Stopień spójności

W optyce kwantowej funkcje korelacji są wykorzystywane do charakteryzowania właściwości statystycznych i koherencyjnych pola elektromagnetycznego. Stopień koherencji to znormalizowana korelacja pól elektrycznych; w najprostszej formie, określanej jako ${\ Displaystyle g ^ {(1)}} sol ( 1 ) {\ displaystyle g ^ {(1)}$ } Jest to przydatne do ilościowego określania spójności między dwoma polami elektrycznymi, mierzonej za pomocą interferometru Michelsona lub innego liniowego interferometru optycznego . Korelacja między parami pól $używana$ znalezienia statystycznego charakteru fluktuacji Korelacja pierwszego rzędu to tak naprawdę korelacja amplituda-amplituda, a korelacja drugiego rzędu to korelacja intensywność-intensywność. Służy również do rozróżniania stanów światła, które wymagają opisu mechaniki kwantowej , od tych, dla których wystarczające są pola klasyczne. Analogiczne rozważania dotyczą dowolnego pola Bosego w fizyce subatomowej, w szczególności mezonów (por. Korelacje Bosego – Einsteina ).

Stopień spójności pierwszego rzędu

Rysunek 1: Jest to wykres wartości bezwzględnej g ⁽¹⁾ jako funkcji opóźnienia znormalizowanego do długości koherencji τ/ _τc . Niebieska krzywa dotyczy stanu spójnego (laser idealny lub pojedyncza częstotliwość). Czerwona krzywa jest dla lorentzowskiego światła chaotycznego (np. rozszerzone kolizyjnie). Zielona krzywa dotyczy światła chaotycznego Gaussa (np. z poszerzeniem Dopplera).

Znormalizowana funkcja korelacji pierwszego rzędu jest zapisana jako:

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (\ mathbf {r} _ {1}, t_ {1}; \ mathbf {r} _ {2}, t_ {2}) = {\ frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{ \left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf { r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{\frac {1}{2}}}},}$

gdzie $.$ statystyczną) średnią W przypadku stanów niestacjonarnych, takich jak impulsy, zespół składa się z wielu impulsów. Kiedy mamy do czynienia ze stanami stacjonarnymi, w których właściwości statystyczne nie zmieniają się w czasie, średnią zespołową można zastąpić średnią czasową. Jeśli ograniczymy się do płaskich fal równoległych do siebie, to ${\ displaystyle \ mathbf {r} = z}$ .

$}}$ przypadku wynik dla stanów stacjonarnych nie będzie zależał od { $}$${1}$ (lub ${\ Displaystyle \ tau = t_ {1} -t_ {2} = {\ Frac {z_ {1} -z_ {2}} {c }}}$ jeśli ${\ Displaystyle z_ {1} \ neq z_ {2}}$ ).

To pozwala nam napisać uproszczoną formę

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (\ tau) = {\ Frac {\ lewo \ langle E ^ {*} (t) E (t + \ tau) \ prawo \ rangle} {\ lewo \ langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

gdzie mamy teraz uśrednione ponad t .

Aplikacje

W interferometrach optycznych, takich jak interferometr Michelsona , interferometr Macha – Zehndera lub interferometr Sagnaca , dzieli się pole elektryczne na dwie składowe, wprowadza opóźnienie czasowe do jednego z nich, a następnie łączy je ponownie. Intensywność pola wynikowego jest mierzona jako funkcja opóźnienia czasowego. W tym konkretnym przypadku, obejmującym dwa równe natężenia wejściowe, widoczność wynikowego obrazu interferencyjnego jest dana wzorem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nu & = \ lewo | g ^ {(1)} (\ tau) \ prawo | \\\ nu & = \ lewo | g ^ {(1)} (\ mathbf { r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\prawo|\end{wyrównane}}}$

gdzie drugie wyrażenie polega na połączeniu dwóch punktów czasoprzestrzennych z pola. Widoczność waha się od zera, dla niespójnych pól elektrycznych, do 1, dla spójnych pól elektrycznych. Wszystko pomiędzy jest określane jako częściowo spójne.

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (0) = 1}$ i sol $\ Displaystyle g ^ { (1)}(\tau )=g^{(1)}(-\tau )^{*}}$ .

