S (teoria mnogości)

S jest aksjomatyczną teorią mnogości przedstawioną przez George'a Boolosa w jego artykule „Iteration Again” z 1989 roku. S , teoria pierwszego rzędu , jest dwuposortowana, ponieważ jej ontologia obejmuje zarówno „etapy”, jak i zbiory . Boolos zaprojektował S , aby ucieleśnić jego rozumienie „iteracyjnej koncepcji zbioru” i powiązanej iteracyjnej hierarchii . S ma ważną właściwość, że wszystkie aksjomaty teorii mnogości Zermelo Z , z wyjątkiem aksjomat ekstensjonalności i aksjomat wyboru , są twierdzeniami S lub ich lekką modyfikacją.

Ontologia

Każde zgrupowanie obiektów matematycznych , abstrakcyjnych lub konkretnych, niezależnie od ich formy, jest zbiorem , synonimem tego, co inne teorie mnogości nazywają klasą . Rzeczy, które składają się na kolekcję, nazywane są elementami lub członkami. Częstym przykładem kolekcji jest domena dyskursu teorii pierwszego rzędu .

Wszystkie zbiory są zbiorami, ale istnieją zbiory, które nie są zbiorami. Synonimem kolekcji, które nie są zbiorami, jest właściwa klasa . Istotnym zadaniem aksjomatycznej teorii mnogości jest odróżnienie zbiorów od klas właściwych, choćby dlatego, że matematyka opiera się na zbiorach, a klasy właściwe pełnią rolę czysto opisową.

Wszechświat Von Neumanna realizuje „iteracyjną koncepcję zbioru” poprzez rozwarstwienie wszechświata zbiorów na serię „etapów”, przy czym zbiory na danym etapie są możliwymi członkami zbiorów utworzonych na wszystkich wyższych etapach. Pojęcie sceny wygląda następująco. Każdemu etapowi przyporządkowana jest liczba porządkowa . Najniższy etap, etap 0, składa się ze wszystkich podmiotów, które nie mają członków. Zakładamy, że jedynym bytem na etapie 0 jest zbiór pusty , chociaż ten etap zawierałby dowolne ureelementy, które zdecydowalibyśmy się dopuścić. Etap n , rz >0, składa się ze wszystkich możliwych zbiorów utworzonych z elementów znajdujących się na dowolnym etapie, których liczba jest mniejsza od n . Każdy zestaw utworzony na etapie n może być również utworzony na każdym etapie większym niż n .

Stąd etapy tworzą zagnieżdżoną i dobrze uporządkowaną sekwencję i tworzyłyby hierarchię , gdyby członkostwo w zbiorze było przechodnie . Koncepcja iteracyjna stopniowo stawała się coraz bardziej akceptowana, pomimo niedoskonałego zrozumienia jej historycznych początków.

koncepcja zbioru omija, w dobrze umotywowany sposób, dobrze znane paradoksy Russella , Burali-Fortiego i Cantora . Wszystkie te paradoksy wynikają z nieograniczonego stosowania zasady rozumienia naiwnej teorii mnogości . Zbiory takie jak „klasa wszystkich zbiorów” czy „klasa wszystkich liczb porządkowych ” obejmują zbiory ze wszystkich etapów hierarchii iteracyjnej. Stąd takie kolekcje nie mogą powstać na żadnym etapie, a zatem nie mogą być zbiorami.

Pojęcia prymitywne

Ta sekcja następuje po Boolosie (1998: 91). Zmienne x i y obejmują zbiory, podczas gdy r , s i t obejmują etapy. Istnieją trzy prymitywne predykaty dwumiejscowe :

• Zbiór–zbiór: x ∈ y oznacza, jak zwykle, że zbiór x należy do zbioru y ;
• Set–stage: Fxr oznacza, że ​​zestaw x „tworzy się na” etapie r ;
• Etap–etap: r < s oznacza, że ​​etap r „jest wcześniejszy niż” etap s .

Poniższe aksjomaty zawierają zdefiniowany dwumiejscowy predykat o ustalonej fazie, Bxr , który jest skrótem:

${\ Displaystyle \ istnieje s [s <r \ land Fxs].}$

Bxr odczytuje się jako „zbiór x powstaje przed etapem r ”.

Tożsamość , oznaczona wrostkiem „=”, nie odgrywa w S roli , jaką odgrywa w innych teoriach mnogości, a Boolos nie wyjaśnia w pełni, czy logika tła obejmuje tożsamość. S nie ma aksjomatu ekstensjonalności , a tożsamość jest nieobecna w innych aksjomatach S. Tożsamość pojawia się w schemacie aksjomatów odróżniającym S+ od S , a także w wyprowadzaniu w S aksjomatów parowania , zbioru zerowego i nieskończoności Z. _

Aksjomaty

Symboliczne aksjomaty pokazane poniżej pochodzą z Boolos (1998: 91) i regulują zachowanie i interakcję zbiorów i etapów. Naturalne wersje językowe aksjomatów mają na celu wspomożenie intuicji.

