Ograniczone szeregi potęgowe

W algebrze pierścień ograniczonego szeregu potęgowego jest podpierścieniem formalnego pierścienia szeregów potęgowych , który składa się z szeregów potęgowych, których współczynniki zbliżają się do zera w miarę dążenia stopnia do nieskończoności. W niearchimedesowym zupełnym ciele pierścień jest również nazywany algebrą Tate'a . Pierścienie ilorazowe pierścienia są wykorzystywane w badaniu formalnej przestrzeni algebraicznej, a także w analizie sztywnej , tej ostatniej na polach pełnych niearchimedesowych.

Na dyskretnym pierścieniu topologicznym pierścień o ograniczonych szeregach potęgowych pokrywa się z pierścieniem wielomianowym ; zatem w tym sensie pojęcie „szeregów mocy z ograniczeniami” jest uogólnieniem wielomianu .

Definicja

Niech A będzie liniowo topologizowanym pierścieniem $,$ i kompletnym oraz podstawowym systemem Wtedy pierścień ograniczonych szeregów potęgowych jest definiowany jako rzutowa granica pierścieni wielomianowych na: ${\ Displaystyle A/I_ {\ lambda}}$ :

{\ Displaystyle A \ langle x_ {1}, \ kropki, x_ {n} \ rangle = \ varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\kropki,x_{n}]}

.

Innymi słowy, jest to ${\ Displaystyle A [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}$ pierścienia wielomianowego w odniesieniu do filtracji ${\ Displaystyle \ {ja _ {\ lambda} [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}] \}}$ . Czasami ten pierścień ograniczonych szeregów potęgowych jest również oznaczany przez ${\ Displaystyle A \ {x_ {1}, \ kropki, x_ {n} \}}$ .

${\ Displaystyle A [[x_ {1}, \ kropki, x_ {n}]]}$ pierścień $_$ _ , który składa się z serii ${\ Displaystyle \ suma c_ {\ alfa} x ^{\alfa}}$ ze współczynnikami ${\ displaystyle c _ {\ alfa} \ do 0}$ ; tj. każdy $do$ wszystkie, ale nieskończenie wiele współczynników, $c_ {\ alfa}}$ . Ponadto pierścień spełnia (i faktycznie charakteryzuje się) uniwersalną właściwością : dla (1) każdego ciągłego homomorfizmu pierścienia $A \ do B}$ liniowo topologizowanego pierścienia , oddzielonego i $displaystyle$ kompletny i (2) każdy element ${\ Displaystyle b_ {1}, \ kropki, b_ {n}}$ $istnieje$ unikalny ciągły homomorfizm pierścienia

{\ Displaystyle A \ langle x_ {1}, \ kropki, x_ {n} \ rangle \ do B, \, x_ {i} \ mapsto b_{i}}

rozciąganie ${\ Displaystyle A \ do B}$ .

algebry Tate'a

W analizie sztywnej , gdy pierścień bazowy A jest pierścieniem wyceny kompletnego pola niearchimedesowego ${\ Displaystyle (K, | \ cdot |)}$ , pierścień ograniczonego szeregu potęgowego napiętego z $K$ ,

{\ Displaystyle T_ {n} = K \ langle \ xi _ {1}, \ kropki \ xi _ { n}\rangle =A\langle \xi _{1},\kropki,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}

nazywa się algebrą Tate'a, nazwaną na cześć Johna Tate'a . Jest to równoważnie podpierścień formalnego szeregu potęgowego, który składa się z szeregów ${\ Displaystyle k [[\ xi _ {1}, \ kropki, \ xi _ {n}]]}$ zbieżny na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} _ {\ overline {k}} ^ {n}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} _ {\ overline {k}}: = \ {x \ in {\ overline {k}}: | x | \ równoważnik 1 \}} to pierścień$ wyceny zamknięcie algebraiczne ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$ .

Maksymalne widmo jest zatem sztywną przestrzenią analityczną $, która$ przestrzeń afiniczną w geometrii .

Zdefiniuj normę Gaussa przez ${\ Displaystyle f = \ suma a _ {\ alfa} \ xi ^$ $}$ \ }

{\ Displaystyle \|f \|=\ max _ {\ alfa} | a _ {\ alfa} |.}

To sprawia, że algebra Banacha nad k ; ${\ displaystyle T_ {n}}$ tj. znormalizowana algebra , która jest kompletna jako przestrzeń metryczna . Przy tej normie każdy ideał z ${$ $\ displaystyle T_ {n}}$ jest zamknięty, a zatem, jeśli jestem radykalny, iloraz $}$ jest również (zredukowaną) algebrą Banacha zwaną algebrą afinoidalną .

Niektóre kluczowe wyniki to:

$}$ Weierstrassa) Niech będzie za $\ displaystyle g \ in T_ {n}$ -wyróżnionymi seriami rzędu s ; tj . ${\ Displaystyle g = \ suma _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} g_ {\ nu} \ xi _ {n} ^ {\ nu}$ $\ Displaystyle g _ {\ nu} \ w T_ {n-1}$ sol ${\ displaystyle g_ {s}}$ jest elementem jednostkowym i ${\ Displaystyle | g_ {s} | = \ | g \|> | g_ {v} |}$ dla ${\ Displaystyle \ nu > s}$ . $f \ in T_ {n}$ dla każdego $Displaystyle$ unikalny i unikalny wielomian $\ xi _ {n}]}$
${\ displaystyle f = qg + r.}$
stopnia ${\ Displaystyle <s}$ s takie, że
( Przygotowanie Weierstrassa $\ displaystyle$ wyżej, niech $g }$ -wyróżnioną serią rzędu s . sol { Wtedy istnieje unikalny $Displaystyle$ moniczny i element jednostkowy $f \ w T_ {n-1} [\ xi _ {n}]}$ ${\ Displaystyle u \ w T_ {n}}$ tak, że ${\ Displaystyle g = fu}$ .
$Displaystyle T_ {d} \hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$ $↪$ ) Jeśli , to istnieje skończony homomorfizm .

W wyniku podziału, twierdzeń o przygotowaniu i normalizacji Noether, $unikalna$ dziedzina faktoryzacji noetherowskiej o wymiarze Krulla n . Obowiązuje odpowiednik Nullstellensatz Hilberta : pierwiastek ideału jest przecięciem wszystkich ideałów maksymalnych zawierających ideał (mówimy, że pierścień to Jacobson).

Wyniki

Wyniki dla pierścieni wielomianowych, takie jak lemat Hensela , algorytmy dzielenia (lub teoria baz Gröbnera ) są również prawdziwe dla pierścienia o ograniczonych szeregach potęgowych. W całym przekroju niech A oznacza pierścień o topologii liniowej, oddzielony i kompletny.

(Hensel) Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} \ podzbiór A}$ maksymalny ideał i ${\ Displaystyle \ varphi: A \ do k: = A / { \mathfrak {m}}}$ mapa ilorazu. Biorąc pod uwagę za , jeśli $fa )$ ${\ Displaystyle A \ langle$ $\ xi \ rangle$ ZA sol $}$ $\ Displaystyle g \ in$ i ograniczony szereg taki $\ Displaystyle g, h}$ generuje ideał jednostkowy , wtedy istnieje w $}$ ${\ Displaystyle k \ langle \ xi \ rangle$ ${\ Displaystyle A [\ xi ]}$ i ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle A \ langle \ xi \ rangle}$ takie, że
${\ Displaystyle F = GH, \, \ varphi (G) = g, \ varphi (H) = h}$ .