Twierdzenie Beckmana-Quarlesa

W geometrii twierdzenie Beckmana – Quarlesa stwierdza, że jeśli transformacja płaszczyzny euklidesowej lub wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej zachowuje odległości jednostkowe, to zachowuje wszystkie odległości euklidesowe . Równoważnie, każdy homomorfizm z wykresu jednostkowej odległości płaszczyzny do siebie musi być izometrią płaszczyzny. Twierdzenie nosi imię Franka S. Beckmana i Donalda A. Quarlesa Jr., którzy opublikowali ten wynik w 1953 roku; został później ponownie odkryty przez innych autorów i ponownie udowodniony na wiele sposobów. analogiczne twierdzenia dla wymiernych podzbiorów przestrzeni euklidesowych lub dla geometrii nieeuklidesowej .

Pomysł na stwierdzenie i dowód

Formalnie wynik jest następujący. Niech $będzie$ funkcją lub funkcją wielowartościową z -wymiarowej przestrzeni euklidesowej do siebie i załóżmy, że dla każdej pary punktów i $\ displaystyle p}$ $za$ $} które znajdują$ q $)}$ siebie, każda para obrazów i jest również w jednostkowej odległości od siebie. $f (p$ Wtedy musi $izometria$ być : jest to funkcja jeden do jednego , która zachowuje odległości między wszystkimi parami punktów.

Jeden ze sposobów przeformułowania twierdzenia Beckmana-Quarlesa obejmuje homomorfizmy grafów , odwzorowania między grafami nieskierowanymi , w których wierzchołki przechodzą w wierzchołki, a krawędzie w krawędzie. W przypadku wykresu odległości jednostkowej , którego wierzchołkami są wszystkie punkty na płaszczyźnie, z krawędzią między dowolnymi dwoma punktami w odległości jednostkowej, homomorfizm z tego wykresu do samego siebie jest tym samym, co transformacja płaszczyzny zachowująca odległość jednostkową. Zatem twierdzenie Beckmana-Quarlesa stwierdza, że jedynymi homomorfizmami z tego wykresu do samego siebie są oczywiste homomorfizmy pochodzące z izometrii płaszczyzny . W przypadku tego grafu wszystkie homomorfizmy są symetriami grafu , właściwością definiującą klasę grafów zwaną rdzeniami .

Oprócz oryginalnych dowodów twierdzenia Beckmana i Quarlesa oraz dowodów w późniejszych artykułach ponownie odkrywających wynik , opublikowano kilka alternatywnych dowodów . Jeśli fa $} \displaystyle f}$ . zbiorem odległości zachowanych przez $odwzorowanie$ porównania , to z $nierówności$ trójkąta wynika , że pewne innych odległości z elementami są zachowane $displaystyle F$ Dlatego jeśli można wykazać, że jest to $zbiór$ , to wszystkie odległości muszą być zachowane. Główną ideą kilku dowodów twierdzenia Beckmana-Quarlesa jest wykorzystanie sztywności strukturalnej pewnych wykresów odległości jednostkowych , takich jak wykres regularnego simpleksu , aby pokazać, że odwzorowanie, które zachowuje odległości jednostkowe, musi zachować wystarczającą liczbę innych odległości, aby utworzyć gęsty zestaw.

Kontrprzykłady dla innych przestrzeni

Beckman i Quarles zauważają, że twierdzenie to nie jest prawdziwe dla prostej rzeczywistej (jednowymiarowej przestrzeni euklidesowej). Jako przykład rozważmy funkcję , która zwraca $razie$ jeśli liczbą całkowitą i zwraca w przeciwnym $1$ $\$ $}$ . Ta funkcja spełnia warunki wstępne twierdzenia: zachowuje jednostkowe odległości. Nie zachowuje jednak odległości między liczbami całkowitymi i niecałkowitymi.

Beckman i Quarles dostarczają innego kontrprzykładu pokazującego, że ich twierdzenia nie można uogólnić na nieskończenie wymiarową przestrzeń, przestrzeń Hilberta sumowalnych do kwadratu sekwencji liczb rzeczywistych . „Sumowalna do kwadratu” oznacza, że suma kwadratów wartości w sekwencji z tej przestrzeni musi być skończona. Odległość między dowolnymi dwoma takimi ciągami można zdefiniować w taki sam sposób, jak odległość euklidesową dla przestrzeni o skończonych wymiarach, sumując kwadraty różnic współrzędnych, a następnie pierwiastkując. Aby skonstruować funkcję, która zachowuje odległości jednostkowe, ale nie inne odległości, Beckman i Quarles tworzą dwie nieciągłe funkcje :

Pierwsza funkcja odwzorowuje każdy punkt przestrzeni Hilberta na pobliski punkt w policzalnej gęstej podprzestrzeni . Na przykład gęstą podprzestrzeń można by wybrać jako podprzestrzeń ciągów liczb wymiernych . Dopóki ta transformacja przesuwa każdy punkt o odległość $mniejszą$ niż będzie mapować punkty w jednostkowej od siebie na odrębne obrazy.
Druga funkcja odwzorowuje ten gęsty zbiór na przeliczalny simpleks jednostkowy , nieskończony zbiór punktów znajdujących się w jednostkowej odległości od siebie. $przestrzeni$ , które przyjmują wartość w jednej pozycji i są zerowe wszędzie indziej. Istnieje nieskończenie wiele ciągów tej postaci, a odległość między dowolnymi dwoma takimi ciągami wynosi jeden. Ta druga funkcja musi być funkcją jeden do jednego, ale w przeciwnym razie można ją wybrać dowolnie.

