Sztywność geometryczna

Aby zapoznać się ze sztywną geometrią, zobacz Sztywna przestrzeń analityczna . Aby zapoznać się z innymi pojęciami sztywności w geometrii, zobacz Twierdzenie Mostowa o sztywności i Sztywność (matematyka) .

W geometrii dyskretnej sztywność geometryczna jest teorią służącą do określania, czy system ograniczeń geometrycznych (GCS) ma skończenie wiele $-wymiarowych$ lub ram w jakiejś przestrzeni metrycznej . Ramy GCS są sztywne w $re {\ displaystyle d}$$dla$ danego, jeśli jest to izolowane rozwiązanie GCS, uwzględniające zbiór trywialnych ruchów lub grupę izometryczną przestrzeń metryczna, np. translacje i obroty w przestrzeni euklidesowej . Innymi słowy, sztywna rama $,$$(G,p)}$ do której dotrzeć poprzez nietrywialny ciągły ruch ${$ , który zachowuje ograniczenia GCS. Sztywność strukturalna to kolejna teoria sztywności, która dotyczy ram generycznych , tj. ram, których właściwości sztywności są reprezentatywne dla wszystkich ram z tym samym wykresem ograniczeń. Wyniki sztywności geometrycznej odnoszą się do wszystkich ram; w szczególności do nieogólnych ram.

Po lewej: ogólnie sztywny wykres w ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ . $Przypisanie$ krawędzi daje $w$ rezultacie . Po prawej: elastyczne ramy takiego systemu.

Sztywność geometryczna została po raz pierwszy zbadana przez Eulera , który przypuszczał, że wszystkie wielościany w $sztywne$ . Wiele pracy włożono w udowodnienie tej hipotezy, co doprowadziło do wielu interesujących wyników omówionych poniżej. Jednak w końcu znaleziono kontrprzykład. Istnieją również pewne ogólne wyniki sztywności bez składników kombinatorycznych , więc są one związane zarówno ze sztywnością geometryczną, jak i strukturalną.

Definicje

Poniższe definicje, które można znaleźć w , odnoszą się do ram ze złączami prętowymi w $przestrzeni$ euklidesowej i zostaną w razie potrzeby uogólnione dla innych ram i przestrzeni metrycznych . Rozważ powiązanie ${\ Displaystyle (G, \ delta)}$ , czyli wykres ograniczeń z ograniczeniami odległości $= (V, E)}$$Displaystyle$$G, p)$${C}}$ , { z ${\ Displaystyle (G, \ delta)}$ . Ramy $_$ składają ${\ Displaystyle p: V \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d | V|}},$ które spełniają

${\ Displaystyle \| p (u) -p (v) \| ^ {2} = \ delta _ {uv},}$

dla wszystkich krawędzi $(u, v)}$${\ Displaystyle G}$ sol . Innymi słowy, $jest$$umieszczeniem$ wierzchołków punktów w $-wymiarach$$.$ które spełniają wszystkie Przestrzeń konfiguracyjna jest zbiorem algebraicznym do ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (G, \ delta)$ .

Ruchy ciągłe i trywialne. Ciągły ruch to ciągła ścieżka w $}, która$$G ,\delta )}$ δ , który zachowuje wszystkie ograniczenia. Ruch $.$ to ruch ciągły wynikający z , tj obrotów Ogólnie rzecz biorąc, każda przestrzeń metryczna ma zbiór trywialnych ruchów pochodzących z izometrycznej grupy przestrzeni.

Lokalna sztywność. Ramy GCS są lokalnie sztywne lub po prostu sztywne, jeśli wszystkie ich ciągłe ruchy są trywialne.

Testowanie lokalnej sztywności jest trudne co-NP .

