Rama ogólna

W logice układy ogólne (lub po prostu układy ) to układy Kripkego z dodatkową strukturą, które służą do modelowania logiki modalnej i pośredniej . Ogólna semantyka ram łączy w sobie główne zalety semantyki Kripkego i semantyki algebraicznej : podziela przejrzysty wgląd geometryczny pierwszej i solidną kompletność drugiej.

Definicja

Ogólna ${$ modalna potrójna $langle$ gdzie $)$ to rama Kripkego (tj. jest relacją binarną na zbiorze , a $}$$F$ to zbiór podzbiorów $\ displaystyle F}$ który jest zamknięty w następujący sposób:

• operacje logiczne (binarnego) przecięcia , sumy i dopełnienia ,
• operacja ${\ Displaystyle \ Box}$ , zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ Box A = \ {x \ w F \ mid \ forall y\in F\,(x\,R\,y\to y\in A)\}}$ .

Są więc szczególnym przypadkiem pól zbiorów z dodatkową strukturą . Celem ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ langle F, R \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle F, R, \ Vdash \$ model oparty na ramie Kripkego jest dopuszczalne w ogólnej ramie , jeśli R ⟩ {\ Displaystyle \ langle $, R \ rangle}$

${\ Displaystyle \ {x \ in F \ mid x \ Vdash p \} \ in V}$ dla każdej zmiennej zdaniowej ${\ displaystyle p}$ .

Warunki zamknięcia na następnie zapewniają, że $należy$ do każdego $\}}$ \ {x \ in F \ $A$ formuła $( nie tylko$ ).

Formuła jest ważna w , jeśli ${\ displaystyle x \ w fa}$$Vdash$ dopuszczalnych wycen $i$$\ Displaystyle$ punktów $\$ . Normalna logika modalna jest ważna w ramie , jeśli wszystkie $aksjomaty$ (lub równoważnie wszystkie twierdzenia $)$ z ${\ displaystyle L} są$ w $\mathbf {F} }$${\ displaystyle L$ . $}$ tym przypadku nazywamy ramkę - ramkę ${\ displaystyle \ mathbf {F}$ .

Ramę Kripkego można utożsamiać z ogólną ramą, w której wszystkie wyceny są dopuszczalne: $langle fa, R, {\ mathcal {P}} (F) \ rangle}$$,$ , gdzie oznacza zbiór potęg ${\ mathcal {P}} ($$Displaystyle$ .

Rodzaje ramek

Ogólnie rzecz biorąc, ogólne ramy to niewiele więcej niż fantazyjna nazwa modeli Kripkego ; w szczególności traci się zgodność aksjomatów modalnych z właściwościami relacji dostępności. Można temu zaradzić, nakładając dodatkowe warunki na zbiór dopuszczalnych wycen.

Nazywa się ramkę ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$

• ∀ ${\ Displaystyle \ forall A \ in V \ (x \ in A \ Strzałka w$$lewo$ in } ,
• ∀ ZA ${\ Displaystyle \ forall A \ in V \ (x \ in \ Box A \ Strzałka w prawo y \ in A)$$x\,R\,y}$$\$ Displaystyle ,
• compact , jeśli każdy podzbiór z właściwością skończonego przecięcia ma niepuste przecięcie, ${\ displaystyle V}$
• atomowy , jeśli zawiera wszystkie singletony, ${\ displaystyle V}$
• wyrafinowany , jeśli jest zróżnicowany i zwarty,
• opisowy , jeśli jest wyrafinowany i zwięzły.

Oprawy Kripke są wyrafinowane i atomowe. Jednak nieskończone ramy Kripkego nigdy nie są zwarte. Każda skończona zróżnicowana lub atomowa rama jest ramą Kripkego.

Ramy opisowe są najważniejszą klasą ram ze względu na teorię dualności (patrz poniżej). Udoskonalone ramy są przydatne jako wspólne uogólnienie ramek opisowych i Kripkego.

