Reprezentacja widmowa Källéna – Lehmanna

Källéna – Lehmanna daje ogólne wyrażenie dla (uporządkowanej w czasie) funkcji dwupunktowej oddziałującej kwantowej teorii pola jako sumy swobodnych propagatorów . Został odkryty niezależnie przez Gunnara Källéna i Harry'ego Lehmanna . Można to zapisać jako, używając sygnatury metrycznej przeważnie minus,

${\ Displaystyle \ Delta (p) = \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ { 2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }},}$

gdzie jest funkcją gęstości widmowej, która powinna być dodatnio określona. ${\ Displaystyle \ rho (\ mu ^ {2})}$ W teorii cechowania nie można spełnić tego ostatniego warunku, niemniej jednak można zapewnić reprezentację widmową. Należy to do nieperturbacyjnych technik kwantowej teorii pola .

Wyprowadzenie matematyczne

Poniższe wyprowadzenie wykorzystuje sygnaturę metryczną w większości minus.

Aby wyprowadzić reprezentację widmową dla propagatora pola $uwagę$${\ Displaystyle \ {| n \ rangle \}}$ pełny zestaw stanów tak, że dla funkcji dwupunktowej można napisać

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi ^ {\ sztylet} (y) | 0 \ rangle = \ suma _ {n} \ langle 0 | \ Phi (x) | n \ rangle \ langle n | \Phi ^{\sztylet}(y)|0\rangle .}$

Możemy teraz użyć niezmienniczości próżni Poincarégo do zapisania

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi ^ {\ sztylet} (y) | 0 \ rangle = \ suma _ {n} e ^ {-ip_ {n} \ cdot (xy)} | \ langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

Wprowadźmy funkcję gęstości widmowej

${\ Displaystyle \ rho (p ^ {2}) \ teta (p_ {0}) (2 \ pi) ^ {- 3} = \ suma _ {n} \ delta ^ {4} (pp_ {n })|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}}$ .

$displaystyle$ funkcja dwupunktowa, będąc funkcją , może zależeć tylko od $p ^ {2}$ } Poza tym wszystkie stany pośrednie mają ${\ displaystyle p ^ {2} \ geq 0}$ i ${\ displaystyle p_ {0}> 0}$ . Od razu widać, że widmowa funkcja gęstości jest rzeczywista i dodatnia. Więc można pisać

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi ^ {\ sztylet} (y) | 0 \ rangle = \ int {\ Frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ { 3}}}\int _{0}^{\infty}d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (xy)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0} )\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$

i swobodnie zamieniamy całkowanie, należy to zrobić ostrożnie z matematycznego punktu widzenia, ale tutaj to ignorujemy i zapisujemy to wyrażenie jako

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi ^ {\ sztylet} (y) | 0 \ rangle = \ int _{0}^{\infty}d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(xy;\mu ^{2})}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Delta '(xy ;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi)^{3}}}e^{-ip\cdot (xy)}\theta (p_{ 0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$ .

Z twierdzenia CPT wiemy również, że identyczne wyrażenie zachodzi dla ${\ Displaystyle \ langle 0 | \ Phi ^ {\ sztylet} (x) \ Phi (y) | 0 \ rangle}$ i tak dochodzimy do wyrażenia na chronologicznie uporządkowany iloczyn pól

${\ Displaystyle \ langle 0 | T \ Phi (x) \ Phi ^ {\ sztylet} (y) | 0 \ rangle = \ int _{0}^{\infty}d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (xy;\mu ^{2})}$

gdzie teraz

${\ Displaystyle \ Delta (p; \ mu ^ {2}) = {\ Frac {1} {p ^ {2} - \ mu ^ { 2}+i\epsilon }}}$

propagator cząstek . Teraz, mając dokładny propagator określony przez uporządkowaną chronologicznie funkcję dwupunktową, otrzymaliśmy rozkład widmowy.

Bibliografia

•   Weinberg, S. (1995). Kwantowa teoria pól: Tom I Podstawy . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0-521-55001-7 .
•   Peskin, Michał ; Schöder, Daniel (1995). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Grupa Książek Perseusza . ISBN 978-0-201-50397-5 .
•   Zinn-Justin, Jean (1996). Kwantowa teoria pola i zjawiska krytyczne (wyd. 3). Prasa Clarendona . ISBN 978-0-19-851882-2 .