Mapa sztywności. Mapa sztywności ${\ Displaystyle \ rho: \ mathbb {R} ^ {d | V|} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {| E |}} przyjmuje ramy ( sol , p ) {\$ Displaystyle $}$ i $_$ odległości kwadratu

Macierz sztywności. Jakobian lub pochodna mapy sztywności daje układ równań liniowych postaci

${\ Displaystyle (p (u) -p (v)) \ cdot (p '(v) - p'(u))=0,}$

dla wszystkich krawędzi $(u, v)}$${\ Displaystyle G}$ sol . Macierz sztywności to |. ${\ Displaystyle | E | \ razy d | V|}$$\ Displaystyle R (G, p)}$ macierz, która koduje informacje w tych równaniach. Każda krawędź odpowiada rzędowi $p$$\ Displaystyle R (G, p)}$${ \displaystyle R(G, p)}$ , a $wierzchołek$ odpowiada . Wiersz odpowiadający krawędzi $w$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć { bmatrix}\,&\kropki &{\text{kolumny dla }}u&\kropki &{\text{kolumny dla }}v&\dots \\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\, \\{\text{wiersz dla }}(u,v)&0\kropki 0&p(u)-p(v)&0\kropki 0&p(v)-p(u)&0\kropki 0\\\vkropki &\, &\,&\vdots &\,&\,\end{bmacierz}}}$

Nieskończenie mały ruch. $': V \ rightarrow \ mathbb {R}$ mały ruch to przypisanie prędkości do wierzchołków ramy $p)}$${ \ displaystyle$ takie, że ${\ Displaystyle R (G, p) p'= 0}$ . Stąd jądro macierzy sztywności jest przestrzenią nieskończenie małych ruchów. Trywialny ruch nieskończenie mały definiuje się analogicznie do trywialnego ruchu ciągłego.

Stres. $sol$ przypisanie do krawędzi szkieletu ${\ Displaystyle (G$ . Naprężenie jest właściwe, jeśli jego wpisy są nieujemne i jest stresem własnym, jeśli spełnia ${\ Displaystyle \ omega R (G, p) = 0}$ . Naprężenie spełniające to równanie jest również nazywane naprężeniem rozwiązywalnym, naprężeniem równowagi, naprężeniem wstępnym lub czasami po prostu naprężeniem.

Matryca stresu. Dla naprężenia zastosowanego do krawędzi ramy $($${\ Displaystyle (G, p)}$ z wykresem ograniczeń $\ Displaystyle G = (V$ , zdefiniuj ${\ Displaystyle | V | \ razy | V |}$ macierz naprężeń ${\ Displaystyle \ Omega}$ jak

${\ Displaystyle \ Omega _ {uv} = {\ rozpocząć {przypadki} - \ omega _ {uv} i {\ tekst {jeśli }}u\neq v\\\sum _{v\in V}{\omega _{uv}}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$ .

Łatwo sprawdzić, że dla dowolnych dwóch ${\ Displaystyle p, q \ in \ mathbb {R} ^ {d | V|}}$ i jakikolwiek stres ${\ Displaystyle \ omega}$ ,

${\ Displaystyle \ omega R (p) q = p ^ {T} \ Omega q.}$

Macierz sztywności jako przekształcenie liniowe

Informacje w tej sekcji można znaleźć w. Macierz sztywności można postrzegać jako transformację liniową z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d | V|}}$ do ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {| E |}}$ . Dziedziną tej transformacji jest zbiór ${\ Displaystyle 1 \ razy d | V|}$ wektory kolumnowe, zwane wektorami prędkości lub przemieszczeń, oznaczane przez ${\ displaystyle p'}$ , a obraz jest zbiorem ${\ Displaystyle 1 \ razy | E |}$ wektory zniekształceń krawędzi, oznaczone przez ${\ displaystyle e'}$ . Wpisy wektora $p$${\ Displaystyle (G, p)}$ do wierzchołków ramy a równanie ${\ Displaystyle R (G, p) p'=e'}$ opisuje, w jaki sposób krawędzie są ściskane lub rozciągane w wyniku tych prędkości.

Podwójna transformacja liniowa prowadzi do innej interpretacji fizycznej. Kodomena transformacji liniowej to zbiór $}$$które$ kolumnowe lub naprężenia, oznaczone przez $,$${\ Displaystyle (u, v)}$ do każdej krawędzi ramy ${\ Displaystyle (G, p)}$ . Naprężenie $,$ siły do ​​wierzchołków $zależności$ względem wielkości, ale przeciwne w kierunku, w ${\ Displaystyle (u, v)}$ jest kompresowany lub rozciągany przez ${\ Displaystyle \ omega _ {uv}}$ . Rozważ równanie ${\ Displaystyle \ omega ^ {T} R (p) = f,}$ gdzie ${\ Displaystyle f}$ to a ${\ Displaystyle 1 \ razy d | V |}$ wektor. Terminy po lewej odpowiadające kolumnom wierzchołka $który$ R $R (p)}$$Displaystyle$ dają wpis w ${\ displaystyle f},$ jest siła netto $do$ naprężeń na krawędziach padających na $displaystyle v$$}$ . Zatem dziedziną podwójnej transformacji liniowej jest zbiór naprężeń na krawędziach, a obrazem zbiór sił wypadkowych na wierzchołkach. Siłę $sił$ można postrzegać jako zdolną do przeciwdziałania lub rozwiązania siły, więc obraz podwójnej transformacji liniowej jest w rzeczywistości zbiorem dających $rozwiązać$

