smullyana, pokazując, że podejmowane są kroki pośrednie, i dokładnie wskazując, gdzie wyciąga się błędne wnioski zgodnie z jego formalizacją wnioskowania kontrfaktycznego. Istotna różnica w stosunku do analizy Chase'a polega na tym, że nie bierze on pod uwagę tej części historii, w której powiedziano nam, że koperta zwana kopertą A jest ustalana całkowicie losowo. Tak więc Chase z powrotem umieszcza prawdopodobieństwo w opisie problemu, aby stwierdzić, że argumenty 1 i 3 są niepoprawne, argument 2 jest poprawny, podczas gdy Yi utrzymuje, że „problem dwóch obwiedni bez prawdopodobieństwa” jest całkowicie wolny od prawdopodobieństwa i dochodzi do wniosku, że nie ma powodów, by preferować jakiekolwiek działania. Odpowiada to poglądowi Albersa i in., że bez składnika prawdopodobieństwa i tak nie ma sposobu, aby argumentować, że jedno działanie jest lepsze od drugiego.

Bliss argumentuje, że źródłem paradoksu jest to, że gdy ktoś błędnie wierzy w możliwość większej wypłaty, która w rzeczywistości nie istnieje, myli się o większy margines niż wtedy, gdy wierzy w możliwość mniejszej wypłaty, która nie istnieje. właściwie nie istnieją. Jeśli na przykład koperty zawierały odpowiednio 5,00 $ i 10,00 $, gracz, który otworzył kopertę 10,00 $, spodziewałby się możliwości wypłaty 20,00 $, która po prostu nie istnieje. Gdyby ten gracz zamiast tego otworzył kopertę 5,00 $, uwierzyłby w możliwość wypłaty 2,50 $, co stanowi mniejsze odchylenie od prawdziwej wartości; prowadzi to do paradoksalnej rozbieżności.

Albers, Kooi i Schaafsma uważają, że bez dodania prawdopodobieństwa (lub innych) składników do problemu, argumenty Smullyana nie dają żadnego powodu do zamiany lub niezamiany w każdym przypadku. Nie ma więc żadnego paradoksu. Ta lekceważąca postawa jest powszechna wśród pisarzy zajmujących się prawdopodobieństwem i ekonomią: paradoks Smullyana powstaje właśnie dlatego, że nie bierze on pod uwagę prawdopodobieństwa ani użyteczności.

Przełączanie warunkowe

Jako rozszerzenie problemu rozważmy przypadek, w którym gracz może zajrzeć do koperty A przed podjęciem decyzji o zmianie. W tym problemie z „przełączaniem warunkowym” często możliwe jest wygenerowanie zysku w porównaniu ze strategią „nigdy nie przełączania”, w zależności od rozkładu prawdopodobieństwa obwiedni.

Historia paradoksu

Paradoks koperty sięga co najmniej 1953 roku, kiedy belgijski matematyk Maurice Kraitchik w swojej książce Matematyka rekreacyjna zaproponował zagadkę dotyczącą dwóch równie bogatych mężczyzn, którzy spotykają się i porównują swoje piękne krawaty, prezenty od żon, zastanawiając się, który krawat faktycznie kosztuje więcej. Wprowadza również wariant, w którym obaj mężczyźni porównują zawartość swoich torebek. Zakłada on, że każda torebka z równym prawdopodobieństwem zawiera od 1 do pewnej dużej liczby x groszy, łączna liczba groszy wybitych do tej pory. Mężczyźni nie zaglądają do torebek, ale każdy powód, dla którego powinni się zmienić. Nie wyjaśnia, na czym polega błąd w ich rozumowaniu. Nie jest jasne, czy zagadka pojawiła się już we wcześniejszym wydaniu jego książki z 1942 roku. Wspomniano o tym również w książce z 1953 roku o elementarnej matematyce i łamigłówkach matematycznych autorstwa matematyka Johna Edensora Littlewooda , który przypisał to fizykowi Erwinowi Schroedingerowi , gdzie dotyczy talii kart, każda karta ma zapisane dwie cyfry, gracz widzi losową stronę losowej karty i pytanie brzmi, czy należy ją odwrócić. Talia kart Littlewooda jest nieskończenie duża, a jego paradoks jest paradoksem niewłaściwych wcześniejszych dystrybucji.

Martin Gardner spopularyzował łamigłówkę Kraitchika w swojej książce Aha! Gotcha , w formie gry portfelowej:

Dwie równie bogate osoby spotykają się, aby porównać zawartość swoich portfeli. Każdy z nich nie zna zawartości obu portfeli. Gra przebiega następująco: ten, kto ma najmniej pieniędzy, otrzymuje zawartość portfela drugiego (w przypadku, gdy kwoty są równe, nic się nie dzieje). Jeden z dwóch mężczyzn może rozumować: „Mam w portfelu kwotę A. To maksimum, które mogę przegrać. Jeśli wygram (prawdopodobieństwo 0,5), kwota, którą będę posiadał na koniec gry będzie większy niż 2 A . Dlatego gra jest dla mnie korzystna”. Drugi człowiek może rozumować dokładnie w ten sam sposób. W rzeczywistości dzięki symetrii gra jest uczciwa. Gdzie jest błąd w rozumowaniu każdego z nich?

— Martin Gardner , „Martin Gardner: Aha! Gotcha”

Gardner wyznał, że chociaż, podobnie jak Kraitchik, potrafił przeprowadzić rzetelną analizę prowadzącą do właściwej odpowiedzi (przełączanie nie ma sensu), nie potrafił jednoznacznie wskazać palcem, co jest nie tak z uzasadnieniem zmiany, a Kraitchik nie dał wszelką pomoc w tym kierunku.

W latach 1988 i 1989 Barry Nalebuff przedstawił dwa różne problemy dwukopertowe, z których każdy zawierał dwa razy więcej niż w drugim obwiedni, a każdy z nich wymagał obliczenia wartości oczekiwanej 5 A /4. Pierwszy artykuł przedstawia tylko dwa problemy. W drugim omówiono wiele rozwiązań dla obu z nich. Drugi z jego dwóch problemów jest obecnie bardziej powszechny i został przedstawiony w niniejszym artykule. Zgodnie z tą wersją najpierw wypełnia się dwie koperty, a następnie losowo wybiera się jedną i nazywa Koperta A. Martin Gardner niezależnie wspomniał o tej samej wersji w swojej książce z 1989 roku Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and Return of Dr Matrix . Asymetryczny wariant Barry'ego Nalebuffa, często znany jako problem Ali Baby, ma najpierw wypełnioną jedną kopertę, zwaną Kopertą A, i przekazaną Ali. Następnie rzuca się uczciwą monetą, aby zdecydować, czy Koperta B powinna zawierać połowę, czy dwa razy tyle, i dopiero wtedy zostaje przekazana Babie.

Broome w 1995 roku nazwał rozkład prawdopodobieństwa „paradoksalnym”, jeśli dla dowolnej kwoty x pierwszej obwiedni oczekiwanie drugiej obwiedni zależnej od x jest większe niż x . Literatura zawiera dziesiątki komentarzy do tego problemu, z których wiele wskazuje, że rozkład wartości skończonych może mieć nieskończoną wartość oczekiwaną.

Zobacz też

Uwagi i odniesienia