Sztywna przestrzeń analityczna

„Sztywna geometria” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z koncepcją geometrii dyskretnej, zobacz Sztywność geometryczna .

Tate m'a écrit de son côté sur ses histoires de courbes elliptiques, et pour me requester si j'avais des idées sur une définition globale des variétés analytiques sur des corps complets. Je dois avouer que je n'ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggéreraient l'existence d'une telle définition, et suis encore sceptique.

Alexander Grothendieck w liście z 18 sierpnia 1959 r. do Jean-Pierre'a Serre'a , wyrażając sceptycyzm co do istnienia teorii Johna Tate'a o globalnych rozmaitościach analitycznych na pełnych polach

W matematyce sztywna przestrzeń analityczna jest analogiem złożonej przestrzeni analitycznej nad polem niearchimedesowym . Przestrzenie takie zostały wprowadzone przez Johna Tate'a w 1962 roku jako konsekwencja jego pracy nad ujednoliceniem p -adycznych krzywych eliptycznych ze złą redukcją za pomocą grupy multiplikatywnej . W przeciwieństwie do klasycznej teorii p -adycznych rozmaitości analitycznych , sztywne przestrzenie analityczne dopuszczają sensowne pojęcia kontynuacji analitycznej i powiązania .

Definicje

Podstawowym sztywnym obiektem analitycznym jest n -wymiarowa jednostka polidysk , której pierścieniem funkcji jest algebra Tate'a złożona z szeregów potęgowych n zmiennych , których współczynniki się do zera w pewnym kompletnym ciele niearchimedesowym k . Algebra Tate'a to uzupełnienie pierścienia wielomianowego w n zmiennych zgodnie z normą Gaussa (biorąc supremum współczynników), a polidysk pełni rolę analogiczną do roli afinicznej n -przestrzeni w geometrii algebraicznej . Punkty na wielodysku są zdefiniowane jako ideały maksymalne w algebrze Tate'a i jeśli k jest algebraicznie domknięte , odpowiadają one punktom w mają normę co najwyżej jeden.

Algebra afinoidalna jest algebrą k - Banacha , która jest izomorficzna z ilorazem algebry Tate'a przez ideał . Affinoid jest zatem podzbiorem polidysku jednostkowego, na którym znikają elementy tego ideału, czyli jest zbiorem ideałów maksymalnych zawierających dany ideał. Topologia afinoidów jest subtelna i wykorzystuje pojęcia subdomen afinoidów ( które spełniają właściwość uniwersalności w odniesieniu do map algebr afinoidów) i dopuszczalnych zbiorów otwartych (które spełniają warunek skończoności dla pokryć subdomenami affinoidowymi). W rzeczywistości dopuszczalne otwarcia w affinoidzie na ogół nie nadają mu struktury przestrzeni topologicznej , ale tworzą topologię Grothendiecka (zwaną topologią G ), co pozwala na zdefiniowanie dobrych pojęć snopów i sklejania spacji.

Sztywna przestrzeń analityczna nad k to para opisująca lokalnie pierścieniową przestrzeń G -topologizowaną ze snopem k -algebr , tak, że istnieje pokrycie otwartymi podprzestrzeniami izomorficznymi z afinoidami. Jest to analogiczne do koncepcji, że rozmaitości można pokryć otwartymi podzbiorami izomorficznymi z przestrzenią euklidesową, lub schematów dających się pokryć afinicami. Schematy ponad k można analizować funkcjonalnie, podobnie jak rozmaitości po liczbach zespolonych można postrzegać jako złożone przestrzenie analityczne i istnieje analogiczne formalne twierdzenie GAGA . Funktor analityczny uwzględnia skończone granice.

Inne preparaty

Główny artykuł: przestrzeń Berkowicza

Około roku 1970 Michel Raynaud przedstawił interpretację pewnych sztywnych przestrzeni analitycznych jako modeli formalnych, tj. jako ogólnych włókien schematów formalnych w obrębie pierścienia wartościowania R od k . W szczególności pokazał, że kategoria quasi-zwartych quasi-oddzielnych przestrzeni sztywnych nad k jest równoważna lokalizacji kategorii quasi-zwartych dopuszczalnych schematów formalnych nad R w odniesieniu do dopuszczalnych formalnych powiększeń. Tutaj dopuszczalny jest schemat formalny, jeśli daje się on pokryć widmami formalnymi topologicznie przedstawionych algebr R , których lokalne pierścienie są R -płaskie.

Modele formalne borykają się z problemem niepowtarzalności, ponieważ powiększenia pozwalają więcej niż jednemu schematowi formalnemu opisać tę samą sztywną przestrzeń. Huber opracował teorię przestrzeni adycznych , aby rozwiązać ten problem, przyjmując granicę wszystkich powiększeń. Przestrzenie te są quasi-zwarte, quasi-oddzielone i funkcjonalne w przestrzeni sztywnej, ale brakuje im wielu ładnych właściwości topologicznych.

Władimir Berkovich przeformułował większość teorii sztywnych przestrzeni analitycznych, używając uogólnienia pojęcia widma Gelfanda dla przemiennych C* -algebr jednostkowych . Widmo Berkovicha k -algebry Banacha A jest zbiorem multiplikatywnych półnorm na A , które są ograniczone względem danej normy na k i ma topologię indukowaną przez ocenę tych półnorm na elementach A . Ponieważ topologia jest odsunięta od linii rzeczywistej, widma Berkovicha mają wiele przydatnych właściwości, takich jak zwartość, powiązanie ścieżek i metryzowalność. Wiele właściwości teorii pierścieni znajduje odzwierciedlenie w topologii widm, np. jeśli A jest Dedekindem , to jego widmo jest skurczone. Jednak nawet bardzo proste przestrzenie wydają się być nieporęczne - linia rzutowa nad C p jest zagęszczeniem granicy indukcyjnej afinicznych budynków Bruhata-Titsa dla PGL 2 ( F ), ponieważ F zmienia się w skończonych odstępach Qp , gdy budynkom nadano odpowiednio zgrubną topologię .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rigid_analytic_space&oldid=1082361213 ”