Zależność między tymi podwójnymi przekształceniami liniowymi jest opisana przez pracę wykonaną przez wektor prędkości pod siłą wypadkową: ${\ displaystyle p'} :$${\ displaystyle f$ }

${\ Displaystyle W = fp '= (\ omega R (p)) p' = \ omega (R(p)p')=\omega e',}$

gdzie $stresem$ i $.$ zniekształceniem Jeśli chodzi o macierz naprężeń, powyższe równanie staje się ${\ Displaystyle W = p ^ {T} \ Omega p '}$ .

Rodzaje sztywności

W tej sekcji omówiono różne rodzaje sztywności i ich powiązania. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz.

Hierarchia sztywności.

Nieskończenie mała sztywność

Sztywność nieskończenie mała jest najsilniejszą formą sztywności, która ogranicza ramy przed dopuszczaniem nawet nietrywialnych nieskończenie małych ruchów. Nazywana jest również sztywnością pierwszego rzędu ze względu na jej związek z macierzą sztywności. Dokładniej, rozważ równania liniowe

${\ Displaystyle (p (u) -p (v)} \ cdot (p '(u) -p '(v))=0}$

wynikający z równania ${\ Displaystyle R (G, p) p'=0}$ . Równania te stwierdzają, że rzuty prędkości i $\ Displaystyle$$}$ na krawędź ${\ Displaystyle ( ( u,v)}$ anuluj. Każde z poniższych stwierdzeń jest wystarczające, aby $-wymiarowa$ była nieskończenie sztywna w -wymiarach: ${\ displaystyle d}$

• wszystkie jego nieskończenie małe ruchy są trywialne;
• wymiar jądra wynosi R $\ Displaystyle R (p)}$${\ Displaystyle d + 1 \ wybierz 2}$ ; Lub
• ranga ${\ Displaystyle R (p)}$ to ${\ Displaystyle d | V|- {d + 1 \ wybierz 2}}$ .

Ogólnie rzecz biorąc, każdy typ szkieletu jest nieskończenie sztywny w wymiarach $.$ , jeśli przestrzeń jego nieskończenie małych ruchów jest przestrzenią trywialnych nieskończenie małych ruchów przestrzeni metrycznej Następujące twierdzenie Asimowa i Rotha odnosi się do nieskończenie małej sztywności i sztywności.

Twierdzenie. Jeśli szkielet jest nieskończenie sztywny, to jest sztywny.

Odwrotność tego twierdzenia nie jest na ogół prawdziwa; dotyczy to jednak ogólnych sztywnych ram (w odniesieniu do nieskończenie małej sztywności), patrz kombinatoryczne charakterystyki generycznych sztywnych grafów .

Sztywność statyczna

ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura $(G, p)}$$Displaystyle$ jest statycznie sztywna w , jeśli każdy wektor $wierzchołkach$ na ${\ Displaystyle (G, p)}$ , który jest prostopadły do ​​​​trywialnych ruchów, można rozwiązać za pomocą siły wypadkowej pewnego właściwego naprężenia ${\ Displaystyle \ omega}$ ; lub zapisane matematycznie, dla każdego takiego wektora siły $f$ odpowiednie naprężenie takie, że $}$

${\ Displaystyle f + \ omega R (p) = 0.}$

Równoważnie, ranga musi wynosić ${\ Displaystyle R (p)}$${\ Displaystyle d | V|- {d + 1 \ wybierz 2}}$ . Sztywność statyczna jest równoważna nieskończenie małej sztywności.