Przykłady g ⁽¹⁾

Dla światła o pojedynczej częstotliwości (źródła punktowego):

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (\ tau) = e ^ {-i \ omega _ {0} \ tau}}$

Dla światła chaotycznego Lorentza (np. rozszerzone zderzenie):

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (\ tau) = e ^ {-i \ omega _ {0} \ tau - {\ Frac {|\ tau |} {\ tau _ {c}}}} }$

Dla światła chaotycznego Gaussa (np. z poszerzeniem Dopplera):

${\ Displaystyle g ^ {(1)} (\ tau) = e ^ {-i \ omega _ {0} \ tau -{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\tau }{\tau _{c}}}\right)^{2}}}$

Tutaj $_ {0}} to$$omega$ częstotliwość światła, a to czas koherencji światła.

Stopień spójności drugiego rzędu

Znormalizowana funkcja korelacji drugiego rzędu jest zapisana jako:

Rysunek 2: To jest wykres g ⁽²⁾ jako funkcji opóźnienia znormalizowanego do długości koherencji τ/ _τc . Niebieska krzywa dotyczy stanu spójnego (laser idealny lub pojedyncza częstotliwość). Czerwona krzywa jest dla lorentzowskiego światła chaotycznego (np. rozszerzone kolizyjnie). Zielona krzywa dotyczy światła chaotycznego Gaussa (np. z poszerzeniem Dopplera). Chaotyczne światło jest superpoissonowskie i skupione.

${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ mathbf {r} _ {1}, t_ {1}; \ mathbf {r} _ {2}, t_ {2}) = {\ Frac {\ lewo \langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r } _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{ 1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2} \right\rangle }}}$

Należy zauważyć, że nie jest to uogólnienie spójności pierwszego rzędu

$kategoriach$ za klasyczne, możemy zmienić ich kolejność, aby wyrazić intensywności Płaska równoległa fala w stanie stacjonarnym będzie miała

${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau) = {\ Frac {\ lewo \ langle ja(t)ja(t+\tau )\prawo\rangle }{\lewo\langle I(t)\prawo\rangle ^{2}}}}$

Powyższe wyrażenie jest parzyste, ${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau) = g ^ {(2)} (- \ tau)}$ . W przypadku pól klasycznych można zastosować nierówność Cauchy'ego-Schwarza do intensywności w powyższym wyrażeniu (ponieważ są to liczby rzeczywiste), aby pokazać, że ${\ displaystyle g ^ {( 2)}(\tau )\równoważnik g^{(2)}(0)}$ . Nierówność ${\ Displaystyle \ lewo \ langle I (t) ja (t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right \ rangle \ right]} ^ {2} \ right \ rangle \ geq 0}$ pokazuje, że ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik g ^ {(2)} (0) \ równoważnik \ infty }$ . Zakładając niezależność intensywności, gdy $\ Displaystyle g ^ {(2)} (+ \ infty)$ do $sol$ . Niemniej jednak spójność drugiego rzędu dla średniej na prążkach komplementarnych $.$ interferometru stanu spójnego wynosi tylko 0,5 ( ) I $)$ można zredukować do zera przy odpowiednim poziomie wyzwalania dyskryminacyjnego w zakresie koherencji).

Przykłady g ⁽²⁾

• Chaotyczne światło wszelkiego rodzaju: ${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau) = 1 + \ lewo | g ^ {(1)} (\ tau) \ prawo | ^ {2}}$ .

Zauważ, że efekt Hanbury'ego Browna i Twissa wykorzystuje ten fakt do znalezienia ${\ Displaystyle \ lewo | g ^ {(1)} (\ tau) \ prawej |}$ z pomiaru sol $\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau)}$ .

• Światło o pojedynczej częstotliwości: ${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau) = 1}$ .

• W przypadku przeciwłączenia fotonów , dla pojedynczego źródła fotonów mamy $Displaystyle$$g ^ {(2)} (0) = 0}$

  ${\ Displaystyle g ^ {(2)} (0) = {\ Frac {\ lewo \ langle n (n-1) \ prawo \ rangle {\ lewo \ langle n \ prawo \ rangle ^ {2}}},}$

  gdzie ${\ displaystyle n}$ jest obserwowalną liczbą fotonów.

