Superfunkcja

W matematyce nadfunkcja jest niestandardową nazwą funkcji iterowanej dla złożonego ciągłego wskaźnika iteracji . Z grubsza, dla pewnej funkcji f i dla pewnej zmiennej x nadfunkcję można zdefiniować za pomocą wyrażenia

{\ Displaystyle S (z; x) = \ underbrace {f {\ duży (} f {\ duży (} \ kropki f (x) \ kropki {\ duży)} {\ duży)}} _ {z {\ tekst { oceny funkcji}}\,f}.}

Wtedy S ( z ; x ) można interpretować jako nadfunkcję funkcji f ( x ). Taka definicja obowiązuje tylko dla dodatniego indeksu całkowitego z . Zmienna x jest często pomijana. Wiele badań i wiele zastosowań superfunkcji wykorzystuje różne rozszerzenia tych superfunkcji do złożonych i ciągłych wskaźników ; oraz analiza istnienia, wyjątkowości i ich ocena. Funkcje Ackermanna i tetracja można interpretować w kategoriach superfunkcji.

Historia

Analiza superfunkcji wyrosła z zastosowania oceny ułamkowych iteracji funkcji. Nadfunkcje i ich odwrotności pozwalają na obliczenie nie tylko pierwszej ujemnej potęgi funkcji ( funkcji odwrotnej ), ale także dowolnej rzeczywistej , a nawet złożonej iteracji tej funkcji. Historycznie rzecz biorąc, rozważaną wczesną funkcją tego rodzaju była ${\ displaystyle {\ sqrt {\ exp}}}$ ; funkcja ${\ Displaystyle {\ sqrt {\,! \;}}}$ zostało następnie użyte jako logo wydziału fizyki Moskiewski Uniwersytet Państwowy .

$ci$ nie mieli dostępu obliczeniowego do oceny takich funkcji, ale funkcja więcej szczęścia niż ${\ Displaystyle {\ sqrt {\,! \;}}}$ $\varphi (\varphi (u))=\exp(u)$ przynajmniej istnienie funkcji holomorficznej $takiej$ , że zademonstrował w 1950 roku Hellmuth Kneser .

Opierając się na eleganckiej funkcjonalnej teorii koniugacji równania Schrödera , dla swojego dowodu, Kneser skonstruował „nadfunkcję” mapy wykładniczej poprzez odpowiednią funkcję Abela , spełniającą powiązane równanie Abela . ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {X}} (\ exp (u)) = {\ mathcal {X}} (u) + 1. \}

tak, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} (S (z; u)) = {\ mathcal {X}} (u) + z \ }$ . Funkcja odwrotna znaleziona przez Knesera,

{\ Displaystyle S (z; u) = {\ mathcal {X}} ^ {- 1} (z + {\ mathcal {X}} ( u))}

jest całą superwykładniczą, chociaż nie jest rzeczywista na osi rzeczywistej; $,$ interpretować jako tetracyjnego ponieważ warunek całej superwykładniczej Prawdziwy można skonstruować za pomocą tetrational ( $;$ jest również superwykładniczy) podczas gdy prawdziwy ${\ Displaystyle {\ sqrt {\,! \;}}}$ można skonstruować za pomocą superczynnik .

Istnieje książka poświęcona superfunkcjom

Rozszerzenia

Formułę powtarzania powyższej preambuły można zapisać jako

{\ Displaystyle S (z + 1; x) = f (S (z; x)) ~~~~ ~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}

{\ Displaystyle S (1) = f (x).}

Zamiast ostatniego równania można by napisać funkcję tożsamościową,

{\ Displaystyle S (0) = x ~,}

i rozszerz zakres definicji nadfunkcji S do nieujemnych liczb całkowitych. Wtedy można założyć

{\ Displaystyle S (-1) = f ^ {- 1} (x),}

i rozszerz zakres ważności do wartości całkowitych większych niż -2.

Kolejne rozszerzenie, np.