Sztywność drugiego rzędu

Sztywność drugiego rzędu jest słabsza niż sztywność nieskończenie mała i statyczna. Druga pochodna mapy sztywności składa się z równań postaci

${\ Displaystyle (p (u) -p (v)} \ cdot (p'' (u) -p'' (v)) + (p' (u) -p' (v) )\cdot (p'(u)-p'(v))=0.}$

Wektor przypisuje przyspieszenie każdemu wierzchołkowi ramy ${\ Displaystyle (G,$$p$ . Równania te można zapisać w postaci macierzy: ${\ Displaystyle R (p) p'' = - R (p') p'}$ , gdzie ${\ Displaystyle R (p')}$ jest definiowany podobnie do macierzy sztywności. Każde z poniższych stwierdzeń jest wystarczające, aby $re$ rama była sztywna drugiego rzędu w -wymiarach: $\ displaystyle d}$

• każda para rozwiązań powyższego równania składa się z trywialnego $małego$ ruchu $\$
• dla każdego nietrywialnego nieskończenie małego $nie$$ma$ przyspieszenia równanie Lub
• dla każdego nietrywialnego nieskończenie małego ruchu $istnieje$ pewne naprężenie równowagi takie, że $Displaystyle$$(p')p'>0}$$\ omega ^ {T$ .

Trzecie stwierdzenie pokazuje $p$ dla $(p)}$$ma$$w$ kolumn , tj. nie jest to zniekształcenie krawędzi wynikające z ${\ displaystyle p'}$ . Wynika to z alternatywy Fredholma $) ^ {T}}$ ) { $,$ . zbiór naprężeń równowagi, albo ${\ Displaystyle R (p) p '' = - R (p') p'}$ dla pewnego przyspieszenia ${\ Displaystyle p''}$ lub istnieje naprężenie równowagi $.$ trzeci warunek Trzeci warunek można zapisać za pomocą macierzy naprężeń: ${\ Displaystyle p' ^ {T} \ Omega p'> 0}$ . Rozwiązanie problemu $problemem$$nieliniowym$ bez znanego wydajnego

Stabilność naprężenia wstępnego

Stabilność naprężenia wstępnego jest słabsza niż sztywność nieskończenie mała i statyczna, ale większa niż sztywność drugiego rzędu. Rozważ trzeci warunek wystarczający dla sztywności drugiego rzędu. ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura $(G, p)}$$Displaystyle$ jest stabilna naprężenie wstępne, jeśli istnieje naprężenie równowagi , że dla wszystkich nietrywialnych prędkości ${\ Displaystyle p '}$ , ${\ Displaystyle p' ^ {T} \ Omega p'> 0}$ . Stabilność naprężenia wstępnego można zweryfikować za pomocą półokreślonych technik programowania .

Globalna sztywność

ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura ${\ Displaystyle (G, p)}$ wiązania ${\ Displaystyle (G, \ delta)}$ jest globalnie sztywna w ${\ Displaystyle d}$$,$ jeśli wszystkie ramy w przestrzeni konfiguracyjnej trywialnych, jest tylko jedną strukturą ${\ Displaystyle (G, \ delta)}$ .

Twierdzenie. Sztywność globalna jest ogólną właściwością grafów.

Minimalna sztywność

ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura $Displaystyle (G, p)}$$\$ jest minimalnie sztywna w jeśli ${\ Displaystyle (G, p) } jest sztywny$$,$ a usunięcie dowolnej krawędzi z skutkuje ramą,

Nadmiarowa sztywność

Istnieją dwa rodzaje nadmiarowej sztywności: nadmiarowa sztywność wierzchołkowa i nadmiarowa krawędziowa. ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa rama $Displaystyle (G, p)}$$\$ jest nadmiarowo sztywna krawędziowo w jeśli ${\ Displaystyle (G, p)}$ jest sztywny, a usunięcie dowolnej krawędzi $skutkuje$ ramy Sztywność nadmiarowa wierzchołków jest definiowana analogicznie.

Sztywność dla różnych typów ram

Wielościany

Ta sekcja dotyczy sztywności wielościanów w $wielościenne$ , aby zapoznać się z definicją tego typu GCS. Wielościan jest sztywny, jeśli leżąca u jego podstaw rama łącząca pręty jest sztywna. Jednym z najwcześniejszych wyników dotyczących sztywności było przypuszczenie Eulera z 1766 roku.

Przypuszczenie. Zamknięta figura przestrzenna nie pozwala na żadne zmiany, o ile nie zostanie rozerwana.

