Trzy główne twierdzenia Brauera

Główne twierdzenia Brauera to trzy twierdzenia z teorii reprezentacji grup skończonych, łączące bloki grupy skończonej (w charakterystyce p ) z blokami jej p -lokalnych podgrup , to znaczy normalizatorami jej nietrywialnych p -podgrup.

Drugie i trzecie główne twierdzenie pozwalają na uściślenie relacji ortogonalności dla znaków zwykłych , które mogą być stosowane w teorii grup skończonych . Obecnie nie dopuszczają one dowodu wyłącznie w kategoriach zwykłych znaków. Wszystkie trzy główne twierdzenia są sformułowane w kategoriach korespondencji Brauera .

Korespondencja Brauera

Istnieje wiele sposobów rozszerzenia poniższej definicji, ale jest to zbliżone do wczesnych zabiegów Brauera. Niech G będzie grupą skończoną, p liczbą pierwszą, F ciałem o charakterystyce p . Niech H będzie podgrupą G , która zawiera

${\ Displaystyle QC_ {G} (Q)}$

dla pewnej p -podgrupy Q z G i jest zawarta w normalizatorze

${\ Displaystyle N_ {G} (Q)}$ ,

gdzie $_$ G _ _ _ _ _ _

Homomorfizm Brauera ( w odniesieniu do H ) jest liniową mapą od środka algebry grupowej G przez F do odpowiedniej algebry H . W szczególności jest $\ Displaystyle Z (FG)} )}$ ograniczenie do $Q ) {\$ liniowej) projekcji od do fa ${G}$ , którego jądro obejmuje elementy G poza ${\ Displaystyle C_ {G} (Q)}$ . Obraz tej mapy jest zawarty w $okazuje się,$ mapa jest również

0 Ponieważ jest to homomorfizm pierścienia , dla dowolnego bloku B z FG , homomorfizm Brauera wysyła element identyczności B do lub do elementu idempotentnego. W tym drugim przypadku idempotent można rozłożyć na sumę (wzajemnie ortogonalnych) pierwotnych idempotentów Z(FH). Każdy z tych pierwotnych idempotentów jest multiplikatywną tożsamością jakiegoś bloku FH. O bloku b FH mówi się, że jest korespondentem Brauera B , jeśli jego element tożsamości występuje w tej dekompozycji obrazu identyczności B pod homomorfizmem Brauera.

Pierwsze główne twierdzenie Brauera

Pierwsze główne twierdzenie Brauera (Brauer ${\ displaystyle G},$ , 1956 , 1970 ) stwierdza $}$ że ​​jeśli jest grupą skończoną i jest grupą -podgrupą $\ displaystyle$ re $D$ wtedy istnieje bijekcja między zbiorem (charakterystycznych p ) bloków $}$$displaystyle$ z grupą defektów i blokami normalizatora ${G} (D) }$ z grupą defektów D . Ta bijekcja powstaje , ponieważ gdy $D$ G z grupą defektów blok Brauera H , który ma również grupę defektów

Drugie główne twierdzenie Brauera

Drugie główne twierdzenie Brauera ( Brauer 1944 , 1959 ) daje dla elementu t , którego rząd jest potęgą liczby pierwszej p , kryterium dla (charakterystycznego p ) bloku do ${\ Displaystyle C_ {G} ($$rozkładu$ blokowi , poprzez uogólnione liczby . Są to współczynniki, które występują, gdy ograniczenia zwykłych znaków $)$ do elementów postaci tu , gdzie u obejmuje elementy rzędu pierwszego do p $displaystyle C_ {G} (t)}$ do ${$ są zapisywane jako liniowe kombinacje nieredukowalnych znaków Brauera z ${\ displaystyle C_ {G} (t)}$ . Treść twierdzenia polega na tym, że konieczne jest użycie tylko znaków Brauera z $,$ odpowiednikami bloku G.

Trzecie główne twierdzenie Brauera

Trzecie główne twierdzenie Brauera ( Brauer 1964 , twierdzenie 3) stwierdza, że ​​​​kiedy Q jest p -podgrupą skończonej grupy G , a H jest podgrupą G, zawierającą ${\ Displaystyle QC_ {G} (Q) }$ i zawarty w , to główny blok H $charakterystyce$ głównego bloku ( gdzie bloki, o których mowa, są w p ).

•       Brauer, R. (1944), „O arytmetyce w pierścieniu grupowym”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 30 (5): 109–114, doi : 10.1073 / pnas.30.5.109 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87919 , MR 0010547 , PMC 1078679 , PMID 16578120
•       Brauer, R. (1946), „O blokach postaci grup skończonego rzędu I”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 32 (6): 182–186, doi : 10.1073 / pnas. 32.6.182 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87578 , MR 0016418 , PMC 1078910 , PMID 16578199
•       Brauer, R. (1946), „O blokach postaci grup skończonego porządku. II”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 32 (8): 215–219, doi : 10.1073 / pnas .32.8.215 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87838 , MR 0017280 , PMC 1078924 , PMID 16578207
•     Brauer, R. (1956), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift , 63 : 406–444, doi : 10.1007/BF01187950 , ISSN 0025-5874 , MR 0075953 , S2CID 186223 039
•     Brauer, R. (1959), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung. II", Mathematische Zeitschrift , 72 : 25–46, doi : 10.1007/BF01162934 , ISSN 0025-5874 , MR 0108542 , S2CID 122127 627
•    Brauer, R. (1964), „Niektóre zastosowania teorii bloków znaków grup skończonych. I”, Journal of Algebra , 1 (2): 152–167, doi : 10.1016 / 0021-8693 (64) 90031- 6 , ISSN 0021-8693 , MR 0168662
•    Brauer, R. (1970), „O pierwszym głównym twierdzeniu o blokach postaci skończonych grup”. , Illinois Journal of Mathematics , 14 (2): 183–187, doi : 10.1215/ijm/1256053174 , ISSN 0019-2082 , MR 0267010
•    Dade, Everett C. (1971), „Teoria znaków odnosząca się do skończonych grup prostych”, w: Powell, MB; Higman, Graham (red.), Skończone grupy proste. Materiały z konferencji instruktażowej zorganizowanej przez London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, wrzesień 1969 r. , Boston, MA: Academic Press , s. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0360785 zawiera szczegółowy dowód głównych twierdzeń Brauera.
• Ellers, H. (2001) [1994], „Pierwsze główne twierdzenie Brauera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], „hipoteza Brauera o wysokości zero” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], „Drugie główne twierdzenie Brauera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], „Trzecie główne twierdzenie Brauera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Walter Feit , Teoria reprezentacji grup skończonych. North-Holland Mathematical Library, 25. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Nowy Jork, 1982. xiv + 502 s. ISBN 0-444-86155-6