{\ Displaystyle S (-2) = f ^ {- 2} (x)}

nie jest trywialne, ponieważ funkcja odwrotna może nie być zdefiniowana dla niektórych wartości ${\ displaystyle x}$ . W szczególności tetrację można interpretować jako nadfunkcję potęgowania dla jakiejś $rzeczywistej$ ; w tym przypadku,

{\ displaystyle f = \ exp _ {b}.}

Wtedy przy x = 1,

{\ Displaystyle S (-1) = \ log _ {b} 1 = 0,}

Ale

{\ Displaystyle S (-2) = \ log _ {b} 0}

nie jest zdefiniowany.

Aby rozszerzyć argument na niecałkowite wartości argumentu, nadfunkcję należy zdefiniować w inny sposób.

${\$ zespolonych i $displaystyle b}$ takich, że należy do $za {\ displaystyle$ połączonej domeny , $nadfunkcją$ (od $a}$ $}$ do ${\ displaystyle b}$ ) funkcji holomorficznej f w domenie jest funkcją , ${\ displaystyle D$ holomorficzny w domenie taki, że ${\ displaystyle D}$

{\ Displaystyle S (z \! + \! 1) = f (S (z)) ~ \ dla wszystkich z \ in D:z\!+\!1\in D\ }

{\ displaystyle S (a) = b. \}

Wyjątkowość

Ogólnie superfunkcja nie jest wyjątkowa. Dla danej funkcji bazowej $S$ z danej superfunkcji ${\ Displaystyle (a \ mapsto d)}$ $Displaystyle S}$ , innej $\ Displaystyle (a \ mapsto d)}$ $Superfunkcja$ może być skonstruowana

{\ Displaystyle G (z) = S (z + \ mu (z)) \}

gdzie jest dowolną 1- $funkcją$ , holomorficzną przynajmniej w pewnym sąsiedztwie osi rzeczywistej, taką, że ${\ displaystyle \ mu (a) = 0}$ .

Zmodyfikowana superfunkcja może mieć węższy zakres holomorfii. Różnorodność możliwych nadfunkcji jest szczególnie duża w przypadku granicznym, gdy szerokość zakresu holomorfii wynosi zero; w tym przypadku mamy do czynienia z superfunkcjami realno-analitycznymi .

$,$ że nadfunkcja będzie wyjątkowa, przynajmniej w niektórych określonych funkcjach podstawowych . W szczególności nadfunkcją $b$ ${\ displaystyle \ exp _ {b}}$ > $displaystyle b> 1}$ ( do , zwany tetracją i uważa się, że jest unikalny, przynajmniej dla ${\ Displaystyle C = \ {z \ w \ mathbb {C} ~: ~ \ Re (z)> -2 \}}$ ; w przypadku ${\ Displaystyle b> \ exp (1/\ operatorname {e})}$ , ale do 2009 roku wyjątkowość była przypuszczeniem , a nie twierdzeniem z formalnym dowodem matematycznym .

Przykłady

Ten krótki zbiór elementarnych superfunkcji jest zilustrowany w. Niektóre superfunkcje można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych ; są używane bez wzmianki, że są superfunkcjami. Na przykład dla funkcji przenoszenia „++”, co oznacza przyrost jednostki, superfunkcja jest po prostu dodaniem stałej.

Dodatek

Wybierz $\$ zespoloną i zdefiniuj funkcję za $Displaystyle \ operatorname {dodaj}$ za ${\ Displaystyle \ operatorname {dodaj$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ . Dalej zdefiniuj funkcję przez ${\ displaystyle \ operatorname {mul_ {c}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {mul_ {c}} (x) = c \ cdot x}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ .

Wtedy funkcja ${\ Displaystyle S (z; x) = x + \ operatorname {mul_ {c}} (z)}$ jest nadfunkcją (0 do c ) funkcji $\ Displaystyle \ operatorname {add_ {c}}}$ . za re {

Mnożenie

Potęgowanie jest nadfunkcją (od 1 do $funkcji$ m $} _ {c}$ ${$ .

Wielomiany kwadratowe

Przykłady, z wyjątkiem ostatniego, poniżej, pochodzą zasadniczo z pionierskiej pracy Schrödera z 1870 roku.