Wiele pracy włożono w udowodnienie tego przypuszczenia, które zostało teraz udowodnione jako fałszywe przez kontrprzykłady. Pierwszy ważny wynik został uzyskany przez Cauchy'ego w 1813 roku i jest znany jako twierdzenie Cauchy'ego .

Twierdzenie Cauchy'ego. Jeśli istnieje izometria między powierzchniami dwóch ściśle wypukłych wielościanów, która jest izometrią na każdej ze ścian, to te dwa wielościany są przystające.

Były drobne błędy w dowodzie Cauchy'ego. Podano pierwszy pełny dowód i nieco uogólniony wynik. Następujący wniosek z twierdzenia Cauchy'ego odnosi ten wynik do sztywności.

Ściśle wypukła struktura wielościenna, której $-szkielet$ sztywny.

Następstwo. 2-szkielet ściśle wypukłej wielościennej ramy w wymiarach ${\ displaystyle 3}$ jest sztywny.

Innymi słowy, jeśli potraktujemy wielościany wypukłe jako zestaw sztywnych płyt, tj. jako wariant szkieletu korpus-pręt-zawias, to szkielet jest sztywny. Następny wynik , $uzyskany$ przez Bricarda w 1897 r., Pokazuje, że ścisły warunek wypukłości można odrzucić dla ośmiościanu .

Twierdzenie. Szkielet $wymiarach$ wielościennej ramy ośmiościanu w $-$ jest sztywny $-wymiarach$ jednak szkielet ośmiościanu, którego $nie$ jest sztywny w .

Dowód drugiej części tego twierdzenia pokazuje, że te elastyczne ramy istnieją dzięki samoprzecięciu. Postępy w hipotezie Eurlera wzrosły dopiero pod koniec XIX wieku. Kolejne twierdzenie i wniosek dotyczą trójkątnych wielościanów.

Twierdzenie. Jeśli wierzchołki są wstawiane w krawędzie $powstałego$ wypukłego wielościanu, a ściany są trójkątowane, to szkielet wielościanu jest nieskończenie sztywny.

Następstwo. Jeśli $- ma tę właściwość$ wielościan w wymiarach $,$ że zbiór ścian zawierających dany wierzchołek nie leży w tej samej płaszczyźnie, to szkielet wielościanu jest nieskończenie sztywny .

Poniższy wynik pokazuje, że warunek triangulacji w powyższym twierdzeniu jest konieczny.

Twierdzenie. Szkielet ściśle wypukłego wielościanu osadzonego w $sztywny$$.$ który ma co najmniej jedną ścianę inną niż trójkątna, nie jest

Poniższe przypuszczenie rozszerza wynik Cauchy'ego na bardziej ogólne wielościany.

Przypuszczenie. Dwa kombinatorycznie równoważne wielościany z równymi odpowiadającymi im kątami dwuściennymi są izogonalne .

To przypuszczenie zostało udowodnione w niektórych szczególnych przypadkach. Następny wynik odnosi się do ogólnego ustawienia, tj. do prawie wszystkich wielościanów o tej samej strukturze kombinatorycznej, patrz strukturalna sztywność .

Twierdzenie. Każda zamknięta, po prostu połączona powierzchnia wielościenna z $-$ wymiarową ramą jest ogólnie sztywna.

To twierdzenie pokazuje, że hipoteza Eulera jest prawdziwa dla prawie wszystkich wielościanów. Jednak znaleziono nierodzajowy wielościan, który nie jest sztywny w ${\ displaystyle 3}$ , obalając przypuszczenie. Ten wielościan jest topologicznie kulą, co pokazuje, że ogólny wynik powyżej jest optymalny. Szczegóły dotyczące budowy tego wielościanu można znaleźć w. Interesującą właściwością tego wielościanu jest to, że jego objętość pozostaje stała wzdłuż dowolnej ciągłej ścieżki ruchu, co prowadzi do następującego przypuszczenia.

Przypuszczenie Bellowsa. Każda orientowalna zamknięta powierzchnia wielościenna wygina się ze stałą objętością.

Przypuszczenie to zostało najpierw udowodnione dla wielościanów sferycznych, a następnie ogólnie.

Tensegrity

Ta sekcja dotyczy sztywności tensegrity , zobacz systemy tensegrity, aby zapoznać się z definicją tego typu GCS.

Definicje

Poniższe definicje można znaleźć w.

