Przepływ płynu przez media porowate

W mechanice płynów przepływ płynu przez ośrodek porowaty to sposób, w jaki płyny zachowują się podczas przepływu przez ośrodek porowaty , na przykład gąbkę lub drewno, lub podczas filtrowania wody za pomocą piasku lub innego porowatego materiału. Jak powszechnie obserwuje się, część płynu przepływa przez ośrodek, podczas gdy część płynu jest magazynowana w porach znajdujących się w ośrodku.

Klasyczna mechanika przepływu w ośrodkach porowatych zakłada, że ośrodek jest jednorodny, izotropowy i ma międzykrystaliczną strukturę porów . Zakłada się również, że płyn jest płynem newtonowskim , że zbiornik jest izotermiczny, że odwiert jest pionowy itp. Tradycyjne problemy z przepływem w ośrodkach porowatych często obejmują jednofazowy przepływ w stanie ustalonym, interferencję wielu odwiertów, dwu- przepływ fazowy, przepływ gazu ziemnego, przepływ napędzany elastyczną energią, przepływ dwufazowy olej-gaz i przepływ dwufazowy gaz-woda.

Fizykochemiczny proces przepływu będzie obejmował różne zmiany właściwości fizycznych i reakcje chemiczne w przeciwieństwie do podstawowego płynu Newtona w klasycznej teorii przepływu układu porowatego. Przykładami tych właściwości są lepkość , napięcie powierzchniowe, stan fazowy, stężenie, temperatura i inne właściwości fizyczne. Przepływ płynów nienewtonowskich , przenoszenie masy przez dyfuzję oraz przepływ płynów wielofazowych i wieloskładnikowych to podstawowe zagadnienia związane z przepływem.

Obowiązujące prawa

Ruch płynu przez ośrodek porowaty jest opisany przez połączenie prawa Darcy'ego z zasadą zachowania masy w celu wyrażenia siły kapilarnej lub prędkości płynu jako funkcji różnych innych parametrów, w tym efektywnego promienia porów, lepkości lub przepuszczalności cieczy . Jednak samo zastosowanie prawa Darcy'ego nie daje dokładnych wyników dla środowisk heterogenicznych, takich jak łupki i zwarte piaskowce, w których występuje ogromna ilość nanoporów. Wymaga to zastosowania modelu przepływu, który uwzględnia ważoną proporcję różnych reżimów przepływu, takich jak przepływ Darcy'ego, przepływ przejściowy, przepływ poślizgowy i swobodny przepływ molekularny.

Prawo Darcy'ego

Symbol	Opis
${\ displaystyle Q}$	Natężenie przepływu objętościowego [m ³ /s]
${\ displaystyle k}$	Przepuszczalność ośrodka porowatego [m ² ]. Przepuszczalność jest funkcją rodzaju materiału, a także zmienia się wraz z naprężeniami , temperaturą itp.
${\ Displaystyle \ mu}$	Lepkość płynu [Pa.s]
${\ Displaystyle A}$	Pole przekroju ośrodka porowatego [m ² ]
${\ Displaystyle (p_ {b} -p_ {a})}$	Spadek ciśnienia w medium [Pa]
${\ displaystyle L}$	Długość próbki [m]

Podstawowym prawem rządzącym przepływem płynów przez ośrodki porowate jest prawo Darcy'ego , które zostało sformułowane przez francuskiego inżyniera budowlanego Henry'ego Darcy'ego w 1856 roku na podstawie jego eksperymentów dotyczących pionowej filtracji wody przez pokłady piasku.

Zgodnie z prawem Darcy'ego lepkość płynu, efektywna przepuszczalność płynu i gradient ciśnienia płynu określają natężenie przepływu w dowolnym miejscu w zbiorniku.

{\ Displaystyle Q = {\ Frac {-kA} {\ mu}} {\ Frac {(p_ {b} -p_ {a})} {L} }}

stosuje się następującą postać różniczkową prawa Darcy'ego .

{\ Displaystyle Q = {\ Frac {-kA} {\ mu}} \ lewo ({\ Frac {dp} {dx}} \ prawej)}

Prawo Darcy'ego obowiązuje dla sytuacji, gdy materiał porowaty jest już nasycony płynem. Do obliczenia szybkości nasiąkania kapilarnego cieczy do ośrodka początkowo suchego stosuje się równania Washburna lub Bosanqueta .