Niech ${\ Displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -1}$ . Następnie,

{\ Displaystyle S (z; x) = \ cos (2 ^ {z} \ arccos (x))}

jest $_$ . _ _

Rzeczywiście,

{\ Displaystyle S (z + 1; x) = \ cos (2 \ cdot 2 ^ {z} \ arccos (x)) = 2 \ cos (2 ^ {z} \ arccos (x)) ^ {2} - 1=f(S(z;x))\ }

i ${\ Displaystyle S (0; x) = x.}$

W tym przypadku nadfunkcja jest okresowa, z okresem $=$ $\ ln (2)} }i\około 9,0647202836543876194\!~i}$ ; a nadfunkcja zbliża się do jedności w kierunku ujemnym na osi rzeczywistej:

{\ Displaystyle \ lim _ {z \ strzałka w prawo - \ infty} S (z) = 1. \}

Funkcja algebraiczna

Podobnie,

{\ Displaystyle f (x) = 2x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}

ma orbitę iteracyjną

{\ Displaystyle S (z; x) = \ sin (2 ^ {z} \ arcsin (x)).}

Funkcja wymierna

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja transferu (skoku) f ( x ) nie musi być całą funkcją . Przykład obejmujący funkcję meromorficzną f brzmi:

{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {2x} {1-x ^ {2}}} ~~~~~ \ dla wszystkich x \ w re }

;

{\ Displaystyle ~ D = \ mathbb {C} \ setminus \ {-1,1 \}.}

Jego orbita iteracyjna (superfunkcja) to

{\ Displaystyle S (z; x) = \ tan (2 ^ {z} \ arctan (x))}

na C , zbiór liczb zespolonych z wyjątkiem osobliwości funkcji S . Aby to zobaczyć, przypomnij sobie wzór trygonometryczny podwójnego kąta

{\ Displaystyle \ tan (2 \ alfa) = {\ Frac {2 \ tan (\ alfa)} {1- \ tan (\ alfa) ^ {2}}} ~ ~ \ forall \ alfa \ w \ mathbb {C } \setminus \{\alpha \in \mathbb {C} :\cos(\alpha)=0{\text{lub }}\sin(\alpha)=\pm \cos(\alpha)\}.}

Potęgowanie

Niech ${\ Displaystyle b> 1}$ , ${\ Displaystyle f (u) = \ exp _ {b} (u)}$ , ${\ Displaystyle C = \ {z \ w \ mathbb {C}: \ Re (u)> -2 \}}$ . Tetracja ${\ Displaystyle \ operatorname {tet} _ {b}}$ _ jest wtedy za ${\ Displaystyle (C, ~ 0 \! \ rightarrow \! 1)}$ exp $\ Displaystyle \ exp _ { b}}$ .

Funkcja Abela

Odwrotność nadfunkcji dla odpowiedniego argumentu x może być interpretowana jako funkcja Abela , rozwiązanie równania Abela ,

{\ Displaystyle {\ mathcal {X}} (\ exp (u)) = {\ mathcal {X}} (u) + 1. \}

i stąd

{\ Displaystyle {\ mathcal {X}} (S (z; u)) = {\ mathcal {X}} (u) + z. \}

Funkcja odwrotna, gdy jest zdefiniowana, to

{\ Displaystyle S (z; u) = {\ mathcal {X}} ^ {- 1} (z + {\ mathcal {X}} (u)),}

dla odpowiednich domen i zakresów, jeśli takie istnieją. Rekurencyjna właściwość S jest wtedy oczywista.