Nieskończenie mały ruch. Nieskończenie mały ruch struktury tensegrity jest wektorem prędkości $d} }$$Displaystyle p$ takie, że dla każdej krawędzi ramy, ${\ Displaystyle (u, v)}$

• ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v}) = 0}$ , jeśli jest słupkiem; ${\ Displaystyle (u, v)}$
• ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v}) \ leq 0}$ , jeśli ${\ Displaystyle (u, v)}$ jest kablem; I
• ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v}) \ geq 0}$ , jeśli ${\ Displaystyle (u, v)}$ jest rozpórką.

Ruch drugiego rzędu. $p', p''$ drugiego rzędu ramy tensegrity rozwiązaniem następujących ograniczeń: $) {\$

• Ograniczenie słupkowe: ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v }) = 0}$ i ${\ Displaystyle \| p'_ {u} -p'_ {v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p''_{v})=0}$ ;
• Ograniczenie kabla: ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v }) = 0}$ i ${\ Displaystyle \| p'_ {u} -p_ {v} \|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\leq 0}$ lub ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v}) <0}$ ; I
• Ograniczenie kabla: ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v }) = 0}$ i ${\ Displaystyle \| p'_ {u} -p_ {v} \|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\geq 0}$ lub ${\ Displaystyle (p_ {u} -p_ {v}) \ cdot (p'_ {u} -p'_ {v})> 0}$ .

Globalna sztywność. ZA re $\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura tensegrity ${\ Displaystyle (G, p)}$ GCS tensegrity jest globalnie sztywna w $d}$ , jeśli co drugi $}$${\ displaystyle$ -wymiarowe ramy ${\ Displaystyle (G, q)}$ tego samego GCS, który jest zdominowany przez ${\ Displaystyle (G, p)}$ można uzyskać za pomocą trywialnego ruchu ${\ Displaystyle (G, p)}$ .

Uniwersalna sztywność. GCS tensegrity jest uniwersalnie sztywny $}$ jeśli jest globalnie sztywny w dowolnym wymiarze. $d$

Sztywność wymiarowa. ZA ${\ displaystyle d}$ -wymiarowa struktura tensegrity ${\ Displaystyle (G, p)}$ GCS tensegrity jest wymiarowo sztywna w $displaystyle$ , jeśli jakikolwiek inny $D}$ -wymiarowa struktura tensegrity ${\ Displaystyle (G, q)}$$,$ dla każdego ograniczenia GCS, ma co najwyżej afiniczną rozpiętość wymiaru ${\ displaystyle d}$ .

Bardzo stabilny. ZA ${\ Displaystyle d}$ -wymiarowa struktura tensegrity ${\ Displaystyle (G, p)}$ jest super stabilna w $}$ , jeśli jest sztywna w -wymiarach jak ${\ Displaystyle d$ szkielet pręta i ma odpowiednie naprężenie równowagi $takie ,$ macierz naprężeń $i$ dodatnia , półokreślona ma rangę ${\ Displaystyle | V | -d-1}$ .

Twierdzenia o sztywności

Ogólne wyniki.

Sztywność nieskończenie mała nie jest ogólną właściwością tensegritów, patrz sztywność strukturalna . Innymi słowy, nie wszystkie ogólne tensegrity z tym samym wykresem ograniczeń mają te same nieskończenie małe właściwości sztywności. W związku z tym poświęcono trochę pracy identyfikowaniu określonych klas grafów, dla których nieskończenie mała sztywność jest ogólną właściwością tensegracji. Grafy spełniające ten warunek nazywamy silnie sztywnymi. Testowanie wykresu pod kątem dużej sztywności jest NP-trudne, nawet dla ${\ displaystyle 1}$ . Poniższy wynik przyrównuje ogólną redundantną sztywność grafów do nieskończenie sztywnych tensegracji.

Twierdzenie. Wykres ma $G$ sztywną strukturę tensegrity w $G$ - dla pewnego podziału krawędzi na pręty, kable i rozpórki wtedy i tylko wtedy, gdy $\$$} \ displaystyle G}$ jest ogólnie nadmiarowo sztywny na $w$ -wymiarach.

Dwa nieskończenie sztywne tensegrity z zamienionymi rozpórkami (zaznaczone krawędzie) i kablami (krawędzie przerywane).

Pierwszy wynik pokazuje, kiedy sztywność i nieskończenie mała sztywność tensegracji są równoważne.

