Równanie Sylwestra

W matematyce , w dziedzinie teorii sterowania , równanie Sylwestra jest równaniem macierzowym postaci:

{\ Displaystyle AX + XB = C.}

Następnie mając macierze A , B i C , problem polega na znalezieniu możliwych macierzy X , które spełniają to równanie. Zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki w liczbach zespolonych . Aby równanie miało sens, macierze muszą mieć odpowiednie rozmiary, na przykład wszystkie mogą być macierzami kwadratowymi o tym samym rozmiarze. Ale bardziej ogólnie, A i B muszą być macierzami kwadratowymi o rozmiarach odpowiednio n i m , a następnie X i C oba mają n wierszy i m kolumn.

Równanie Sylwestra ma unikalne rozwiązanie dla X dokładnie wtedy, gdy nie ma wspólnych wartości własnych A i − B . Mówiąc bardziej ogólnie, równanie AX + XB = C zostało uznane za równanie operatorów ograniczonych w (prawdopodobnie nieskończenie wymiarowej) przestrzeni Banacha . W tym przypadku warunek jednoznaczności rozwiązania X jest prawie taki sam: Istnieje unikalne rozwiązanie X dokładnie wtedy, gdy widma A i − B są rozłączne .

Istnienie i niepowtarzalność rozwiązań

Używając notacji iloczynu Kroneckera i operatora wektoryzacji , możemy przepisać równanie Sylwestra w postaci ${\ displaystyle \ operatorname {vec}}$

{\ Displaystyle (I_ {m} \ czasami A + B ^ {T} \ czasami I_ {n}) \ operatorname {vec} X =\nazwa_operatora {vec} C,}

gdzie ${\ Displaystyle A}$ ma wymiar ${\ Displaystyle n \! \ razy \! n}$ , ${\ displaystyle B}$ ma wymiar ${\ displaystyle m \! \ razy \! m}$ , ${\ Displaystyle X}$ wymiaru ${\ Displaystyle n \! \ razy \! m}$ i ${\ Displaystyle I_ {k}}$ jest macierzą tożsamości ${\ Displaystyle k \ razy k}$ . W tej postaci równanie można postrzegać jako liniowy układ wymiarów ${\ Displaystyle mn \ razy mn}$ .

Twierdzenie. Biorąc pod uwagę macierze $\ Displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ razy n}}$ i $\ in \ mathbb {C} ^ {m \ razy m}}$ $}}$ równanie Sylvestra ma unikalne rozwiązanie $Displaystyle$ $\ in \ mathbb {C} ^$ dla dowolnego $\ Displaystyle C \ in \ mathbb {C} ^ {n \ razy m}}$ $-B}$ i tylko wtedy, gdy i $Displaystyle$ nie mają żadnej wartości własnej.

Dowód. Równanie jest układem liniowym z ${\$ taką samą liczbą równań. $Displaystyle AX + XB = C}$ Stąd jest jednoznacznie rozwiązywalny dla dowolnego danego $wtedy$ $tylko$ $wtedy$ gdy jednorodne trywialne

$nie$ ) Załóżmy, że $i$ żadnej wartości własnej Niech $.$ rozwiązaniem powyższego jednorodnego równania Wtedy ${\ Displaystyle AX = X (-B)}$ , które można podnieść do ${\ Displaystyle A ^ {k} X = X (-B )^{k}}$ dla każdego ${\ displaystyle k \ geq 0}$ przez indukcję matematyczną. W konsekwencji dla dowolnego wielomianu $Displaystyle p$ $(A) X = Xp (-B)}$ . $.$ szczególności $wielomianem$ będzie charakterystycznym Wtedy ${\ Displaystyle p (A) = 0}$ ze względu na Twierdzenie Cayleya-Hamiltona ; tymczasem twierdzenie o mapowaniu widmowym mówi nam ${\ Displaystyle \ sigma (p (-B)) = p (\ sigma (-B)}}$ gdzie oznacza widmo macierzy. ${\ Displaystyle \ sigma (\ cdot)}$ Ponieważ i $-B}$ $Displaystyle$ nie mają żadnej wartości własnej, $\ Displaystyle p (\ sigma (-B))}$ { nie zawiera zera, a zatem ${\ Displaystyle p (-B)}$ . Zatem ${\ displaystyle X = 0}$ . To dowodzi części „jeśli” twierdzenia.