Aksjomaty dzielą się na dwie grupy po trzy. Pierwsza grupa składa się z aksjomatów odnoszących się wyłącznie do etapów i relacji etap-etap „<”.

Tra : ${\ Displaystyle \ forall r \ forall s \ forall t [r <s \ ziemia s <t \ strzałka w prawo r <t] \,.}$

„Wcześniej niż” jest przechodnie.

Netto : ${\ Displaystyle \ forall s \ forall t \ istnieje r [t <r \ ziemia s <r] \,.}$

Konsekwencją Net jest to, że każdy etap jest wcześniejszy niż jakiś etap.

Inf : ${\ Displaystyle \ istnieje r \ istnieje u [u <r \ ziemia \ forall t [t <r \ strzałka w prawo \ istnieje s [t <s \ ziemia s <r]]] \,.}$

Jedynym celem Inf jest umożliwienie wyprowadzenia w S aksjomatu nieskończoności innych teorii mnogości.

Druga i ostatnia grupa aksjomatów obejmuje zarówno zbiory, jak i etapy oraz predykaty inne niż „<”:

Wszystko : ${\ Displaystyle \ forall x \ istnieje rFxr \,.}$

Każdy zestaw jest tworzony na jakimś etapie hierarchii.

Kiedy : ${\ Displaystyle \ forall r \ forall x [Fxr \ leftrightarrow [\ forall y (y \ in x \ rightarrow Byr) \ ziemia \ lnot Bxr]] \,.}$

Zbiór powstaje na pewnym etapie, jeśli jego członkowie są uformowani na wcześniejszych etapach.

Niech A ( y ) będzie formułą S , gdzie y jest wolne, ale x nie. Wtedy obowiązuje następujący schemat aksjomatów:

Spec : ${\ Displaystyle \ istnieje r \ forall y [A (y) \ rightarrow Byr] \ rightarrow \ istnieje x \ forall y [y \ in x \ leftrightarrow A (y)] \,.}$

Jeśli istnieje etap r taki, że wszystkie zbiory spełniające A ( y ) powstają na etapie wcześniejszym niż r , to istnieje zbiór x , którego członkami są właśnie te zbiory spełniające A ( y ). Rola Spec w S jest analogiczna do roli schematu aksjomatów specyfikacji Z .

Dyskusja

Imię Boolosa dla teorii mnogości Zermelo minus ekstensjonalność brzmiało Z- . Boolo wyprowadzone w S wszystkie aksjomaty Z- z wyjątkiem aksjomatu wyboru . Celem tego ćwiczenia było pokazanie, w jaki sposób większość konwencjonalnej teorii mnogości można wyprowadzić z iteracyjnej koncepcji mnogości, zakładanej ucieleśnieniem w S . Ekstensjonalność nie wynika z koncepcji iteracyjnej, a więc nie jest twierdzeniem S. Jednak S + Ekstensjonalność jest wolna od sprzeczności, jeśli S jest wolny od sprzeczności.

Boolos następnie zmienił Spec, aby otrzymać wariant S , który nazwał S+ , tak że schemat aksjomatu zastępowania można wyprowadzić w S+ + Ekstensjonalność. Stąd S+ + Ekstensjonalność ma moc ZF . Boolos argumentował również, że aksjomat wyboru nie wynika z koncepcji iteracyjnej, ale nie odniósł się do tego, czy Wybór można w jakiś sposób dodać do S. Stąd S+ + Ekstensjonalność nie może udowodnić tych twierdzeń konwencjonalnej teorii mnogości ZFC , którego dowody wymagają Wyboru.

Inf gwarantuje istnienie etapów ω i ω + n dla skończonego n , ale nie etapu ω + ω. Niemniej jednak S daje wystarczająco dużo Cantorowskiego raju , aby ugruntować prawie całą współczesną matematykę.

Boolos porównuje S do pewnego stopnia z wariantem systemu Grundgesetze Fregego , w którym zasada Hume'a , przyjęta jako aksjomat, zastępuje podstawowe prawo Fregego V, aksjomat nieograniczonego rozumienia , który uczynił system Fregego niespójnym; zobacz paradoks Russella .

przypisy

•   Boolos, George (1989), „Ponowna iteracja”, Tematy filozoficzne , 17 : 5–21, JSTOR 43154050 . Przedruk w:   Boolos, George (1998), Logic, Logic and Logic , Harvard University Press, s. 88–104, ISBN 9780674537675 .
•   Potter, Michael (2004), Teoria mnogości i jej filozofia , Oxford University Press, ISBN 9780199269730 .