Rysunek po lewej pokazuje przykład przejścia z ${\ Displaystyle \ exp ^ {1} \! = \! \ exp}$ do ${\ Displaystyle \ exp ^ {\! -1} \ !=\!\ln }$ . Funkcja iterowana ${\ displaystyle \ exp ^ {z}}$ w funkcji rzeczywistego argumentu jest wykreślana dla ${\ Displaystyle Z = 2,1,0,9,0,5,0,1, -0,1, -0,5, -0,9, -1, -2}$ . Tetrational i ArcTetrational zostały użyte $jako$ nadfunkcja funkcja $wykładniczego$ . Rysunek po prawej pokazuje te funkcje na płaszczyźnie zespolonej. Przy nieujemnej liczbie całkowitej iteracji iterowana wykładnicza jest całą funkcją ; przy wartościach niecałkowitych ma dwa punkty rozgałęzienia , które odpowiadają stały punkt i logarytm naturalny $Displaystyle$ $L ^ {*}$ . Z $\ Displaystyle z \! \ geq \! 0}$ ${\ Displaystyle \ exp ^ {z} (x)}$ funkcja pozostaje holomorficzna przynajmniej w pasku ${\ Displaystyle |\ Im (z) | <\ Im (L) \ około 1,3}$ wzdłuż osi rzeczywistej.

Zastosowania nadfunkcji i funkcji Abela

Superfunkcje, zwykle superwykładnicze , są proponowane jako szybko rosnąca funkcja do ulepszenia zmiennoprzecinkowej reprezentacji liczb w komputerach. Takie ulepszenie znacznie rozszerzyłoby zakres ogromnych liczb, które wciąż można odróżnić od nieskończoności.

Inne zastosowania obejmują obliczanie ułamkowych iteracji (lub potęg ułamkowych) funkcji. Dowolną funkcję holomorficzną można zidentyfikować jako funkcję przenoszenia, a następnie można rozważyć jej nadfunkcje i odpowiadające im funkcje Abela.

Optyka nieliniowa

W badaniu nieliniowej odpowiedzi materiałów optycznych próbka powinna być optycznie cienka, w taki sposób, aby natężenie światła nie zmieniało się zbytnio podczas jej przechodzenia. Następnie można rozważyć na przykład absorpcję jako funkcję intensywności. Jednak przy niewielkich zmianach natężenia w próbce dokładność pomiaru absorpcji w funkcji natężenia nie jest dobra. Rekonstrukcja nadfunkcji z transmitancji pozwala na pracę ze stosunkowo grubymi próbkami, poprawiając precyzję pomiarów. W szczególności funkcja przenoszenia podobnej próbki, która jest o połowę cieńsza, może być interpretowana jako pierwiastek kwadratowy (tj. pół-iteracja) funkcji przenoszenia próbki początkowej.

Podobny przykład sugerowany jest dla światłowodu nieliniowego.

Akustyka nieliniowa

Sensowne może być scharakteryzowanie nieliniowości w tłumieniu fal uderzeniowych w rurze jednorodnej. Mogłoby to znaleźć zastosowanie w jakimś zaawansowanym tłumiku, wykorzystującym nieliniowe efekty akustyczne do wycofania energii fal dźwiękowych bez zakłócania strumienia gazu. Ponownie, analiza odpowiedzi nieliniowej, tj. transmitancji, może być wzmocniona superfunkcją.

Parowanie i kondensacja

W analizie skraplania można wziąć pod uwagę wzrost (lub odparowanie) małej kropli cieczy, ponieważ dyfunduje ona przez rurkę z pewnym równomiernym stężeniem pary. W pierwszym przybliżeniu, przy ustalonym stężeniu pary, masę kropli na końcu wyjściowym można interpretować jako funkcję przenoszenia masy wejściowej. Pierwiastek kwadratowy z tej funkcji przenoszenia będzie charakteryzował rurę o połowie długości.

Lawina śniegu

Masę kuli śnieżnej, która stacza się ze wzgórza, można uznać za funkcję drogi, którą już przeszła. Przy ustalonej długości tej ścieżki (którą można określić wysokością wzniesienia) masę tę można traktować również jako funkcję przenoszenia masy wejściowej. Masę kuli śnieżnej można było zmierzyć na szczycie wzgórza i na dole, podając funkcję przenoszenia; wtedy masa kuli śnieżnej, jako funkcja długości, jaką pokonała, jest nadfunkcją.