Konserwacja masy

Zachowanie masy płynu w ośrodku porowatym opiera się na podstawowej zasadzie, że napływ masy minus strumień masy na wyjściu równa się wzrostowi ilości zmagazynowanej przez ośrodek. Oznacza to, że całkowita masa płynu jest zawsze zachowana. $t$ uwagę okres od do $Displaystyle$ $\ Delta t}$ , długość porowatego ośrodka od do $\ displaystyle x} t {$ m $} \displaystyle m}$ będąc masą zmagazynowaną przez medium, mamy

{\ Displaystyle [A \ rho (x) q (x) -A \ rho (x + \ Delta x) q (x + \ Delta x)] \ Delta t = m (t + \ Delta t) -m (t).}

Ponadto mamy to $V p {\ Displaystyle m = \ rho$ gdzie jest objętością porów ośrodka między ${\ displaystyle x}$ a $p$ ${\ Displaystyle x + \ Delta x}$ i ${\ Displaystyle \ rho}$ to gęstość. więc ${\ Displaystyle m = \ rho V_ {p} = \ rho \ phi V = \ rho \ phi A \ Delta x,}$ gdzie ${\ Displaystyle \phi}$ to porowatość . Dzieląc $x$ strony przez , podczas gdy mamy dla jednowymiarowego przepływu liniowego w porowatym ośrodku zależność ZA $Displaystyle A \$

{\ Displaystyle {\ Frac {-d (\ rho q)} {dx}} = {\ Frac {d (\ rho \ phi) }{dt}}~~~~(i)}

W trzech wymiarach równanie można zapisać jako

{\ Displaystyle {\ Frac {d (\ rho q)} {dx}} +{\frac {d(\rho q)}{dy}}+{\frac {d(\rho q)}{dz}}={\frac {-d(\rho \phi)}{dt}} }

Operacja matematyczna po lewej stronie tego równania jest znana jako rozbieżność $i$ szybkość, z jaką płyn odchyla się od danego obszaru na jednostkę objętości

Równanie dyfuzji

typ materiału	Ściśliwość (m2 ^N - ¹ lub Pa ^-1 )
Glina	10-6 - ^10-8^_
Piasek	10-7 - ^10-9^_
Żwir	10-8 - ^10-10^_
Połączona skała	10-8 - ^10-10^_
Dźwięk Rocka	10-9 - ^10-11^_
Woda (beta)	4,4 x ^10-10

Korzystając z reguły iloczynu (i reguły łańcuchowej) po prawej stronie powyższego równania zachowania masy (i),

{\ Displaystyle {\ Frac {d (\ rho \ phi)} {dt}} = \ rho {\frac {d\phi}}{dt}}+\phi {\frac {d\rho}}{dt}}=\rho {\frac {d\phi}}{dP}}{\frac {dP}{ dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dt}}=\rho \phi \left[{\frac {1}{\phi }}{\frac {d\phi }{dP}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right]\quad {\frac {dP}{dt}}=\ rho \phi [c_{\phi}+c_{f}]{\frac {dP}{dt}}~~~~(ii)}

Tutaj do ${f}}$ $c_$ = ściśliwość płynu i = ściśliwość porowatego ośrodka. Rozważmy teraz lewą stronę równania zachowania masy, które jest określone przez prawo Darcy'ego jako

{\ Displaystyle {\ Frac {-d (\ rho q)}} {dx}} = {\ Frac {-d} {dx}} \ lewo [{\ Frac {- \ rho k} {\ mu} }{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {k}{\mu}}\left[\rho {\frac {d^{2}P}{dx^{2} }}+{\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dx}}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {\rho k}{ \mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho}}{ dP}}\right)\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\ frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ~~~ ~(iii)}

Zrównując wyniki uzyskane w ${\ Displaystyle (ii)}$ & $}$ , otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} P} {dx ^ {2} }}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}={\frac {\phi \mu (c_{f}+c_{\phi})} {k}}{\frac {dP}{dt}}}

Drugi człon po lewej stronie jest zwykle pomijalny i otrzymujemy równanie dyfuzji w 1 wymiarze jako

{\ Displaystyle {\ Frac {dP} {dt}} = {\ Frac {k} {\ phi \ mu c_ {t}}} {\ Frac {d^{2}P}{dx^{2}}}}

gdzie do ${\ Displaystyle c_ {t} = c_ {f} + c_ {\ phi}$ }

Dalsza lektura

Acheson, DJ (1990). Elementarna dynamika płynów . Prasa Clarendona. ISBN 0-19-859679-0 .
Baranek, Horacy (1994). Hydrodynamika (wyd. 6). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-45868-4 . Pierwotnie opublikowane w 1879 r., szóste wydanie rozszerzone ukazało się jako pierwsze w 1932 r.
Milne-Thompson, LM (1968). Hydrodynamika teoretyczna (wyd. 5). Macmillan. Pierwotnie opublikowany w 1938 r.
Shinbrot, M. (1973). Wykłady z mechaniki płynów . Gordon i Przekroczenie. ISBN 0-677-01710-3 .
Chanson, H. (2009). Stosowana hydrodynamika: wprowadzenie do idealnych i rzeczywistych przepływów płynów . CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Holandia, 478 stron. ISBN 978-0-415-49271-3 .
Clancy, LJ (1975). Aerodynamika . Londyn: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-01120-0 .
Nazarenko, Sergey (2014), Fluid Dynamics via Examples and Solutions , CRC Press (grupa Taylora i Francisa), ISBN 978-1-43-988882-7

Linki zewnętrzne