Twierdzenie o przygotowaniu Weierstrassa

W matematyce twierdzenie Weierstrassa o przygotowaniu jest narzędziem do radzenia sobie z funkcjami analitycznymi kilku zmiennych zespolonych w danym punkcie P . Stwierdza, że taka funkcja jest, aż do pomnożenia przez funkcję niezerową w P , wielomianem w jednej stałej zmiennej z , która jest moniczna , i której współczynniki wyrazów niższego stopnia są funkcjami analitycznymi w pozostałych zmiennych i zerem w P .

Istnieje również szereg wariantów twierdzenia, które rozszerzają ideę rozkładu na czynniki w pewnym pierścieniu R jako u · w , gdzie u jest jednostką , aw jest jakimś wyróżnionym wielomianem Weierstrassa . Carl Siegel zakwestionował przypisanie twierdzenia Weierstrassowi , mówiąc, że pojawiło się ono pod obecną nazwą w niektórych Traités d'analyse z końca XIX wieku bez uzasadnienia.

Złożone funkcje analityczne

Dla jednej zmiennej lokalną postacią funkcji analitycznej f ( z ) w pobliżu 0 jest z ^k h ( z ), gdzie h (0) nie jest równe 0, a k jest rzędem zera f przy 0. To jest wynik że twierdzenie o przygotowaniu uogólnia. Wybieramy jedną zmienną z , którą możemy założyć jako pierwszą i zapisujemy nasze zmienne zespolone jako ( z , z ₂ , ..., z _n ). Wielomian Weierstrassa W ( z ) jest

z ^k + sol _{k -1} z ^{k -1} + ... + sol ₀

gdzie g _i ( z ₂ , ..., z _n ) jest analityczne, a g _i (0, ..., 0) = 0.

Wtedy twierdzenie stwierdza, że dla funkcji analitycznych f , jeśli

f (0, ..., 0) = 0,

I

fa ( z , z ₂ , ..., z _n )

ponieważ szereg potęgowy ma jakiś termin obejmujący tylko z , możemy napisać (lokalnie blisko (0, ..., 0))

fa ( z , z ₂ , ..., z _n ) = W ( z ) godz ( z , z ₂ , ..., z _n )

z h analitycznymi i h (0, ..., 0) nie 0, a W a wielomianem Weierstrassa.

Ma to natychmiastową konsekwencję, że zbiór zer f , w pobliżu (0, ..., 0), można znaleźć ustalając dowolne małe wartości z 2 _, ..., z _n , a następnie rozwiązując równanie W(z )=0 . Odpowiednie wartości z tworzą szereg ciągle zmieniających się gałęzi , w liczbie równej stopniowi W w z . W szczególności f nie może mieć izolowanego zera.

Twierdzenie o dzieleniu

Powiązanym wynikiem jest twierdzenie Weierstrassa o dzieleniu , które stwierdza, że jeśli f i g są funkcjami analitycznymi, a g jest wielomianem Weierstrassa stopnia N , to istnieje unikalna para h i j taka, że f = gh + j , gdzie j to wielomian stopnia mniejszego niż N . W rzeczywistości wielu autorów dowodzi, że przygotowanie Weierstrassa jest następstwem twierdzenia o dzieleniu. Możliwe jest również udowodnienie twierdzenia o dzieleniu z twierdzenia o przygotowaniu, tak że oba twierdzenia są w rzeczywistości równoważne.

Aplikacje

Twierdzenie o przygotowaniu Weierstrassa można wykorzystać do wykazania, że pierścień zarodków funkcji analitycznych w n zmiennych jest pierścieniem Noetherowskim, który jest również określany jako twierdzenie o bazie Rückerta .

Płynne funkcje

Istnieje głębsze twierdzenie o przygotowaniu dla gładkich funkcji , za sprawą Bernarda Malgrange'a , zwane twierdzeniem o przygotowaniu Malgrange'a . Ma również powiązane twierdzenie o dzieleniu, nazwane na cześć Johna Mathera .

Formalne szeregi potęgowe w pełnych pierścieniach lokalnych

Istnieje analogiczny wynik, zwany także twierdzeniem Weierstrassa o przygotowaniu, dla pierścienia formalnych szeregów potęgowych nad kompletnymi pierścieniami lokalnymi A : dla dowolnego szeregu potęgowego ${ \ Displaystyle f = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} t ^ {n} \ w A [[t]]} takie, że nie wszystkie są n za n {\ displaystyle$ a_ { $}$ w ideale maksymalnym ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ A , istnieje unikalna jednostka u w ${\ Displaystyle A [[t]]}$ i wielomian F postaci ${\ Displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} + \ kropki + b_ {0}}$ z ${\ Displaystyle b_ {i} \ in {\ mathfrak {m}}}$ (tak zwany wyróżniony wielomian) taki, że

{\ displaystyle f = uF.}

Ponieważ ponownie $pierścieniem$ lokalnym, wynik można powtarzać i dlatego daje podobne wyniki rozkładu na czynniki dla formalnych szeregów

Dotyczy to na przykład pierścienia liczb całkowitych w polu p-adic . W tym przypadku twierdzenie mówi, że szereg potęgowy f ( z ) zawsze może być jednoznacznie rozłożony jako π ⁿ · u ( z ) · p ( z ), gdzie u ( z ) jest jednostką w pierścieniu szeregu potęgowego, p ( z ) jest wyróżnionym wielomianem (monicznym, ze współczynnikami wyrazów niewiodących w każdym ideale maksymalnym), a π jest ustalonym ujednolicacz .

Zastosowanie twierdzenia Weierstrassa o przygotowaniu i podziale dla pierścienia $($ zwanego Iwasawy występuje w skończenie generowanych modułów na tym pierścieniu.

Istnieje nieprzemienna wersja dzielenia i przygotowania Weierstrassa, gdzie A jest niekoniecznie przemiennym pierścieniem iz formalnymi skośnymi szeregami potęgowymi zamiast formalnych szeregów potęgowych.

algebry Tate'a

Istnieje również twierdzenie Weiertrassa o przygotowaniu dla algebr Tate

{\ Displaystyle T_ {n} (k) = \ lewo \ {\ suma _ {\ nu _ {1}, \ kropki, \ nu _ {n} \ geq 0} a_ {\ nu _ {1} ,\kropki ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1}, \dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}}

nad kompletnym polem niearchimedesowym k . Algebry te są podstawowymi budulcami sztywnej geometrii . Jednym z zastosowań tej postaci twierdzenia Weierstrassa o przygotowaniu jest fakt, że pierścienie są noetherowskie . $}$ )

Zobacz też

Twierdzenie o koherencji Oka

Lewis, Andrew, Uwagi dotyczące analizy globalnej
Siegel, CL (1969), „Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass”, Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, s. 297–306, MR 0268402 , przedruk w Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H. (red.), Gesammelte Abhandlungen. Zespół IV , Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag, s. 1–8, ISBN 0-387-09374-5 , MR 0543842
Solomentsev, ED (2001) [1994], „Twierdzenie Weierstrassa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Stickelberger, L. (1887), "Ueber einen Satz des Herrn Noether" , Mathematische Annalen , 30 (3): 401-409, doi : 10.1007/BF01443952 , S2CID 121360367
Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2 , Berlin: Mayer & Müller, s. 135–142 przedrukowane przez Johnson, Nowy Jork, 1967.

Linki zewnętrzne

Lebl, Jiří. „Twierdzenia o przygotowaniu i dzieleniu Weierstrassa. (2021, 5 września)” . LibreTexty .