Stopień koherencji n -tego rzędu

Uogólnienie koherencji pierwszego rzędu

${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ mathbf {r} _ {1}, t_ {1}; \ mathbf {r} _ {2}, t_ {2}; \ kropki; \mathbf {r} _{2n},t_{2n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*} (\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{n+ 1},t_{n+1})E(\mathbf {r} _{n+2},t_{n+2})\kropki E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n}) \right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left |E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2n}, t_{2n})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}}}$

Uogólnienie koherencji drugiego rzędu

${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ mathbf {r} _ {1}, t_ {1}; \ mathbf {r} _ {2}, t_ {2}; \ kropki; \ mathbf {r } _{n},t_{n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf { r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{1},t_{1 })E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right\rangle }{\left\langle \left |E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{ 2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right|^{2}\right\ zakres }}}$

lub w intensywności

${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\kropki ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots I(\mathbf {r} _{n},t_{ n})\rangle }{\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})\rangle \langle I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\rangle \ cdots \langle I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }}}$

Przykłady g ^{( n )}

Światło o pojedynczej częstotliwości:

${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ mathbf {r} _ {1}, t_ { 1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\kropki ;\mathbf {r} _{n},t_{n})=1}$

Korzystając z pierwszej definicji: Chaotyczne światło wszelkiego rodzaju: ${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ infty) = 0}$

Korzystając z drugiej definicji: Chaotyczne światło wszelkiego rodzaju: ${\ Displaystyle g ^ {(n)} (\ infty) = 1}$ Chaotyczne światło wszelkiego rodzaju: ${\ Displaystyle g ^ {(n)} (0) = n!}$

Uogólnienie na pola kwantowe

Rysunek 3: Jest to wykres funkcji g ⁽²⁾ jako funkcji opóźnienia znormalizowanego do długości koherencji τ/ _τc . Wartość g ⁽²⁾ poniżej przerywanej czarnej linii może wystąpić tylko w kwantowo-mechanicznym modelu światła. Czerwona krzywa pokazuje g ⁽²⁾ antywiązkowego i sub-Poissonowskiego światła emitowanego z pojedynczego atomu napędzanego wiązką laserową.

Przewidywania dla $1$ > zmieniają się, gdy pola klasyczne ( liczby zespolone lub c zostaną zastąpione polami kwantowymi ( operatorami lub q ). Ogólnie rzecz biorąc, pola kwantowe niekoniecznie dojeżdżają do pracy, co powoduje, że ich kolejność w powyższych wyrażeniach nie może być po prostu zamieniona.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E ^ {*} & \ rightarrow {\ kapelusz {E}} ^ {-} \\ E & \ rightarrow {\ kapelusz {E}} ^ {+}. \ koniec {wyrównane} }}$

Z

${\ Displaystyle {\ kapelusz {E}} ^ {-} = -i \ lewo ({\ frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{\frac {1}{2}}{\kapelusz {a}}^{\sztylet}e^{-i( kz-\omega t)}}$

otrzymujemy w przypadku światła stacjonarnego:

${\ Displaystyle g ^ {(2)} = {\ frac {\ lewo \ langle {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} (t) {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} (t + \ tau) {\ kapelusz {a}}(t+\tau ){\kapelusz {a}}(t)\prawo\rangle }{\lewo\langle {\kapelusz {a}}^{\sztylet}(t){\kapelusz {a }}(t)\prawo\zakres ^{2}}}}$

Gromadzenie fotonów

Rysunek 4: To jest wykres g ⁽²⁾ jako funkcji opóźnienia znormalizowanego do długości koherencji τ/ _τc . To jest przykład ag ⁽²⁾ , który wskazuje na światło antywiązkowe, ale nie na światło sub-Poissonowskie.

Rysunek 5: Wykrywanie fotonów w funkcji czasu dla a) antygrupowania (np. światło emitowane z pojedynczego atomu), b) losowego (np. stan spójny, wiązka laserowa) oraz c) grupowania (światło chaotyczne). τ _c to czas koherencji (skala czasu fluktuacji fotonu lub intensywności).

Mówi się, że światło jest skupione, jeśli ${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau) <g ^ {(2)} (0)}$${\ Displaystyle g ^ {(2)} (\ tau)> g ^ {(2)} (0)}$ .

Zobacz też

• Korelacje Bosego-Einsteina
• Teoria koherencji
• Korelacja i zależność
• Spektroskopia z transformacją Fouriera
• Normalnie rozłożony i nieskorelowany nie oznacza niezależnego
• Autokorelacja optyczna
• Rozkazy spójności
• Twierdzenie Van Citterta-Zernike'a
• Widoczność interferometryczna

Sugerowane czytanie

•   Loudon, Rodney, Kwantowa teoria światła (Oxford University Press, 2000), ISBN 0-19-850177-3