Powierzchnia Kleina

Aby zapoznać się z nieorientowaną powierzchnią topologiczną, zobacz butelkę Kleina . Aby zapoznać się z powierzchnią algebraiczną, zobacz Powierzchnia dwudziestościenna Kleina .

W matematyce powierzchnia Kleina jest rozmaitością dianalityczną o złożonym wymiarze 1. Powierzchnie Kleina mogą mieć granicę i nie muszą być orientowalne . Powierzchnie Kleina uogólniają powierzchnie Riemanna . Podczas gdy te ostatnie są używane do analitycznego badania krzywych algebraicznych na liczbach zespolonych, te pierwsze są używane do analitycznego badania krzywych algebraicznych na liczbach rzeczywistych. Powierzchnie Kleina zostały wprowadzone przez Felixa Kleina w 1882 roku.

Powierzchnia Kleina to powierzchnia ( tj. różniczkowalna rozmaitość o wymiarze rzeczywistym 2), na której pojęcie kąta między dwoma wektorami stycznymi w danym punkcie jest dobrze zdefiniowane, podobnie jak kąt między dwiema przecinającymi się krzywymi na powierzchni. Kąty te mieszczą się w zakresie [0,π]; ponieważ powierzchnia nie ma pojęcia orientacji, nie jest możliwe rozróżnienie kątów α i −α. (Dla kontrastu, na Riemanna powierzchnie są zorientowane, a kąty w zakresie (-π,π] można sensownie zdefiniować.) Długość krzywych, pole podrozmaitości i pojęcie geodezyjnej nie są zdefiniowane na powierzchniach Kleina.

Dwie powierzchnie Kleina X i Y są uważane za równoważne, jeśli istnieją konformalne (tj. zachowujące kąt, ale niekoniecznie orientację) różniczkowalne odwzorowania f : X → Y i g : Y → X , które odwzorowują granicę na granicę i spełniają fg = id _Y oraz gf = identyfikator _X .

Przykłady

Każda powierzchnia Riemanna (rozmaitość analityczna o wymiarze zespolonym 1, bez granicy) jest powierzchnią Kleina. Przykłady obejmują otwarte podzbiory płaszczyzny zespolonej (niezwartej), kuli Riemanna (zwartej) i torusa (zwartej). Zauważ, że istnieje wiele różnych nierównoważnych powierzchni Riemanna z tym samym leżącym pod spodem torusem co rozmaitość.

Zamknięty dysk w płaszczyźnie zespolonej to powierzchnia Kleina (zwarta, z granicą). Wszystkie zamknięte dyski są równoważne powierzchniom Kleina. Zamknięty pierścień w płaszczyźnie zespolonej to powierzchnia Kleina (zwarta, z granicą). Nie wszystkie pierścienie są równoważne powierzchniom Kleina: istnieje jednoparametrowa rodzina nierównoważnych powierzchni Kleina powstających w ten sposób z pierścieni. Usuwając pewną liczbę otwartych dysków ze sfery Riemanna, otrzymujemy inną klasę powierzchni Kleina (zwartą, z granicą). Rzeczywistą płaszczyznę rzutową można przekształcić w powierzchnię Kleina (zwartą, bez granic) zasadniczo tylko w jeden sposób. The Butelkę Kleina można przekształcić w powierzchnię Kleina (zwartą, bez granic); istnieje jednoparametrowa rodzina nierównoważnych struktur powierzchni Kleina zdefiniowana na butelce Kleina. Podobnie istnieje jednoparametrowa rodzina nierównoważnych struktur powierzchniowych Kleina (zwarta, z granicą) zdefiniowana na pasku Möbiusa .

Każda zwarta topologiczna 2-rozmaitość (być może z granicą) może zostać przekształcona w powierzchnię Kleina, często na wiele różnych nierównoważnych sposobów.

