Twierdzenie Fredholma

W matematyce twierdzenia Fredholma są zbiorem słynnych wyników Ivara Fredholma w teorii równań całkowych Fredholma . Istnieje kilka ściśle ze sobą powiązanych twierdzeń, które można przedstawić za pomocą równań całkowych, algebry liniowej lub operatora Fredholma w przestrzeniach Banacha .

Alternatywa Fredholma jest jednym z twierdzeń Fredholma.

Algebra liniowa

algebrze liniowej jest następujące: jeśli M jest macierzą , to dopełnienie ortogonalne przestrzeni wierszy M jest przestrzenią zerową M :

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {wiersz} M) ^ {\ bot} = \ ker M.}$

Podobnie ortogonalne dopełnienie przestrzeni kolumnowej M jest przestrzenią zerową sprzężenia:

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {col} M) ^ {\ bot} = \ ker M ^ {*}.}$

Równania całkowe

Twierdzenie Fredholma dla równań całkowych wyraża się następująco. Niech będzie integralnym jądrem i rozważ jednorodne równania ${\ Displaystyle K (x, y)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = \ lambda \phi (x)}$

i jego złożone sprzężenie

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi (x) {\ overline {K (x, y)}} \, dx = {\ overline {\ lambda}} \ psi (y).}$

Tutaj $}}$$\ lambda$${\ Displaystyle {\ overline {K (x,y)}}}$ oznacza złożony koniugat liczby zespolonej i podobnie dla . $($ twierdzenie Fredholma jest takie, że dla dowolnej ustalonej wartości te mają trywialne rozwiązanie ${\ Displaystyle \ psi (x) = \ phi (x) = 0}$ lub mieć taką samą liczbę liniowo niezależnych rozwiązań ${\ Displaystyle \ phi _ {1 } (x), \ cdots, \ phi _ {n} (x)}$ , ${\ Displaystyle \ psi _ {1} (y), \ cdots, \ psi _{n}(y)}$ .

Wystarczającym warunkiem, aby to twierdzenie było spełnione $b]\times [a,b]}$$b$ kwadratowa na prostokącie $Displaystyle$ (gdzie a i/lub b może oznaczać minus lub plus nieskończoność).

Tutaj całka jest wyrażona jako całka jednowymiarowa na osi liczb rzeczywistych. W teorii Fredholma wynik ten uogólnia się na operatory całkowe na przestrzeniach wielowymiarowych, w tym na przykład rozmaitości Riemanna .

Istnienie rozwiązań

Jedno z twierdzeń Fredholma, ściśle związane z alternatywą Fredholma , dotyczy istnienia rozwiązań niejednorodnego równania Fredholma

${\ Displaystyle \ lambda \ phi (x) - \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = f (x).}$

$x)\}}$ funkcja $x )}$ ortogonalna do pełnego zestawu rozwiązań ( $Displaystyle \ {\ psi _$ odpowiedniego jednorodnego równania sprzężonego:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {\ psi _ {n} (x)}} f (x) \, dx=0}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ overline {\ psi _ {n} (x)}}}$ jest złożonym koniugatem ${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x)}$ i ten pierwszy jest jednym z pełnego zestawu rozwiązań

${\ Displaystyle \ lambda {\ overline {\ psi (y)}} - \ int _ {a} ^ {b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

Wystarczającym warunkiem, aby to twierdzenie było spełnione $b]\razy [a,b]}$$]$ na prostokącie [ $Displaystyle [$ .

• EI Fredholm, „Sur une classe d'equations fonctionnelles”, Acta Math. , 27 (1903) s. 365–390.
• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Fredholma” . MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], „Twierdzenia Fredholma” , Encyklopedia matematyki , EMS Press