Twierdzenie. Niech $)}$$p$ będzie ramą tensegrity, gdzie: wierzchołki $są$ realizowane jako ściśle wypukły wielokąt słupki tworzą cykl Hamiltona na granicy tego wielokąta; i nie ma słupków. Wtedy $jest$ sztywny w $wtedy$$jest$ tylko wtedy, .

Poniższy warunek jest warunkiem koniecznym sztywności.

Twierdzenie. Niech $)}$$p$ będzie -wymiarową ramą tensegrity z co najmniej jednym kablem lub rozpórką. Jeśli $jest$ sztywny w $,$ to ma

Sztywność tensegracji można również zapisać w kategoriach ram ze złączami prętowymi w następujący sposób.

Twierdzenie. Niech $)}$$p$ będzie -wymiarową ramą tensegrity z co najmniej jednym kablem lub rozpórką. Wtedy jest nieskończenie sztywny w $,$ jeśli jest sztywny $i$$jako$ prętowego odpowiedni stres.

Poniższy warunek jest wystarczający dla sztywności drugiego rzędu.

Twierdzenie. Niech ${\ Displaystyle (G, p)}$$-wymiarową$ strukturą tensegrity. Jeśli dla wszystkich nietrywialnych, nieskończenie małych ruchów z $(G, p)}$$p$ , istnieje odpowiednie naprężenie równowagi takie, że $displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ suma _ {u, v \ w V} \ omega _ {uv} (p'_{u}-p'_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0,}$

wtedy ${\ Displaystyle (G, p)}$ jest sztywny drugiego rzędu.

Ciekawym zastosowaniem tensegracji są opakowania sferyczne w pojemnikach wielościennych. Takie upakowanie można modelować jako tensegrity z rozpórkami między parami stycznych kul oraz między granicami pojemnika a stycznymi do nich kulami. Model ten został zbadany w celu obliczenia lokalnych maksymalnych gęstości tych upakowania.

Następny wynik pokazuje, kiedy ramy tensegrity mają takie same naprężenia równowagi.

Twierdzenie. Niech $Displaystyle (G, p)}$$\$ będzie strukturą tensegrity z odpowiednim naprężeniem takim, że macierz naprężeń $Displaystyle \ Omega}$$\$ jest dodatnio półokreślony . Wtedy $jest$ właściwym akcentem wszystkich $-wymiarowych ram$$displaystyle (G, p)}$ zdominowanych przez .

Globalne twierdzenia o sztywności

Poniższy warunek jest wystarczającym warunkiem globalnej sztywności ogólnych ram tensegrity opartych na macierzach naprężeń.

Twierdzenie. Niech $)}$$równowagi$$p$ będzie ogólną strukturą tensegrity z odpowiednim naprężeniem . Jeśli macierz $naprężeń$ rangę ${\ Displaystyle | V | -d-1}$$.$ globalnie sztywny w wymiarach $d}$

Chociaż to twierdzenie dotyczy ogólnego ustawienia, nie oferuje kombinatorycznej charakterystyki ogólnej sztywności globalnej, więc nie jest do końca wynikiem sztywności strukturalnej .

Sztywność uniwersalna i wymiarowa

Niech $}$$\ Displaystyle (G, p$$R} ^ {d}}$ będzie ogólną strukturą tensegrity, taką, że rozpiętość afiniczna R $}$$\ Displaystyle \ mathbb {$ , z odpowiednim naprężeniem równowagi $Omega$ macierzą naprężeń $}$ . Skończony zbiór niezerowych wektorów w leży na stożku w nieskończoności, jeśli traktując je jako punkty w $} }$$Displaystyle \ mathbb {R} ^$ -wymiarowa przestrzeń rzutowa, leżą na stożku. Rozważ następujące trzy stwierdzenia:

1. ${\ Displaystyle \ Omega}$ jest dodatnio półokreślony.
2. ${\ Displaystyle rank (\ Omega) = | V | -d-1}$ .
3. Kierunki krawędzi $z$ niezerowym naprężeniem i słupkami nie leżą

Jeśli Stwierdzenia 1 i 2 są spełnione, $jest$ sztywne w $Stwierdzenie$ 3 również jest spełnione, to $\ displaystyle (G, p)}$ jest uniwersalnie sztywny $w$ .