Nieruchomości

Granica zwartej powierzchni Kleina składa się ze skończenie wielu połączonych elementów , z których każdy jest homeomorficzny z okręgiem. Składniki te nazywane są owalami powierzchni Kleina.

inwolucją antyholomorficzną (odwracającą orientację) . Wówczas iloraz Σ/τ niesie ze sobą naturalną strukturę powierzchni Kleina, a każdą powierzchnię Kleina można otrzymać w ten sposób zasadniczo tylko w jeden sposób. Stałe punkty τ odpowiadają punktom granicznym Σ/τ. Powierzchnia Σ nazywana jest „podwójnym analitycznym” Σ/τ.

Powierzchnie Kleina tworzą kategorię ; morfizm od powierzchni Kleina X do powierzchni Kleina Y jest różniczkowalną mapą f : X → Y , która na każdym skrawku współrzędnych jest albo holomorficzna, albo złożonym koniugatem mapy holomorficznej, a ponadto odwzorowuje granicę X na granicę Y .

Istnieje zgodność jeden do jednego między gładkimi rzutowymi krzywymi algebraicznymi na liczbach rzeczywistych (aż do izomorfizmu ) i zwartymi połączonymi powierzchniami Kleina (aż do równoważności). Rzeczywiste punkty krzywej odpowiadają punktom granicznym powierzchni Kleina. Rzeczywiście, istnieje równoważność kategorii między kategorią gładkich rzutowych krzywych algebraicznych nad R (z regularnymi mapami jako morfizmy) oraz kategorią zwartych połączonych powierzchni Kleina. Jest to podobne do zgodności między gładkimi rzutowymi krzywymi algebraicznymi na liczbach zespolonych a zwartymi połączonymi powierzchniami Riemanna. (Zauważ, że rozważane tutaj krzywe algebraiczne są krzywymi abstrakcyjnymi: integralnymi , rozdzielonymi jednowymiarowymi schematami typu skończonego nad R. Taka krzywa nie musi mieć żadnych R -racjonalnych punktów (jak krzywa X ² + Y ² +1=0 nad R ), w takim przypadku jego powierzchnia Kleina będzie miała pustą granicę.)

Istnieje również zgodność jeden do jednego między zwartymi połączonymi powierzchniami Kleina (do równoważności) i polami funkcji algebraicznych w jednej zmiennej nad R (do izomorfizmu R ). Ta zgodność jest podobna do tej między zwartymi połączonymi powierzchniami Riemanna a algebraicznymi polami funkcyjnymi na liczbach zespolonych. Jeśli X jest powierzchnią Kleina, funkcja f : X → C u {∞} nazywana jest meromorficzną, jeśli na każdym skrawku współrzędnych f lub jej koniugat zespolony jest meromorficzny w zwykłym znaczeniu i jeśli f przyjmuje tylko wartości rzeczywiste (lub ∞) na granicy X . Biorąc pod uwagę spójną powierzchnię Kleina X , zbiór funkcji meromorficznych zdefiniowanych na X tworzy pole M ( X ), pole funkcji algebraicznej w jednej zmiennej nad R . M jest funktorem kontrawariantnym i daje dualność (równoważność kontrawariantna) między kategorią zwartych połączonych powierzchni Kleina (z niestałymi morfizmami) a kategorią pól funkcyjnych w jednej zmiennej na liczbach rzeczywistych.

Można sklasyfikować zwarte połączone powierzchnie Kleina X aż do homeomorfizmu (nie do równoważności!) podając trzy liczby ( g , k , a ): rodzaj g podwójnego analitycznego Σ, liczbę k spójnych składowych granicy X i liczba a , zdefiniowana przez a =0, ​​jeśli X jest orientowalny i a =1 w przeciwnym razie. Zawsze mamy k ≤ g +1. The Charakterystyka Eulera dla X równa się 1- g .

Dalsza lektura

• Norman L. Alling i Newcomb Greenleaf (1971), Podstawy teorii powierzchni Kleina. Notatki z wykładów z matematyki, tom. 219. , Springer-Verlag {{ cytowanie }} : CS1 maint: używa parametru autorów ( link )