$-B}$ że i $displaystyle$ mają wspólną wartość własną ${\ displaystyle \ lambda}$ . Niech będzie odpowiednim prawym wektorem własnym dla $displaystyle$ v $v}$ będzie odpowiednim lewym wektorem własnym dla $-$ ${\ displaystyle -B}$ $X=u{v}^{*}}$ ${\$ . Następnie ${\ Displaystyle X \ neq 0}$ i ${\ Displaystyle AX + XB = A (uv ^ {*}) - (uv ^ {*}) (- B) = \ lambda uv ^ {*} - \ lambda uv ^ {*} = 0.} Stąd X {$ \ $X }$ jest nietrywialnym rozwiązaniem wspomnianego równania jednorodnego, uzasadniającym część twierdzenia „tylko jeśli”. CO BYŁO DO OKAZANIA

$)$ alternatywę dla twierdzenia o mapowaniu widmowym , nieosobliwość części (i dowodu można również wykazać za pomocą dla pierwszych. Niech będzie charakterystycznym wielomianem $\ displaystyle -B$ $}$ . Ponieważ i $własnej$ mają $żadnej$ ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle q}$ są względnie pierwsze. Stąd istnieją wielomiany $\ Displaystyle$ sol $g}$ takie, że ${\ Displaystyle p (z) f (z) + q(z)g(z)\równoważnik 1}$ . Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona , ${\ displaystyle q (-B) = 0}$ . Zatem ${\ Displaystyle p (-B) f (-B) = I}$ , co oznacza, że ${\ Displaystyle p (-B)}$ nie jest liczbą pojedynczą.

Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla rzeczywistych macierzy z zastrzeżeniem, że bierze się pod uwagę ich złożone wartości własne. Dowód części „jeśli” nadal obowiązuje; w przypadku części „tylko jeśli” zauważ, że zarówno ${\ Displaystyle \ operatorname {Re} (uv ^ {*})}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (uv ^ {*})}$ spełniają jednorodne równanie ${\ Displaystyle AX + XB = 0}$ i nie mogą być jednocześnie zerowe.

Reguła usuwania Rotha

Mając dwie kwadratowe macierze zespolone A i B , o rozmiarach n i m , oraz macierz C o rozmiarze n na m , można zapytać, kiedy następujące dwie macierze kwadratowe o rozmiarach n + m są do siebie podobne : $A&C \\0&B \ koniec {bmatrix}}}$ i ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \ koniec {bmatrix}}}$ . Odpowiedź jest taka, że te dwie macierze są podobne dokładnie wtedy, gdy istnieje macierz X taka, że AX − XB = C . Innymi słowy, X jest rozwiązaniem równania Sylwestra. Jest to znane jako reguła usuwania Rotha .

Łatwo sprawdzić jeden kierunek: Jeśli AX − XB = C to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} I_ {n} & X \\ 0 i I_ {m} \ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} A & C \\ 0 i B \ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} I_ { n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}

Reguła usuwania Rotha nie uogólnia się na nieskończenie wymiarowych operatorów ograniczonych w przestrzeni Banacha.

Rozwiązania numeryczne

Klasycznym algorytmem numerycznego rozwiązania równania Sylvestra jest algorytm Bartelsa – Stewarta , który polega na przekształceniu postaci Schura za pomocą algorytmu QR , a następnie rozwiązaniu powstałego układu trójkątnego ZA $\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ poprzez podstawienie wsteczne . Ten $, którego$ to [ ^{algorytm potrzebne źródło ]} jest używany między innymi przez LAPACK i funkcję lyap w GNU Octave . Zobacz także sylvester w tym języku. W niektórych konkretnych aplikacjach do przetwarzania obrazu, pochodne równanie Sylwestra ma rozwiązanie w postaci zamkniętej.

Zobacz też

Notatki

Sylwester, J. (1884). „Sur l'equations en macierze ${\ Displaystyle px = xq}$ ”. CR Acad. nauka Paryż . 99 (2): 67–71, 115–116.
Bartels, RH; Stewart, GW (1972). „Rozwiązanie równania macierzowego ${\ Displaystyle AX + XB = C}$ ” . Kom. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145/361573.361582 . S2CID 12957010 .
Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). „Jak i dlaczego rozwiązać równanie operatora ${\ Displaystyle AX-XB = Y}$ ?". Byk. Matematyka Londynu. soc. 29 (1): 1–21. doi : 10.1112/S0024609396001828 .
Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. (2011). „Jednoczesne rozwiązania równań Sylwestra i macierze idempotentne oddzielające wspólne widmo” . Aplikacja algebry liniowej 435 (9): 2097–2109. doi : 10.1016/j.laa.2010.09.034 .
Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. (2015). „Szybka fuzja obrazów wielopasmowych oparta na rozwiązaniu równania Sylwestra” . Transakcje IEEE dotyczące przetwarzania obrazu . 24 (11): 4109–4121. ar Xiv : 1502.03121 . Bibcode : 2015ITIP...24.4109W . doi : 10.1109/TIP.2015.2458572 . PMID 26208345 . S2CID 665111 .
Birkhoffa i MacLane'a. Przegląd współczesnej algebry . Macmillan. s. 213, 299.

Linki zewnętrzne