Alternatywa Fredholma

W matematyce alternatywa Fredholma , nazwana na cześć Ivara Fredholma , jest jednym z twierdzeń Fredholma i jest wynikiem teorii Fredholma . Można to wyrazić na kilka sposobów, jako twierdzenie algebry liniowej , twierdzenie o równaniach całkowych lub jako twierdzenie o operatorach Fredholma . Część wyniku stwierdza, że niezerowa liczba zespolona w widmie operatora zwartego jest wartością własną.

Algebra liniowa

Jeśli V jest n -wymiarową przestrzenią wektorową i jest transformacją liniową , to zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: ${\ displaystyle T: V \ do V}$

Dla każdego wektora v w V istnieje wektor u w V , tak że ${\ Displaystyle T (u) = v}$ . Innymi słowy: T jest surjekcją (a więc także bijekcją, ponieważ V jest skończonym wymiarem).
${\ Displaystyle \ dim (\ ker (T))> 0.}$

Bardziej elementarne sformułowanie, jeśli chodzi o macierze, jest następujące. Biorąc pod uwagę macierz m × n A i wektor kolumnowy m × 1 b , dokładnie jedno z poniższych musi być spełnione:

Albo: A x = b ma rozwiązanie x
Lub: A ^T y = 0 ma rozwiązanie y z y ^T b ≠ 0.

Innymi $słowy$ ZA x = b ma rozwiązanie i dla ZA ^T r = 0, y ^T b = 0 ${\ Displaystyle (\ mathbf {b} \ in \ ker (A ^ {T}) ^ {\ bot})}$ .

Równania całkowe

Niech będzie integralnym jądrem i rozważmy równanie jednorodne , równanie całkowe Fredholma , ${\ Displaystyle K (x, y)}$

{\ Displaystyle \ lambda \ varphi (x) - \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ varphi (y)\,dy=0}

i równanie niejednorodne

{\ Displaystyle \ lambda \ varphi (x) - \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ varphi (y) \, dy = f (x).}

Alternatywą Fredholma jest stwierdzenie, że dla każdej niezerowej ustalonej $ma$ zespolonej pierwsze równanie ma nietrywialne rozwiązanie, albo drugie rozwiązanie dla wszystkich ${\ displaystyle f (x)}$ .

, aby $Displaystyle [$ było prawdziwe, jest $b$ kwadratowa prostokącie (gdzie a i/lub b może być minus lub plus nieskończoność). Operator całkowy zdefiniowany przez takie K nazywa się operatorem całkowym Hilberta – Schmidta .

Analiza funkcjonalna

Wyniki dotyczące operatora Fredholma uogólniają te wyniki na przestrzenie wektorowe o nieskończonych wymiarach, przestrzenie Banacha .

Równanie całkowe można przeformułować za pomocą notacji operatora w następujący sposób. Napisz (nieco nieformalnie)

{\ Displaystyle T = \ lambda -K}

znaczyć

{\ Displaystyle T (x, y) = \ lambda \; \ delta (xy) -K (x, y)}

z funkcją $delta$ , uważaną za rozkład lub w dwóch Następnie przez $V$ T indukuje operatora liniowego działającego na przestrzeni Banacha funkcji , który , tak że

{\ Displaystyle T: V \ do V}

jest dany przez

{\ Displaystyle \ varphi \ mapsto \ psi}

z podanym przez ${\ displaystyle \ psi}$

{\ Displaystyle \ psi (x) = \ int _ {a} ^ {b} T (x, y) \ varphi (y) \, dy = \ lambda \; \ varphi (x) - \ int _ {a} ^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.}

W tym języku alternatywa Fredholma dla równań całkowych jest postrzegana jako analogiczna do alternatywy Fredholma dla skończenie wymiarowej algebry liniowej.

Operator K dany przez splot z jądrem L ² , jak powyżej, jest znany jako operator całkowy Hilberta-Schmidta . Takie operatory są zawsze zwarte . Mówiąc bardziej ogólnie, alternatywa Fredholma jest ważna, gdy K jest dowolnym operatorem zwartym. Alternatywę Fredholma można przekształcić w następującą postać: niezerowa albo jest wartością własną K , albo leży w dziedzinie rozwiązania ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ Displaystyle R (\ lambda; K) = (K- \ lambda \ operatorname {Id}) ^ {- 1}.}

Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe

Alternatywę Fredholma można zastosować do rozwiązywania problemów z liniowymi eliptycznymi wartościami brzegowymi . Podstawowy wynik jest następujący: jeśli równanie i odpowiednie przestrzenie Banacha zostały ustawione poprawnie, to albo

(1) Równanie jednorodne ma rozwiązanie nietrywialne lub

(2) Równanie niejednorodne można rozwiązać jednoznacznie dla każdego wyboru danych.