Operacje i morfizmy na ramkach

$R, V$ model Kripkego ogólny układ ${\ Displaystyle \ langle$ , gdzie $jako$ zdefiniowany

${\ Displaystyle V = {\ duży \ {} \ {x \ w F \ mid x \ Vdash A \} \ mid A {\ hbox {to formuła}} {\ duży \}}.}$

Podstawowe operacje zachowujące prawdę generowanych ramek podrzędnych, obrazów p-morficznych i rozłącznych połączeń ramek Kripkego mają swoje odpowiedniki w ramach ogólnych. Rama jest generowaną $_ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$$fa$ ramki $\ rangle}$ jeśli ramka Kripkego wygenerowaną ramką podrzędną ramki Kripkego ${\ Displaystyle \ langle G,$$} \$$\ langle F,$$.$${\$ tj jest podzbiorem zamkniętym w górę pod i $sol$ ) i

${\ Displaystyle W = \ {A \ czapka G \ środek A \ w V \}.}$

P -morfizm (lub morfizm ograniczony ) jest funkcją od $\ okrężnica \ mathbf {f} \ do \ mathbf$${$ G $} to jest p$$spełnia$ morfizm klatek Kripkego i ${\ Displaystyle \ langle F, R \ rangle$ dodatkowe

${\ Displaystyle f ^ {- 1} [A] \ w V}$ dla każdego ${\ Displaystyle A \ w W}$ .

Fa $i}, R_ {i}, V_ {i } \ rangle }$ fa { , ${\ Displaystyle i \ in I}$ , to rama ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$ , gdzie ${\ Displaystyle F}$ jest rozłącznym związkiem ${\ Displaystyle \ {F_ {i} \ mid i \ in I \}}$ , ${\ Displaystyle R}$ jest związkiem ${\ Displaystyle \ {R_ {i} \ środkowy i \ w ja \}}$ i

${\ Displaystyle V = \ {A \ subseteq F \ mid \ forall i \ in I \ (A \ cap F_ {i} \ in V_ {i}) \}.}$

Udoskonalenie ramki to udoskonalona $} mathbf {G} =\langle G,S,W\rangle }$$\ mathbf {F} = \ langle$ Displaystyle zdefiniowane w następujący sposób. Rozważamy relację równoważności

${\ Displaystyle x \ sim y \ iff \ forall A \ w V \, (x \ w A \ Strzałka w lewo y \ w A)}$

i niech będzie zbiorem klas równoważności . $G = F / {\ sim}}$ { $Displaystyle$ Następnie kładziemy

${\ Displaystyle \ langle x/{\ sim}, y / {\ sim} \ rangle \ w S \iff \forall A\in V\,(x\in \Box A\Strzałka w prawo y\in A),}$

${\ Displaystyle A / {\ sim} \ w W \ iff A \ w V.}$

Kompletność

W przeciwieństwie do ramek Kripkego, każda normalna logika modalna $kompletna$ w odniesieniu do klasy ramek ogólnych. Jest $}$ konsekwencją faktu, że w odniesieniu do klasy modeli Kripkego $L$${\ Displaystyle L} jest zamknięty$$w$ wyniku podstawienia, ogólna ramka wywołana przez -ramkę jest ${\ Displaystyle \ langle F, R {\ Vdash} \ rangle$ . Co więcej, każda logika $opisowej$ kompletna w odniesieniu do pojedynczej ramki . Rzeczywiście, $kompletny w odniesieniu do swojego modelu kanonicznego$$jest$ a ogólna rama wywołana przez model kanoniczny (nazywana ramą kanoniczną ) opisowa.

Dualizm Jónssona – Tarskiego

Drabina Riegera – Nishimury: 1-uniwersalna intuicjonistyczna rama Kripkego.

Jego podwójna algebra Heytinga, krata Riegera – Nishimury. Jest to darmowa algebra Heytinga nad 1 generatorem.

Ramy ogólne mają ścisły związek z algebrami modalnymi . Niech ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, R, V \ rangle}$ będzie ramą ogólną. Zbiór jest zamknięty pod operacjami boolowskimi, dlatego jest podalgebrą potęgowej algebry Boole'a $P}} ( F),\cap ,\cup ,-\rangle }$${$ . Zawiera również dodatkową operację jednoargumentową ${\ Displaystyle \ Box}$ . Połączona $_$ dualną _ _ $_ \mathbf {F}}$ i oznaczone przez ${\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {+}}$ .