Element operacyjny

Jeśli trzeba zbudować element operacyjny z określoną funkcją przenoszenia $i$ chce to zrealizować jako sekwencyjne połączenie kilku identycznych elementów operacyjnych, to każdy z tych dwóch elementów powinien mieć funkcję ${\ displaystyle h = {\ sqrt {H}}}$ . Taką funkcję można ocenić za pomocą nadfunkcji i funkcji Abela $przenoszenia$ .

Element operacyjny może mieć dowolne pochodzenie: może być wykonany jako elektroniczny mikrochip, mechaniczna para krzywoliniowych ziaren, asymetryczna U-rurka wypełniona różnymi płynami i tak dalej.

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Citizendium „ Superfunction ”, który jest objęty licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, ale nie GFDL .

^ Logo wydziału fizyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. (Po rosyjsku); [1] . VPKandidov. O czasie i o sobie. (W języku rosyjskim) [2] . 250-lecie Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. (po rosyjsku) ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! [3]
^ H. Kneser (1950). "Reelle analytische L¨osungen der Gleichung ${\ Displaystyle \ varphi (\ varphi (x)) = e ^ {x}}$ i verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67.
^ ^a ^b Schröder, Ernst (1870). „Ueber iterirte Functionen”. Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. doi : 10.1007/BF01443992 . S2CID 116998358 .
^ Dmitrij Kouzniecow (2020). Nadfunkcje: niecałkowite iteracje funkcji holomorficznych. Tetracja i inne nadfunkcje. Formuły, algorytmy, tabele, grafika. Wydawca: Wydawnictwo Akademickie Lambert .
^ P.Walker (1991). „Nieskończenie różniczkowalne uogólnione funkcje logarytmiczne i wykładnicze” . Matematyka obliczeń . 57 (196): 723–733. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1094963-4 . JSTOR 2938713 .
^ ^a ^b D. Kouzniecow. (2009). „Rozwiązania w płaszczyźnie $z$ $))}$ ” . Matematyka obliczeń . 78 : 1647-1670. doi : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 . przeddruk: PDF
^ D. Kouzniecow, H. Trappmann. Nadfunkcje i pierwiastek kwadratowy z silni. Biuletyn Fizyki Uniwersytetu Moskiewskiego, 2010, t. 65, nr 1, s. 6-12. (Przedruk ILS UEC, 2009: [4] )

Linki zewnętrzne

Superfunkcja - TORI - Mizugadro, miejsce badań Dmitrija Kouzniecowa

[logo-1] Logo wydziału fizyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. (Po rosyjsku); [1] . VPKandidov. O czasie i o sobie. (W języku rosyjskim) [2] . 250-lecie Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego. (po rosyjsku) ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250! [3]

[kneser-2] H. Kneser (1950). "Reelle analytische L¨osungen der Gleichung ${\ Displaystyle \ varphi (\ varphi (x)) = e ^ {x}}$ i verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67.

[schr-3] Schröder, Ernst (1870). „Ueber iterirte Functionen”. Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. doi : 10.1007/BF01443992 . S2CID 116998358 .

[kuznetsov-4] Dmitrij Kouzniecow (2020). Nadfunkcje: niecałkowite iteracje funkcji holomorficznych. Tetracja i inne nadfunkcje. Formuły, algorytmy, tabele, grafika. Wydawca: Wydawnictwo Akademickie Lambert .

[walker-5] P.Walker (1991). „Nieskończenie różniczkowalne uogólnione funkcje logarytmiczne i wykładnicze” . Matematyka obliczeń . 57 (196): 723–733. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1094963-4 . JSTOR 2938713 .

[kouznetsov-6] D. Kouzniecow. (2009). „Rozwiązania w płaszczyźnie $z$ $))}$ ” . Matematyka obliczeń . 78 : 1647-1670. doi : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 . przeddruk: PDF

[superfactorial-7] D. Kouzniecow, H. Trappmann. Nadfunkcje i pierwiastek kwadratowy z silni. Biuletyn Fizyki Uniwersytetu Moskiewskiego, 2010, t. 65, nr 1, s. 6-12. (Przedruk ILS UEC, 2009: [4] )