Argumentacja wygląda następująco. Typowym, prostym do zrozumienia operatorem eliptycznym L byłby operator Laplace'a plus kilka terminów niższego rzędu. W połączeniu z odpowiednimi warunkami brzegowymi i wyrażoną na odpowiedniej przestrzeni Banacha X (która koduje zarówno warunki brzegowe, jak i pożądaną regularność rozwiązania), L staje się nieograniczonym operatorem od X do siebie i próbuje się rozwiązać

{\ Displaystyle Lu = f, \ qquad u \ in \ operatorname {dom} (L) \ subseteq X,}

gdzie f ∈ X jest pewną funkcją służącą jako dane, dla których chcemy znaleźć rozwiązanie. Alternatywa Fredholma wraz z teorią równań eliptycznych umożliwi uporządkowanie rozwiązań tego równania.

Konkretnym przykładem byłby eliptyczny problem z wartościami granicznymi, taki jak

{\ Displaystyle (*) \ qquad Lu: = - \ Delta u + h (x) u = f \ qquad {\ tekst {\ tekst { w }}\Omega,}

uzupełniony o warunek brzegowy

{\ Displaystyle (**) \ qquad u = 0 \ qquad {\ tekst {na}} \ częściowy \ Omega,}

gdzie Ω ⊆ R ⁿ jest ograniczonym zbiorem otwartym o gładkich brzegach, a h ( x ) jest funkcją o stałym współczynniku (potencjał w przypadku operatora Schrödingera). Funkcja f ∈ X to zmienna dana, dla której chcemy rozwiązać równanie. Tutaj można by przyjąć, X jest przestrzenią L ² (Ω) wszystkich funkcji całkowalnych do kwadratu na Ω, a dom( L ) jest zatem przestrzenią Sobolewa W ^2,2 (Ω) ∩ W ^1,2
₀ (Ω), która równa się zbiorowi wszystkich funkcji całkowalnych do kwadratu na Ω, których słabe pochodne pierwsza i druga istnieją i są całkowalne do kwadratu, i które spełniają zerowy warunek brzegowy na ∂Ω.

₀₀₀₀ Jeśli X zostało wybrane poprawnie (tak jak w tym przykładzie), to dla μ >> 0 operator L + μ jest dodatni , a następnie stosując oszacowania eliptyczne można udowodnić, że L + μ : dom( L ) → X jest bijekcją, a jej odwrotnością jest zwarty, wszędzie zdefiniowany operator K od X do X , z obrazem równym dom( L ). Naprawiamy jeden taki μ , ale jego wartość nie jest ważna, ponieważ jest to tylko narzędzie.

Możemy zatem przekształcić alternatywę Fredholma, przedstawioną powyżej dla operatorów zwartych, w stwierdzenie o rozwiązywalności problemu brzegowego (*)–(**). Alternatywa Fredholma, jak stwierdzono powyżej, zapewnia:

Dla każdego λ ∈ R albo λ jest wartością własną K , albo operator K - λ jest bijekcją od X do samego siebie.

Przyjrzyjmy się dwóm alternatywom, które rozgrywają się w przypadku problemu wartości brzegowych. Załóżmy, że λ ≠ 0. Wtedy albo

₀₀ (A) λ jest wartością własną K ⇔ istnieje rozwiązanie h ∈ dom( L ) z ( L + μ ) h = λ ⁻¹ h ⇔ – μ + λ ⁻¹ jest wartością własną L .

₀₀₀ (B) Operator K − λ : X → X jest bijekcją ⇔ ( K − λ ) ( L + μ ) = Id − λ ( L + μ ) : dom( L ) → X jest bijekcją ⇔ L + μ − λ ⁻¹ : dom( L ) → X jest bijekcją.

₀₀ Zastępując - μ + λ ^-1 przez λ i traktując przypadek λ = - μ oddzielnie, otrzymujemy następującą alternatywę Fredholma dla eliptycznego problemu z wartościami brzegowymi:

Dla każdego λ ∈ R , albo równanie jednorodne ( L − λ ) u = 0 ma nietrywialne rozwiązanie, albo równanie niejednorodne ( L − λ ) u = f ma unikalne rozwiązanie u ∈ dom( L ) dla każdego danego układu f ∈ X .

Ta ostatnia funkcja u rozwiązuje przedstawiony powyżej problem wartości granicznych (*)–(**). Jest to dychotomia, o której twierdzono w punktach (1)–(2) powyżej. Z twierdzenia widmowego dla operatorów zwartych wynika również, że zbiór λ , dla którego zawodzi rozwiązywalność, jest dyskretnym podzbiorem R (wartości własne L ). Powiązane z wartościami własnymi funkcje własne można traktować jako „rezonanse”, które blokują możliwość rozwiązania równania.

Zobacz też

Fredholm, EI (1903). „Sur une classe d'equations fonctionnelles” . Acta Matematyka . 27 : 365–390. doi : 10.1007/bf02421317 .
AG Ramm, „ Prosty dowód alternatywy Fredholma i charakterystyka operatorów Fredholma ”, American Mathematical Monthly , 108 (2001) s. 855.
Khvedelidze, BV (2001) [1994], „Twierdzenia Fredholma dla równań całkowych” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Weisstein, Eric W. „Fredholm Alternative” . MathWorld .