W przeciwnym kierunku możliwe jest skonstruowanie układu podwójnego do dowolnej algebry modalnej ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {+} = \ langle F, R, V \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ langle A, \ klin, \ vee, - \ Box \ rangle}$ . Algebra $_$ ma Stone'a podstawowy $_$ _ _ _ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ . Zbiór $dopuszczalnych$ wycen $_$$składa$$się$ z zamkniętych podzbiorów _ jest określony przez

${\ Displaystyle x \, R \, y \ if \ forall a \ in A \, (\ Box a \ in x \ Strzałka w prawo a \ in y)}$

dla wszystkich ultrafiltrów i $displaystyle$$y}$ .

Rama i jej podwójna walidacja tych samych formuł, stąd ogólna semantyka ramowa i semantyka algebraiczna są w pewnym sensie równoważne. Podwójna liczba $modalnej$ algebry z $sobą$ Na ogół nie jest to prawdą w przypadku podwójnych liczb podwójnych ramek, ponieważ liczba podwójna każdej algebry jest opisowa. W rzeczywistości ramka $f} ^ {+}) _ {+ }}$${$ \ .

Możliwe jest również zdefiniowanie liczby dualnych p-morfizmów z jednej strony i homomorfizmów algebry modalnej z drugiej strony. W ten sposób operatory $}$ ) + \ Displaystyle ( $+$ } oraz kategoria algebr modalnych. Funktory te zapewniają dwoistość (zwaną dwoistością Jónssona – Tarskiego od Bjarniego Jónssona i Alfreda Tarskiego ) między kategoriami ram opisowych i algebrami modalnymi. Jest to szczególny przypadek bardziej ogólnej dualności między algebrami zespolonymi a ciałami zbiorów na strukturach relacyjnych .

Ramy intuicjonistyczne

Semantyka ramowa dla logiki intuicjonistycznej i pośredniej może być rozwijana równolegle do semantyki dla logiki modalnej. Intuicjonistyczna ogólna rama to $,$ na $F$$displaystyle$ } _ _ ${\ displaystyle V}$ to zbiór górnych podzbiorów ( stożków ) z $pustego$ , który zawiera zbiór pusty i jest zamknięty pod

• skrzyżowanie i połączenie,
• operacja ${\ Displaystyle A \ do B = \ Box (-A \ cup B)}$ .

Trafność i inne koncepcje są następnie wprowadzane podobnie do ram modalnych, z kilkoma zmianami koniecznymi, aby uwzględnić słabsze właściwości domknięcia zbioru dopuszczalnych wartościowań. W szczególności nazywana jest intuicjonistyczna rama ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ langle F, \ równoważnik, V \ rangle}$

• ${\ Displaystyle \ forall A \ w V \, (x \ w A \ Strzałka w lewo y \ w A)}$ ZA x ≤ $Displaystyle x \ równoważnik y}$ ,
• zwarty $_$ podzbiór _

Ciasne, intuicjonistyczne ramy są automatycznie różnicowane, a więc udoskonalane.

Podwójna ramy intuicjonistycznej $, \ czapka, \ kubek, \ do, \ pusty zestaw \ rangle}$ algebrą Heytinga $\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ langle$ . Podwójna $_$ _ $= \ langle F, \ równoważnik, V \ rangle}$$}$ } , gdzie jest zbiorem wszystkich filtrów głównych ${\ displaystyle F$$} \ displaystyle \$$mathbf {A$$\ displaystyle F$ , porządkowanie to inkluzja i składa się ze wszystkich podzbiorów postaci $}$

${\ Displaystyle \ {x \ w F \ mid a \ w x \},}$

gdzie $\ Displaystyle a \ w A}$ . Podobnie jak w przypadku modalnym, ${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {+}}$ i ${\ Displaystyle (\ cdot) _ {+}}$ to para kontrawariantnych funktorów, które tworzą kategorię algebr Heytinga podwójnie równoważne kategorii deskryptywnych ram intuicjonistycznych.

Możliwe jest skonstruowanie intuicjonistycznych ram ogólnych z przechodnich zwrotnych ram modalnych i odwrotnie, patrz towarzysz modalny .

• Alexander Chagrov i Michael Zakharyaschev, Logika modalna , tom. 35 Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.
• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke i Yde Venema, Logika modalna , tom. 53 z Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 2001.