Kiedy te dwie transformacje są połączone, odwzorowują dowolne dwa punkty w jednostkowej odległości od siebie na dwa różne punkty w gęstej podprzestrzeni, a stamtąd odwzorowują je na dwa różne punkty simpleksu, które z konieczności są oddalone od siebie o jednostkę. Dlatego ich skład zachowuje jednostkowe odległości. Nie jest to jednak izometria, ponieważ odwzorowuje każdą parę punktów, bez względu na ich pierwotną odległość, albo do tego samego punktu, albo do odległości jednostkowej .

Powiązane wyniki

Siedmiokolorowa płaszczyzna euklidesowa , tak aby żadne dwa punkty w jednostkowej odległości (takie jak sąsiednie punkty nałożonego wrzeciona Mosera ) nie miały tego samego koloru. Odwzorowanie punktów według koloru na siedem wierzchołków sześciowymiarowego regularnego simpleksu daje mapę od

{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {2}}

do

{\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {6} }

, która zachowuje odległości jednostkowe, ale nie jest izometrią.

Każdą przestrzeń euklidesową można odwzorować na przestrzeń o wystarczająco większym wymiarze w sposób, który zachowuje odległości jednostkowe, ale nie jest izometrią. Aby to zrobić, kierując się znanymi wynikami problemu Hadwigera-Nelsona , pokoloruj punkty danej przestrzeni skończoną liczbą kolorów, tak aby żadne dwa punkty w jednostkowej odległości nie miały tego samego koloru. Następnie odwzoruj każdy kolor na wierzchołek wielowymiarowego regularnego simpleksu o jednostkowych długościach krawędzi. Na przykład płaszczyznę euklidesową można pokolorować siedmioma kolorami, stosując układanie sześciokątów o średnicy nieco mniejszej niż jednostka, tak aby żadne dwa punkty tego samego koloru nie były oddalone od siebie o jednostkę. Następnie punkty płaszczyzny można odwzorować za pomocą ich kolorów na siedem wierzchołków sześciowymiarowego regularnego simpleksu . Nie wiadomo, czy sześć jest najmniejszym wymiarem, dla którego jest to możliwe, a lepsze wyniki dotyczące problemu Hadwigera-Nelsona mogłyby poprawić tę granicę.

W przypadku przekształceń punktów o współrzędnych liczb wymiernych sytuacja jest bardziej skomplikowana niż w przypadku pełnej płaszczyzny euklidesowej. Istnieją mapy wymiernych punktów do wymiernych punktów zachowujące odległość jednostkową, które nie zachowują innych odległości dla wymiarów do czterech, ale żadnych dla wymiarów piątego i wyższych. Podobne wyniki dotyczą również odwzorowań punktów wymiernych, które zachowują inne odległości, takie jak pierwiastek kwadratowy z dwóch , oprócz odległości jednostkowych. Dla par punktów, których odległość jest $twierdzenia$ algebraiczną , istnieje skończona wersja tego : Maehara wykazał, że istnieje skończony, sztywny wykres $displaystyle G}$ odległości jednostkowej , w którym jakieś dwa wierzchołki $ZA$ i $}$ $q$ odległości muszą znajdować się w od siebie, z czego wynika, że każda transformacja płaszczyzny, która zachowuje jednostkowe odległości w musi również zachować ZA {\ displaystyle $}$ odległość między ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle q}$ .

AD Alexandrov zapytał, które przestrzenie metryczne mają tę samą właściwość, że odwzorowania zachowujące odległość jednostkową są izometriami, a po tym pytaniu kilku autorów zbadało analogiczne wyniki dla innych typów geometrii. Na przykład możliwe jest zastąpienie odległości euklidesowej wartością postaci kwadratowej . Twierdzenia Beckmana – Quarlesa zostały udowodnione dla przestrzeni nieeuklidesowych, takich jak przestrzeń Minkowskiego , odległość odwrotna na płaszczyźnie Möbiusa , skończone płaszczyzny Desarguesa i przestrzenie zdefiniowane na polach o niezerowej charakterystyce . Dodatkowo twierdzenia tego typu zostały wykorzystane do scharakteryzowania transformacji innych niż izometrie, takich jak transformacje Lorentza .

Historia

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa zostało po raz pierwszy opublikowane przez Franka S. Beckmana i Donalda A. Quarlesa Jr. w 1953 r. Już w 1960 r. Zostało nazwane „twierdzeniem Beckmana i Quarlesa” przez Victora Klee . Został później ponownie odkryty przez innych autorów w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych XX wieku.

Quarles był synem inżyniera komunikacji i dyrektora obrony Donalda A. Quarlesa . Kształcił się w Phillips Academy , Yale University i United States Naval Academy . Służył jako meteorolog w marynarce wojennej Stanów Zjednoczonych podczas II wojny światowej i został inżynierem w firmie IBM. Jego praca obejmowała projekty śledzenia Sputnika , rozwój superkomputera , druk atramentowy i obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego ; ukończył doktorat. w 1964 w Courant Institute of Mathematical Sciences nad komputerową symulacją fal uderzeniowych , pod wspólnym kierunkiem Roberta D. Richtmyera i Petera Laxa .

Beckman studiował w City College w Nowym Jorku i służył w armii amerykańskiej podczas wojny. Podobnie jak Quarles, od 1951 roku pracował dla IBM. Uzyskał stopień doktora. w 1965 pod kierunkiem Louisa Nirenberga z Columbia University nad równaniami różniczkowymi cząstkowymi . W 1971 roku odszedł z IBM i został założycielem Wydziału Informatyki i Informatyki w Brooklyn College , a później kierował programem studiów podyplomowych z informatyki w Graduate Center, CUNY .